幾何学に関する主な著作であるユークリッドの著書『要素』には、直線と円に関するいくつかの結果が含まれています。この投稿では、このテーマに関するいくつかの結果を示します。

基本設定

以下では、円を操作するための基本的な用語をいくつか定義します。

中心

定義 (中心): は、円上のどの点からも同じ距離にある点です。

レイ

定義 (半径): は中心から円周に向かう任意の直線セグメントです。

弦

定義 (弦): は、円上に 2 つの端がある任意の直線セグメントです。

直径

定義 (直径): は円の中心を通過する弦です。これはサークル内で最大のコードであることを覚えておく価値があります。この弦は半径の 2 倍に等しい。

$$D = 2R$$

接線

直線や円を扱う場合は、いくつかのプロパティが必要です。そのうちの 1 つ目は接線です。

定義 (接線): 平面において、円に対する接線、つまり一点で切られたものを指します。この交点が接点(T)となります。

補題 1:

直線は、その点で終わる半径に対して垂直である場合にのみ、その点で円に接します。

割線

2 番目は割線です。

定義 (割線): 平面において、円に対する割線、つまり複数の点で切られたものを指します。

補題 2:

直線は、円と 2 つの点で交差する場合にのみ円に割られます。

提案された問題

  1. 角度が与えられた場合、角の二等分線 に中心があり (角度の頂点を除く)、その中心から角度の一方の辺までの距離に等しい半径を持つ円が (角度の) 両側に接していることを証明します。さらに、角の両側に接するすべての円の中心は 角の二等分線 にあり、2 つの接点を除いて円は角の内側にあります。
  1. 2 つの同心円が与えられた場合、大きい方の弦が小さい方の弦に接する場合、接触点は弦の中点であることを証明します。

2 つの円の位置

平面上に 2 つの円がある場合、それらに対する相対的な位置にはいくつかのプロパティがあります。この場合、3 個の状況が発生します。

  • 円が交差します。
  • 円は 1 点で交差します。
  • 円は 2 点で交差します。

接円

定義 (接円): 平面上で、2 つの接円が 1 点で交差することを「2 つの接円」と呼びます。

外部接線 内部の接線

外部接線

補題 3: 平面上に 2 つの円がある場合、次の場合:

  • 中心間の距離が半径の合計より大きい。
  • したがって、それらは交差しません。
  • それぞれが互いの外側にあります。

この場合、中心間の距離 $(C_1, C_2)$ は半径の合計 $(R_1,R_2)$ よりも大きくなります。

$$d(C_1, C_2) > R_1 + R_2$$

補題 4: 平面上に 2 つの円が与えられた場合、

  • 中心間の距離は半径の合計に等しい。
  • したがって、それらは外部に接しています。

この場合、中心間の距離 $(C_1, C_2)$ は半径の合計 $(R_1,R_2)$ に等しいことがわかります。

$$d(C_1, C_2) = R_1 + R_2$$

内部の接線

補題 5: 平面上に半径の異なる 2 つの円があるとします。

  • 中心間の距離が半径間の正の差に等しい場合。
  • したがって、それらは内部的に接しています。

補題 6: 平面上に半径の異なる 2 つの円があるとすると、

  • それらの中心間の距離が半径間の正の差より小さい場合、
  • この場合、半径が小さい円がもう一方の円の内側になります。

乾燥剤

補題 7: 平面上に 2 つの円がある場合、次の場合:

  • 中心間の距離が半径の合計より小さい。
  • 絶対値の差よりも大きい。
  • つまり、正確に 2 点で交差します

これまでのところ、それだけです。次の投稿をお待ちください。