Euler's Eyes
2026-10-14
ロピタルの定理：侯爵に売られた講義
私はベルヌーイ両氏の見識、とりわけ現在フローニンゲンの教授である若いほうの方の見識に多くを負っていることを認める。私は遠慮なく彼らの発見と、ライプニッツ氏の発見を使わせてもらった。
— ロピタル侯爵『無限小解析』序文（1696）
1691 年、ギヨーム・ド・ロピタル侯爵は 30 歳で、爵位と城と、ひとつの情熱をもっていました。発表されたばかりで、フランスではほとんどだれも読めなかったライプニッツの微積分を理解することです。微積分をほとんどだれよりもよく知っていたスイスの若者ヨハン・ベルヌーイがパリに現れると、侯爵は彼を家庭教師として雇いました。
ヨハンがスイスに戻ったあとも、講義は手紙で続きました。1694 年 3 月 17 日、ロピタルは変わった提案を書き送ります。年に 300 リーヴルの年金を払う。条件は、ヨハンが質問に答え、自分の発見を送り、それをほかのだれにも伝えないこと。新婚で職のなかったヨハンは受け入れました。
二年後、『曲線の理解のための無限小解析』がパリで出版されました。表紙に著者名はありませんでしたが、だれもがロピタルの本だと知っていました。それは歴史上 最初の微分学の本 で、明快でよく整理されており、ほぼ一世紀のあいだヨーロッパで微積分を教えるのに使われました。その第 9 章に、$\frac00$ の形の極限を計算する規則がありました。
問題：0 を 0 で割る
$x$ がある点 $a$ に近づくとき、分子と分母がともに 0 に近づくなら、分数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ はどこに向かうのか。そう知りたいことはよくあります。たとえば
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$$$x=0$ を代入すると $\frac00$ になり、意味をなしません。分数はどんな値に近づくこともあり、どこにも近づかないこともあります。二つの関数が 0 に向かう 速さ を比べなければなりません。
ヨハンの考え
$a$ の近くでは、微分可能な関数はその接線に似ています。
$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$$f(a)=g(a)=0$ なら、残るのは
$$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$$\frac00$ の原因だった因子 $(x-a)$ が消えます。規則はこう言います。$f(a)=g(a)=0$ で、右辺の極限が存在すれば、
$$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$正弦では、$\lim\frac{\sin x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$。新しい商もまた $\frac00$ なら、規則をもう一度使います。
$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.$$厳密な証明には、十九世紀のコーシーの平均値の定理を使います。ヨハンは無限小で考えていました。$a$ の近くで「ほとんど 0」の $f$ と $g$ はそれぞれ無限小であり、二つの無限小の比はそれらの微分の比 $\frac{df}{dg}$ だ、というわけです。
1696 年の例題
ロピタルの本は、手間のかかる例題でこの規則を説明しています。$a>0$ として、$x\to a$ のときの次の式の極限を求めよ。
$$\frac{\sqrt{2a^3x-x^4}-a\sqrt[3]{a^2x}}{a-\sqrt[4]{ax^3}}.$$$x=a$ では、分子は $\sqrt{a^4}-a\cdot a=0$、分母は $a-a=0$ です。分子を微分すると、
$$\frac{2a^3-4x^3}{2\sqrt{2a^3x-x^4}}-\frac{a\cdot a^{2/3}}{3x^{2/3}}\ \xrightarrow{x=a}\ \frac{-2a^3}{2a^2}-\frac a3=-\frac{4a}3.$$分母を微分すると、
$$-\frac34\,a^{1/4}x^{-1/4}\ \xrightarrow{x=a}\ -\frac34.$$極限は $\dfrac{-4a/3}{-3/4}=\dfrac{16a}9$ です。$a=1$、$x=0.999$ とすると、もとの分数は $1.773$ で、すでに $\frac{16}9\approx1.778$ に近い値です。
規則を発明したのはだれか
ロピタルは 1704 年に亡くなりました。その少しあと、ヨハンは公の場で、この規則も本の大部分も自分のものだと言いはじめました。ほとんどだれも信じませんでした。気むずかしいことで知られた男が、自分を弁護できない亡き貴族に文句をつけているように見えたのです。
1921 年、ヨハンが 1691 年と 1692 年に準備した微分学の講義の手稿がバーゼル大学図書館で見つかり、翌年出版されました。くらべてみると、『解析』の大部分がこの講義に忠実にしたがっており、規則もそのなかにありました。けれども話は盗みというほど単純ではありません。ロピタルは材料に代金を払い、上の引用のとおり序文で恩義を認め、講義より明快な本を書いたのです。規則は今も彼の名で呼ばれています。
練習問題：x が 0 に近づくときの ln(1 + x)/x の極限を求めよ。
$x=0$ で分子も分母も 0 です。導関数の商は $\frac{1/(1+x)}{1}$ で、$1$ に近づきます。この極限は、0 の近くでは $\ln(1+x)\approx x$ であることを示しています。銀行が小さな利率を換算するときに使う近似です。
練習問題：x が 0 に近づくときの (1 + x)/x にこの規則を使うとどうなるか？
まちがった結論になります。ここでは分子は 0 ではなく $1$ に近づくので、不定形ではなく、規則は使えません。導関数の商は $\frac11=1$ になりますが、実際の分数は右から $+\infty$、左から $-\infty$ に向かいます。規則を使う前に、ほんとうに $\frac00$ か $\frac\infty\infty$ であることを確かめなければなりません。
出典： Guillaume de l’Hôpital、Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes（パリ、1696）第 9 章 · Dirk J. Struik、“The origin of l’Hôpital’s rule”、The Mathematics Teacher 56（1963）· ヨハン・ベルヌーイの伝記、MacTutor。