Euler's Eyes
2026-10-11
結果 — 中塩基
三角形の 2 つの辺の中点を接続します。線分は 3 番目の辺と平行で、その半分の大きさになります。
発見者
平均基底定理はユークリッドの原論の命題VI.2の特殊な場合であり、三角形の一辺に平行な直線が他の二辺を同じ割合で分割します。美しい結果は有名な著者によってもたらされました。 フランス人のピエール・ ヴァリニョン (1654 – 1722) は、任意の四角形の辺の中点を結ぶと、 常に平行線が得られることを示しました。その結果は彼の死後、1731 に掲載されました。
歴史
ヴァリニョンは司祭であり、パリの数学教授であり、フランスでライプニッツ微積分の最初の擁護者の一人でした。 「バリニヨン平行四辺形」は平均底辺を直接適用したもので、その各辺は四角形の対角線で形成される三角形の平均底辺になります。
台形の底辺の平均は、底辺の平均に等しいため、Heron によって記録された台形の面積の公式、つまり底辺の平均に高さを掛けたものを説明します。
日常生活での応用
- はしご。 上に向かって狭くなる階段では、中央の段で最初の段と最後の段の平均が測定されます。
- 台形の棚。 側面が傾斜している本棚では、中央の棚は底部と上部の幅の平均になります。
- 屋根ハサミ。 2 つの屋根の中点を結ぶ水平部分はスパンの半分の大きさで、基礎と平行です。
- 図面の中点。 描画プログラムで中点を何らかの方法で接続すると、ヴァリニョンが予測したように、平行四辺形が生成されます。
出典: 要素、命題 VI.2 · ヴァリニョン (MacTutor)。
理論と作図
定理三角形の底辺の真ん中
a) 線分の端点が三角形の 2 辺の中点にある場合、 その線分は3 番目の辺に平行であり、 その半分の長さを測定します。
$$(AM = MB,\ AN = NC) \Rightarrow \overline{MN} \parallel \overline{BC} \ \text{ e } \ MN = \frac{BC}{2}.$$b) 逆数: 一方の辺に平行な線分の一端が他方の辺の中点にあり、もう一方の端が 3 番目の辺の中点にある場合、その端は 3 番目の辺の中点になります。
デモを見る
$C$ を通り、$\overleftrightarrow{AB}$ に平行な線を引き、$D$ で $MN$ の線を切ります。次に $\hat{C} \equiv \hat{A}$ (交互); $AN = CN$ と o.p.v. $N$、ALA 作成、$\triangle AMN \equiv \triangle CDN$。つまり$CD = AM = MB$と$MN = DN$です。 $\overline{CD}$ と $\overline{MB}$ は平行かつ合同であるため、$MBCD$ は平行四辺形、つまり $\overline{MD} \parallel \overline{BC}$ と $MD = BC$ です。ロゴ$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$と$MN = \dfrac{MD}{2} = \dfrac{BC}{2}$。逆は、平行公準から生まれます。$M$ による $\overline{BC}$ への平行は一意です。
定理僧帽筋の真ん中の付け根
a) 台形の非平行な辺の中点に端点があるセグメントの場合、 そのセグメントは底辺に平行であり、 そのセミサムを測定します。
$$MN = \frac{AB + CD}{2}.$$b) 逆: 底辺に平行な線分で、一端が他の辺の中点にあり、もう一端が残りの辺の中点にあります。
デモを見る
$E$ を直線 $DN$ と $AB$ の交点とします。 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$、$\hat{B} \equiv \hat{C}$ のように。 $BN = CN$ と o.p.v. $N$ で、ALA により、$\triangle BEN \equiv \triangle CDN$: $EN = DN$ および $BE = CD$。 $\triangle ADE$、$M$、$N$ は $\overline{AD}$、$\overline{DE}$ の中点です。三角形の真ん中の底辺の$\overline{MN} \parallel \overline{AE}$と$MN = \dfrac{AE}{2} = \dfrac{AB + BE}{2} = \dfrac{AB + CD}{2}$。