Euler's Eyes
2026-10-14
ヘックス：なぜ先手が勝つのか
1948 年、プリンストンの数学棟の談話室では、教授や学生が午後にチェスや囲碁を打っていました。そこでジョン・ナッシュは新しいゲームを披露しました。盤はひし形で、ハチの巣のような六角形のマスで覆われています。赤と青の二人が交互に、一つずつ、空いたマスに石を置きます。石は二度と動きません。赤は上の辺と下の辺を赤い石の列でつなぎたい。青は左右の辺を青い石の列でつなぎたいのです。
仲間はこのゲームを「ナッシュ」と呼びました。彼は、デンマークのピート・ハインが 1942 年に Polygon という名前でこれを考案していたことを知りませんでした。1952 年、パーカー・ブラザーズ社が、今も残る名前で発売しました。ヘックス（Hex）です。
引き分けは決してない
最初の驚くべき性質：ヘックスでは、埋まった盤には必ず勝者がいます。だれも列を作らずにすべてのマスを埋めることはできません。
直観はこうです。赤が上から下へ渡るのを止めるには、青は盤を端から端まで横切る「壁」が必要です。そして、一方の辺から他方の辺まで続く青いマスの壁は、まさに勝ちになる青い列です。赤が勝っていないなら、それは青にふさがれたからであり、ふさぐことは勝つことなのです。
これはマスが六角形であることによります。チェス盤のような正方形の盤では、二つのマスが角だけで接することがあり、色の違う二本の道が斜めに交差して、どちらも完成しないことがあります。六角形では各頂点で三つのマスが出会うので、そのような交差は起こりません。1979 年、数学者デイヴィッド・ゲールは、ヘックスに引き分けがないことがブラウワーの不動点定理と同値であることを示しました。ナッシュがゲームの均衡に使うのと同じ種類の結果です。
戦略の盗用
二つ目の性質はさらに奇妙です。ナッシュは、先手には必勝戦略があること、つまり完璧に打てば必ず勝てることを証明しました。しかし証明は、その戦略が何であるかを教えてくれません。戦略盗用と呼ばれるこの論法は、次のとおりです。
- ゲームは有限で、引き分けがない。したがって二人のうちどちらかが必勝戦略をもつ。どの局面で何を打つかを決め、どんな守りに対しても勝ちを保証する規則である。
- 背理法のために、必勝戦略をもつのが後手だと仮定する。
- すると先手はそれを「盗む」ことができる。最初に好きな手を打ち、あとは余分な石を無視して自分が後手であるかのようにふるまい、後手の必勝戦略に従う。
- もし戦略が、余分な石のあるマスに打てと言ったら、どこか別のマスに打てばよい。その新しい石が余分な石になる。
- ヘックスでは、盤上に石が一つ多くても不利になることはない。だから盗んだ戦略に従う先手は勝つ。
- しかしこれは、後手が必勝戦略をもつという仮定に矛盾する。よって必勝戦略をもつのは先手である。
これは存在証明です。戦略が存在することは保証しますが、それを示しはしません。9×9 までの盤については、コンピューターが具体的な必勝戦略を見つけています。標準の 11×11 の盤については、だれも知りません。
練習問題：1×1 と 2×2 のヘックスの盤で、先手はどう勝つか。
1×1 の盤では、ただ一つのマスが四つの辺すべてに接しているので、先手は最初の一手で勝ちます。2×2 の盤では、赤が先手なら、勝ちの一手はひし形の二つの鈍角の隅のマスのどちらかです。そのマスはもう一方の列の二つのマスの両方に接しており、青はそのうち一つしかふさげません。次の手で赤は列を完成させます。
練習問題：戦略盗用論法は三目並べで使えるか。チェスではどうか。
三目並べでも石が一つ多くて不利になることはなく、論法は後手が必勝戦略をもてないことを示します。しかし三目並べは引き分けがありえて、実際、完璧に打てば引き分けになります。論法が保証するのは先手が負けないことだけです。チェスでは論法は最初から成り立ちません。駒が一つ多いことが不利になりうるからです。動かなければならないこと自体が不利になる、いわゆるツークツワンクです。
出典： David Gale、“The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”、The American Mathematical Monthly 86（1979）· Martin Gardner、“The game of Hex”、Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions（Chicago、1988）所収 · Sylvia Nasar、A Beautiful Mind（Simon & Schuster、1998）、第 11 章。