Euler's Eyes
2026-10-11
三角形の合同
2 つの三角形がお互いの「コピー」になるのはどのような場合ですか? 6 つの要素をチェックする必要はなく、適切に選択された 3 つだけで十分です。
発見者
著者名のある最も古い基準は、 アッラー (片側と隣接する 2 つの角)。 プロクロスロードス島のエウデモスを引用して、次のように述べています。 ミレトスのタレス （紀元前 6 世紀）海上の船の距離を計算するために使用されました。事例のデモンストレーション LAL (提案 I.4)、 LLL (I.8) および アッラー (I.26) はあります 要素 の ユークリッド (紀元前300年頃)。 1899年に、 デヴィッド・ヒルベルト LAL の場合を公理として受け入れる必要があることを示しました。
歴史
LAL の場合を証明するために、Euclid は 1 つの三角形を「移動」し、別の三角形の上に置きます、 いわゆる重ね合わせ法です。古代以来、解説者たちは、この運動を承認する公準は存在しないと指摘してきた。多くの人がその証拠を受け入れました。ルネサンス期の数学者ジャック・ ペルティエ (1557) など他の人はこれを批判した。
ヒルベルトは議論を締めくくりました。彼の公理学では、LAL の場合のバージョンは合同公理の 1 つであり、そこから ALA と LLL の場合が実証されています。この本で LAL が公準であり、他の場合が定理であるのはこのためです。
日常生活での応用
- 三角形は変形しない LLLの場合、3辺が決まれば三角形が決まります。フレンチハンド（斜めの棒）のある棚は道を譲らず、斜めのない門は曲がるのはこのためです。
- 到達できないものを測定します 船のタレスのように、陸上で 1 つの辺と 2 つの角度を測定することで、測定可能な場所に合同な三角形が構築されます。
- シリーズ生産 同じテンプレートでカットされたパーツは一致しており、交換することができます。
- 対称性。 ルーフ ハサミの 2 つの半分 (三角形のフレーム) は合同な三角形であり、重量のバランスが取れています。
出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 I.4 · 要素、命題 I.26 · ヒルベルト (MacTutor)。
理論と作図
定義合同な三角形
三角形が別の三角形に合同であるのは、 その辺が規則的に合同であり角が規則的に合同であるように頂点間の対応関係を確立できる場合に限ります。
$$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}},\ \overline{AC} \equiv \overline{A^{\prime}C^{\prime}},\ \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}} \\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \end{cases}$$三角形の合同は再帰的、対称的、推移的です。
定義には6 つ の一致が必要です。しかし、 たった 3 つの要素ですでに他の要素を保証する最低の条件があり、 それが合同の場合（または基準）です。図のケースを選択して、なぜ 3 つのサイコロで十分なのか、そしてなぜ「LLA」では不十分なのかを見てみましょう。
公準1 番目のケース — LAL
2 つの三角形の二辺と閉じた角度がきれいに一致する場合、それらは合同です。
$$\overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}},\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \overline{AC} \equiv \overline{A^{\prime}C^{\prime}} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$LAL 事件は仮説です。他の場合もそこから証明されます。
定理二等辺三角形 の定理
三角形に合同な 2 つの辺がある場合、それらの辺の反対側の角は合同です。つまりすべての二等辺三角形 は等角です（底角が合同）。
$$\overline{AB} \equiv \overline{AC} \ \Longrightarrow\ \hat{B} \equiv \hat{C}$$デモ
- アイデアは、三角形を「反転」した三角形と比較することです。$A$、$B$、$C$ を $A$、$C$、$B$ に関連付けます。
- $\overline{AB} \equiv \overline{AC}$ (仮説)、$B\hat{A}C \equiv C\hat{A}B$ (同じ角度です)、$\overline{AC} \equiv \overline{AB}$ (仮説)。
- LAL の場合、$\triangle ABC \equiv \triangle ACB$。
- この合同から、最初の角度 $B$ は 2 番目の $C$ の角度 $\hat{B} \equiv \hat{C}$ に対応します。
定理2 番目のケース — ALA
2 つの三角形の一辺とそれに隣接する 2 つの角が規則的に合同する場合、それらは合同です。
$$\hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$デモンストレーション (LAL へのフォールバック)
- $\overline{BA} \equiv \overline{B^{\prime}A^{\prime}}$ を証明するだけで、LAL の価値があります。
- セグメントを転送することで、レイ $\overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}$ 上の $X$ を $\overline{B^{\prime}X} \equiv \overline{BA}$ で取得します。
- LAL ($\overline{BA} \equiv \overline{B^{\prime}X}$、$\hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime}$、$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$)、$\triangle ABC \equiv \triangle XB^{\prime}C^{\prime}$、次に $B\hat{C}A \equiv B^{\prime}\hat{C^{\prime}}X$ による。
- ただし、仮に $B\hat{C}A \equiv B^{\prime}\hat{C^{\prime}}A^{\prime}$ とします。角度を移動することにより、光線 $\overrightarrow{C^{\prime}X}$ と $\overrightarrow{C^{\prime}A^{\prime}}$ は一致し、どちらも単一点 $X = A^{\prime}$ で $\overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}$ をカットします。
- 次に $\overline{B^{\prime}A^{\prime}} \equiv \overline{BA}$、LAL の場合は $\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
ALA の場合では、二等辺三角形 定理の逆数を証明します。三角形が 2 つの合同な角を持つ場合、それは二等辺である（前と同様に、$\triangle ABC$ と $\triangle ACB$ を比較してください）。
定理3 番目のケース — LLL
2 つの三角形の3 つの辺がきれいに合同であれば合同です。
LLL ケースのデモを見る
角度 $C\hat{A}B$ と線分 $\overline{AC}$ を移送して、$X\hat{A^{\prime}}B^{\prime} \equiv C\hat{A}B$ と $\overline{A^{\prime}X} \equiv \overline{AC}$ を含む点 $X$ を取得します。$X$ は、直線 $A^{\prime}B^{\prime}$ に関して $C^{\prime}$ の半平面の反対側の半平面にあります。 LAL によって、$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}X$、次に $\overline{XB^{\prime}} \equiv \overline{CB} \equiv \overline{C^{\prime}B^{\prime}}$。
したがって、三角形$A^{\prime}C^{\prime}X$と$B^{\prime}C^{\prime}X$は底辺$\overline{C^{\prime}X}$を持つ二等辺三角形であり、その底角は合同です。これらの角度を加算または減算すると ($\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ を内側または外側に切断する線 $C^{\prime}X$ に従って)、$A^{\prime}\hat{C^{\prime}}B^{\prime} \equiv A^{\prime}\hat{X}B^{\prime}$ が得られます。 LAL 著、$\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}X \equiv \triangle ABC$。
中点の有無と角の二等分線
合同の場合を使って、前の章で約束した 2 つの存在を証明します。
定理中点の存在
$\overline{AB}$ が与えられると、線分 $AB$ に対して反対側の半面に $C$ と $D$ を配置して、$C\hat{A}B \equiv D\hat{B}A$ と $\overline{AC} \equiv \overline{DB}$ を構築します。線分$\overline{CD}$は点$M$で$\overline{AB}$をカットします。それから：
$\triangle CAB \equiv \triangle DBA$ (LAL) $\Rightarrow$ $\triangle CAD \equiv \triangle DBC$ (LLL) $\Rightarrow$ $\triangle AMD \equiv \triangle BMC$ (ALA) の次に $\overline{AM} \equiv \overline{BM}$: $M$ は $\overline{AB}$ の中点です。
定理角の二等分線の存在
$a\hat{O}b$ が与えられた場合、$A, A^{\prime}$ を $\overrightarrow{Oa}$ に取り込み、$B, B^{\prime}$ を $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$、$\overline{OA^{\prime}} \equiv \overline{OB^{\prime}}$、および $OA^{\prime} > OA$ を使用して $\overrightarrow{Ob}$ に取り込みます。 $C$ を $\overline{AB^{\prime}}$ と $\overline{A^{\prime}B}$ の出会いとします。次に、$\triangle AOB^{\prime} \equiv \triangle BOA^{\prime}$ (LAL)、$\triangle ACA^{\prime} \equiv \triangle BCB^{\prime}$ (ALA)、$\triangle OAC \equiv \triangle OBC$ (LLL または LAL) です。したがって、$A\hat{O}C \equiv B\hat{O}C$: $\overrightarrow{OC}$ は角の二等分線 となります。
中央値と内部 角の二等分線
定義三角形の中央値と内部 角の二等分線
- 中央線 とは、頂点と反対側の中点に端がある線分です。 $M_a$ が $\overline{BC}$ の中点の場合、$\overline{AM_a}$ は辺 $\overline{BC}$ (または頂点 $A$) に対する中央値です。
- 角の二等分線 内部とは、頂点とその反対側に端があり、その頂点の角度を 2 つの合同な角度に分割する線分です。 $S_a \in \overline{BC}$と$S_a\hat{A}B \equiv S_a\hat{A}C$の場合、$\overline{AS_a}$は$\overline{BC}$側から見た角の二等分線となります。
外角
定理外角定理
$\triangle ABC$ が与えられ、$\overrightarrow{CX}$ が $\overrightarrow{CB}$ の反対側の光線である場合、角度 $e = A\hat{C}X$ は $\hat{C}$ に隣接する ($\hat{A}$ と $\hat{B}$ には隣接しない) という外角になります。これは、$\hat{C}$ の隣接する補足であり、次のとおりです。
三角形の外角は、隣接しない内角のいずれよりも大きくなります: $e > \hat{A}$ および $e > \hat{B}$。
デモ
- $M$ を $\overline{AC}$ の中点とし、$P$ を $\overline{BM} \equiv \overline{MP}$ との光線 $\overrightarrow{BM}$ の点とします。
- $\overline{AM} \equiv \overline{MC}$、$A\hat{M}B \equiv C\hat{M}P$ (o.p.v.) および $\overline{BM} \equiv \overline{MP}$: LAL の場合、$\triangle BAM \equiv \triangle PCM$、したがって $B\hat{A}M \equiv P\hat{C}M$ (1)。
- $P$ は角度 $e = A\hat{C}X$ の内部であるため、$e > P\hat{C}M$ (2) が得られます。
- (1) と (2) から: $e > \hat{A}$。
- $\overline{BC}$ の中点をとり、頂点の反対側の角度を使用して、$e > \hat{B}$ と同じ方法で証明されます。
定理4 番目のケース — LAAₒ
2 つの三角形の辺、隣り合う角、 その辺の反対側の角が規則的に合同であれば合同です。
$$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime} \ \Longrightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$$LAAₒ ケースのデモを見る
$AB = A^{\prime}B^{\prime}$、$AB < A^{\prime}B^{\prime}$、または $AB > A^{\prime}B^{\prime}$ の 3 つの可能性があります。最初のケースでは、LAL が実行され、それで終わりです。
$AB < A^{\prime}B^{\prime}$の場合、光線$\overrightarrow{BA}$上の$D$を$\overline{BD} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$で取得します。 LAL により、$\triangle DBC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$、次に $\hat{D} \equiv \hat{A}^{\prime} \equiv \hat{A}$。ただし、$\hat{A}$ は $\triangle ADC$ の外角であり、$\hat{D}$ に隣接していません。外角定理 $\hat{A} > \hat{D}$ によると、ナンセンスです。 $AB > A^{\prime}B^{\prime}$ の場合も同様で、$A$ と $B$ の間に $D$ があります。最初の可能性が残っています。
定理特殊なケース - 直角三角形
2 つの直角三角形の一辺と斜辺が規則的に合同であれば合同です。
特殊なケースのデモを見る
$\hat{A}$と$\hat{A}^{\prime}$は直線、$\overline{AB} \equiv \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$と$\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$は直線とします。 $\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}$ と $\overline{A^{\prime}D} \equiv \overline{AC}$ の反対側の光線で $D$ を取得します。 LAL により、$\triangle ABC \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}D$、次に $\overline{B^{\prime}D} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$、$\hat{D} \equiv \hat{C}$。 $\triangle B^{\prime}C^{\prime}D$ は底 $\overline{C^{\prime}D}$ からの二等辺であり、次に $\hat{C}^{\prime} \equiv \hat{D} \equiv \hat{C}$ です。 $\overline{BC} \equiv \overline{B^{\prime}C^{\prime}}$、$\hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime}$、および $\hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime}$ により、LAAₒ 事件は終了します。
まとめ一致する場合
| 場合 | 合同な要素 | 状態 |
|---|---|---|
| LAL | 2 つの辺とそれらの間の角度 | 公準 |
| アッラー | 1 つの側面と 2 つの隣接する角 | 定理 |
| LLL | 三面 | 定理 |
| LAAₒ | 片側、隣接する 1 つの角度、および反対側の角度 | 定理 |
| 特別 | 辺と斜辺(直角三角形) | 定理 |
| LLA、AAA | — | 一致を保証するものではありません |