ハノーバーを測定しながら、ガウスは曲がった地球の地図を作成する方法についてよく考えました。 1827で公開されました 彼はその結果をエグレジウム定理と呼び、「注目すべき定理」と呼びました。 曲面の曲率は次のとおりです。 外から見に行くことなく、その中に住んでいる人によって測定されます。

結果: 平面内では、三角形の角度の合計は 180° になります。球体ではそれらを合計するとさらに多くになります。取ってください 1 つの頂点が北極にあり、他の 2 つの頂点が赤道にある三角形:

赤道の２つの角は直角です。 90° を極として、三角形には 3 つの直角があります: 270°。

子午線は赤道を直角に切っているため、赤道の 2 つの角度は 90° になります。を追加すると、 極の角度 $\alpha$:

$$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$

180°以上は三角形の面積に比例し、表面が曲面であることを示します。だからこそ 完璧な地球の平面図は存在しません。距離、角度、面積には常に歪みが生じます。

ガウスはまた、ユークリッドの平行公準が存在しない幾何学が存在する可能性があることにも気づきました。 価値がある。しかし彼は何も公表しなかった。1829からの手紙の中で、彼は「ボイオティア人の叫び声」、つまりそうしなかった人々の叫びを恐れていると述べた。 分かるだろう。非ユークリッド幾何学は、最終的にロバチェフスキーとヤノス・ボリャイによって出版されました。

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