Euler's Eyes
2026-10-11
定義と要素
三角形、四角形、五角形、六角形: 多角形はハニカム、道路標識、ねじナットにあります。
発見者
最も単純な正多角形は、原論の第 IV 巻のユークリッド (紀元前 300 頃) によって定規とコンパスを使って作られました: 三角形、正方形、五角形、六角形、および 15 辺の多角形。 2000 年以上にわたり、素数の辺を持つ別の正多角形を構築することに成功した人は誰もいませんでした。 1796、18 の時代にカール・フリードリヒ・ ガウスは17 の辺を持つ正多角形である七角形を構築しました。
歴史
ガウスの発見は非常に注目に値するもので、彼によれば、それが彼に文献学ではなく数学を選択させたという。彼は、直定規とコンパスを使ってどの正多角形を作成できるかを示しました。 1837 でピエール・ ヴァンツェルは、他の証明が不可能であることの証明を完了しました。ガウスは自分の墓に七角形を希望したが、彫刻家は円に見えると言って拒否したと言われている。
ポリゴンの名前は、ギリシャ語のポリスは「多くの」、ゴニアは「角度」に由来しています。 ペンタゴンには 5 つの角があります。 六角、6; 八角形、8。
日常生活での応用
- 蜂の巣。 ミツバチは正六角形を作ります。 4 世紀にはすでにアレクサンドリアの警官がこの選択を賞賛しており、1999 でトーマス・ ヘイルズは、六角形が平面を可能な限り最小の周長で同じ領域のセルに分割することを証明しました。
- 一時停止標識 赤い正八角形が後ろからでも遠くからでも認識できます。
- ナットとネジ。 六角頭は六角形で、レンチはいくつかの位置に適合します。
- 床と歩道 六角形、四角形、三角形のタイルが床を隙間なく敷き詰めます。
出典: ガウス (MacTutor) · 要素、命題 IV.11 · Wantzel (MacTutor)。
理論と作図
定義ポリゴン
$n \geq 3$ を含む平面 $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ 上の一連の点がすべて個別であり、連続する 3 つの非同一線上の点 (連続する $A_{n-1}, A_n, A_1$ と $A_n, A_1, A_2$ も考慮) がある場合、 セグメントの会合は多角形と呼ばれます。
$$A_1A_2 \cup A_2A_3 \cup \cdots \cup A_{n-1}A_n \cup A_nA_1.$$点$A_i$ は頂点、 線分は辺、角度$\hat A_1 = A_n\hat{A_1}A_2$、…、$\hat A_n = A_{n-1}\hat{A_n}A_1$ は多角形の角度です。 $n$ 個の頂点を持つ多角形には、$n$ 個の辺と $n$ 個の角度があります。辺の和が周長となります。
定義シンプルな凸面と凹面
- 連続しない 2 つの辺が交わらない場合、 多角形は単純です。それ以外の場合は複雑になります（星のように交錯する場合もあります）。
- 連続する 2 つの頂点の直線が同じ半平面内にある他の $n - 2$ 個の頂点をすべて離れる場合、 単純な多角形は凸面となります。凸でない場合は凹となります。
内部と外部。 単純な多角形とその外側の点を指定して、頂点を通過せずに多角形を切断する点から始まる光線を描画します。カット数が奇数の場合、 ポイントは内部です。それがパーであれば外部です。凸多角形の内部は凸領域です。凹面、凹面のこと。ポリゴンとその内部がポリゴン面を形成します。
まとめポリゴン名
| $n$ | 名前 | $n$ | 名前 |
|---|---|---|---|
| 3 | 三角形（三角形） | 9 | エネゴン |
| 4 | 四角形（四角形） | 10 | 十角形 |
| 5 | 五角形 | 11 | 十二角形 |
| 6 | 六角形 | 12 | 十二角形 |
| 7 | 七角形 | 15 | 五角形 |
| 8 | 八角形 | 20 | 正二十角形 |
一般に$n$ 辺の多角形は**$n$ 辺**となります。
定義正多角形
合同な辺を持つ多角形は 等辺 です。角度が等しい場合は等角となります。凸多角形は等辺e等角 であれば正多角形です。正三角形は 等辺 です。正四角形は正方形です。ひし形は規則的ではなく等辺です。長方形は正則ではなく等角です。