Euler's Eyes
2026-10-14
マクスウェルの方程式：ファラデーの力線からベクトルへ
はじめは、これほどの数学の力がこの主題に向けられるのを見て、ほとんどおびえたほどでした。それから、主題がそれにとてもよく耐えているのを見て驚きました。
— マイケル・ファラデー、マクスウェル宛の手紙（1857 年 3 月 25 日）
1820 年までは、電気と磁気は別々の主題でした。電気は火花を飛ばし、髪の毛を逆立てる。磁気は方位磁針を北に向ける。その年、コペンハーゲン大学の講義で、デンマークのハンス・クリスティアン・エルステッドは電池を導線につなぎ、近くの磁針が動くのを見ました。電流が磁気を生んだのです。
ファラデーの力線
ロンドンでは、13 歳で学校をやめて製本屋の見習いになった鍛冶屋の息子マイケル・ファラデーが、この発見をさらに進めました。1821 年、彼は最初の電動機をつくりました。磁石のまわりを回る導線です。1831 年には、エルステッドの逆を発見しました。導線の近くで 動く 磁石は電流を生む。これが 電磁誘導 で、発電所の発電機にも自転車のダイナモにも使われている原理です。
ファラデーは算数より先の数学を知りませんでした。考えるとき、彼は磁石や電荷のまわりの空間が、磁石のまわりに鉄粉が描く線のような 力線 で満たされていると想像しました。大切なのは磁石ではなく力線でした。数学者たちはこの考えを素朴だと思いました。彼らにとって、力はニュートンの重力のように離れたところに直接はたらくものだったのです。
マクスウェルはファラデーの力線を本気で受けとめました。1855 年、24 歳で「ファラデーの力線について」を発表し、図を方程式に翻訳しました。1861 年と 1862 年の「物理的な力線について」では、空間の力学模型を考えました。回転する流体の管が、歯車のようにはたらく小さな玉で仕切られている模型です。奇妙な模型でしたが、足場としては役に立ちました。それを使って、マクスウェルは 変位電流 と 波の速さ を見つけたのです。1865 年の「電磁場の動力学的理論」で彼は足場をとりはずしました。残ったのは方程式だけで、二十の未知数についての 二十本 の方程式が、成分ごとに書かれていました。
四元数か、ベクトルか
二十本の方程式は読みにくいものでした。もっとよい記法が必要で、候補がありました。アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンの 四元数、四つの部分をもつ数 $q=w+ai+bj+ck$ です。マクスウェルの学校時代の友人ピーター・ガスリー・テイトは四元数の大の擁護者で、1870 年から 1871 年にかけての手紙で、『論』に四元数を使うようマクスウェルを説得しようとしました。
マクスウェルが受けいれたのは半分だけでした。磁場のように向きをもつ量をうまく表せる三成分の部分 $ai+bj+ck$ は気に入りましたが、四つ目の部分 $w$ には物理的な意味が見いだせなかったのです。『電気磁気論』（1873）では、スカラー部分とベクトル部分を分け、四元数はひかえめに使いました。1871 年の論文では、場についての演算に、今も使われている名前をつけました。ある点のまわりで場がどれだけ回っているかを測る curl（回転）と、ある点に場がどれだけ集まるかを測り、今日の発散の逆にあたる convergence（収束）です。
次の一歩は、『論』を独学で読んだ二人によって踏みだされました。16 歳で学校をやめた電信技手のイギリス人オリヴァー・ヘヴィサイドと、イェール大学のアメリカ人ジョサイア・ウィラード・ギブズは、四元数を捨て、それぞれ独立に、内積と外積をもつ現代の ベクトル解析 をつくりました。1884 年から 1885 年にかけて、ヘヴィサイドはマクスウェルの二十本の方程式を 四本 に書きなおしました。今日どの教科書にも出てくるのは、この形です。
四本の方程式
真空中で、密度 $\rho$ の電荷と密度 $\mathbf J$ の電流があるとき、電場 $\mathbf E$ と磁場 $\mathbf B$ は次の式にしたがいます。
$$\boxed{\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla\cdot\mathbf B&=0\\ \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\\ \nabla\times\mathbf B&=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\end{aligned}}$$$\varepsilon_0$ と $\mu_0$ は実験室で測られる二つの定数です。発散 $\nabla\cdot$ は、泉から水がわくように、場がある点からどれだけ「わきでる」かを測り、回転 $\nabla\times$ は、排水口の水のように、場がある点のまわりでどれだけ「うずを巻く」かを測ります。言葉にすると、
| 式 | 名前 | 意味 |
|---|---|---|
| 1 | ガウスの法則 | 電気力線は正の電荷から出て、負の電荷で終わる。 |
| 2 | 磁場のガウスの法則 | 磁力線には始まりも終わりもない。孤立した磁極はない。 |
| 3 | ファラデーの法則 | 変化する磁場は、そのまわりにうずを巻く電場をつくる。 |
| 4 | アンペール＝マクスウェルの法則 | 電流や変化する電場は、そのまわりにうずを巻く磁場をつくる。 |
速度 $\mathbf v$ の電荷 $q$ の運動を求めるには、ローレンツ力 $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ を加えます。それで電磁気学のすべてがそろいます。
ひとつの検証：クーロンの法則
方程式は古い法則を含んでいます。止まっている電荷 $q$ を考えましょう。対称性から、電場は外向きで、半径 $r$ の球面上のどの点でも同じ大きさ $E$ をもちます。積分形のガウスの法則は、球面を通る電場の流束が電荷を $\varepsilon_0$ で割ったものに等しいと言います。
$$E\cdot4\pi r^2=\frac q{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}.$$これは 1785 年のクーロンの法則です。力はニュートンの重力と同じく、距離の二乗に反比例して弱まります。理由は幾何学的なものです。同じ本数の力線が、半径の二乗とともに大きくなる面積 $4\pi r^2$ に広がるからです。
練習問題：場 E = (−y, x, 0) は z 軸のまわりを回っている。その回転と発散を計算せよ。
回転は $\nabla\times\mathbf E=\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z},\ \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\ \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)=(0,0,1-(-1))=(0,0,2)$。発散は $\frac{\partial(-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+0=0$ です。この場はどこからもわきでずに回っています。回転は 0 でなく、発散は 0。導線のまわりの磁力線と同じです。
練習問題：1 マイクロクーロンの電荷から 1 m 離れたところの電場はいくらか。1/(4πε₀) ≈ 9 × 10⁹ とせよ。
$E=9\times10^9\cdot\frac{10^{-6}}{1^2}=9\,000$ V/m。2 m では四分の一の 2 250 V/m、10 m では百分の一の 90 V/m です。
出典： James Clerk Maxwell、“A dynamical theory of the electromagnetic field”、Philosophical Transactions of the Royal Society 155（1865）· Michael J. Crowe、A History of Vector Analysis（Dover、1994）第 4–5 章 · 『ファインマン物理学』第 II 巻第 18 章。