Euler's Eyes
2026-10-15
数学の歴史
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ジョン・ネイピアの遺産
対数の発明は、何か月もの仕事を数日に縮めることで、いわば天文学者の寿命を倍にした。
— ピエール＝シモン・ラプラスの言葉とされるもの
これほど速く広まった発明はめったにありません。十年もたたないうちに、対数はイングランド、オランダ、ドイツ、イタリアで使われていました。三世紀半にわたり、対数は人類の主要な計算の道具でした。
ケプラー
最初の大きな利用者はヨハネス・ケプラーでした。1617 年にネイピアの表を見て大喜びし、1619 年にはスコットランドの男爵に感謝の手紙を書きましたが、相手がすでに二年前に亡くなっていたことを知りませんでした。そして 1620 年の『天体暦』を彼に献じました。ケプラーは自分でも対数表を計算し、1627 年の『ルドルフ表』で使いました。当時最も正確な惑星の位置表で、楕円軌道を裏づけるものでした。
自然対数
対数の数学は独自の道を歩みはじめました。1647 年、ベルギーのグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとその弟子アルフォンス・ド・サラサは、双曲線 $y=1/x$ の下の面積が対数のようにふるまうことに気づきました。$\ln$ と書く自然対数の底は $e\approx2.71828$ で、オイラーが研究し名づけた数です。それはネイピアの二つの点による定義の中に隠れていました。今日、対数は地震のマグニチュード、音のデシベル、化学の pH、コンピューターのメモリ、アルゴリズムの計算量の中に現れます。
そのほかの貢献
- 小数点。 小数は 1585 年にフランドルのシモン・ステヴィンが提唱していましたが、記法は複雑でした。ネイピアは『ラブドロギア』と『構成』で、25.803 のように整数部分を点で区切って数を書き、この習慣を広めるのに役立ちました。
- 球面三角形。 ネイピアは覚えやすい規則、円部の規則をつくりました。天文学と航海で使われる直角球面三角形の十の公式を、二つの文にまとめるものです。ネイピアの類比は、今も球面三角法の本に出てきます。
- ネーパ。 通信で対数的な比を測る単位は、彼にちなんでネーパ（neper）と呼ばれます。月のクレーターにも彼の名がついています。
残ったもの
- 計算。 かけ算を足し算に、べきをかけ算に変える対数。
- 道具。 ネイピアの骨、プロンプチュアリ、そしてガンターとオートレッドを通じて生まれた計算尺。
- 記法。 小数点と「対数」という言葉。
- 三角法。 円部の規則とネイピアの類比。
- 科学。 ケプラーの表、航海、そしてその後三世紀の工学。
覚えておきたいこと
- ジョン・ネイピアは 1550 年から 1617 年まで生きた。二十年の計算ののち、1614 年に対数を発表した。
- 等比数列でかけることは、等差数列で足すことである：$2^a\times2^b=2^{a+b}$。
- ネイピアは二つの動く点で対数を定義した。現代の言葉では $\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln(10^7/x)$。
- ブリッグスとともに 10 を底とした：$\log1=0$、$\log10=1$。$\log2\approx0.30103$ は $2^{10}\approx10^3$ から出る。
- ネイピアの骨は、九九の一行を読み、斜めに足すことでかけ算をする。
- 計算尺は、対数に比例する長さを足すことでかけ算をする。
出典： Julian Havil、John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）· Eli Maor、e: The Story of a Number（1994）· ネイピアの伝記、MacTutor。