どの三角形でも、各辺を反対角の正弦で割ると、常に同じ数値、つまり外接円の直径が得られます。

発見者

サインの法則は、天球上に描かれた三角形のために天文学で生まれました。この球形のものは、10 世紀にアブ・アル・ワファやアブ・ナスル・ マンスールなどイスラム世界の天文学者によって入手されました。平面三角形の形は、三角法を天文学から独立した学問としたペルシアのナーシル・アル・ディン・ アル・トゥシによる四角形に関する論文 (1260) に体系的に現れています。ヨーロッパでは、1464 で書かれ 1533 で印刷されたレギオモンタヌス によるあらゆる種類の三角形についてという本によって広まりました。

アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。
アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。
ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
レギオモンタヌス。
レギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

正弦波が登場する以前、天文学者は和音を扱いました。ヒッパルコスとプトレマイオスは円の各弧の和音を表にしました。円弧の弦は中心角の半分の正弦の 2 倍です。これが正弦の法則が本質的に円の弦の結果である理由であり、このトピックのデモンストレーションでは正確に外接円を使用します。

ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。
ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。
クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

正弦の法則を使用すると、距離と 2 つの角度を測定するだけで、三角形の反対側を計算できます。これは、17 世紀から 19 世紀にかけて国全体を測る三角測量の原理でした。

日常生活での応用

  • 監視塔。 同じ煙が見える 2 つの塔が視野角を測定します。塔間の距離により、正弦の法則により火災の位置が特定されます。
  • 地形 川の幅を測定するには、一方の岸の底面と、もう一方の岸の点までの角度を測定します。
  • 天文学。 近くの星までの距離は、地球の軌道の直径に基づいて、巨大な三角形によって計算されます。
  • エンジニアリング。 トラスにおける力の分解には、力の三角形における正弦の法則が使用されます。

出典: Nasir al-Din al-Tusi (MacTutor) · Abu al-Wafa (MacTutor) · Regiomontanus (MacTutor)。

理論と作図

定理サイン定理（サインの法則）

三角形の辺は反対の角の正弦に比例し、比例定数は三角形に外接する円の直径です。

$$\frac{a}{\operatorname{sen}A} = \frac{b}{\operatorname{sen}B} = \frac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R.$$
円の上で頂点をドラッグします。 3 つの比率は常に直径 2R に等しくなります。
デモを見る

三角形$ABC$に外接する円の中心を$O$、半径を$R$とする。直径 $\overline{BD}$ をたどると、内接角 $\hat D$ と $\hat A$ は同じ円弧 $\overset{\frown}{BC}$ を参照します。ロゴ$\hat D = \hat A$。三角形$DCB$は$C$では長方形(半円に内接する)なので、

$$\operatorname{sen} D = \frac{a}{2R} \;\Rightarrow\; \operatorname{sen} A = \frac{a}{2R} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\operatorname{sen}A} = 2R.$$

$\dfrac{b}{\operatorname{sen}B} = 2R$、$\dfrac{c}{\operatorname{sen}C} = 2R$も同様に進めます。

注意知らせ

$\hat A$ が鈍角の場合、$\hat D = \hat A$ の代わりに $\hat D = 180^{\circ} - \hat A$ が表示されますが、$\operatorname{sen}(180^{\circ} - A) = \operatorname{sen}A$ であるため結果は変わりません。 $\hat A$が直線であれば、$\operatorname{sen}90^{\circ} = 1$と$a = 2R$の関係も成り立ちます。