和を積に変換し、積を和に変換する

2 つの既知の式を追加します

$\sin(a+b)$と$\sin(a-b)$の式を書きます。これらを合計すると、$\cos a\sin b$ を含む項は互いに打ち消し合います。

$$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$

次に、$u=a+b$ と $v=a-b$ を実行します。次に$a=(u+v)/2$と$b=(u-v)/2$。これにより、以下の最初の ID が生成されます。他のケースは、サインとコサインの式を加算または減算することによって得られます。

$$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$

これらのアイデンティティは、すべての実数 $u,v$ に対して有効です。後者の場合、負符号は必須です。

同じ式を並べ替えると、次のようになります。

$$2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b),$$

$$2\cos a\sin b=\sin(a+b)-\sin(a-b),$$

$$2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b),$$

$$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b).$$

ゼロを見つけるには、1 つの製品の方が便利な場合があります。合計は、項をまとめたり、正確な値を計算したりする場合に便利です。

$\sin3x+\sin x=0$ での変換は次のようになります。

$$2\sin2x\cos x=0.$$

したがって、$\sin2x=0$ または $\cos x=0$ になります。最初のファミリーは $x=k\pi/2$、2 番目のファミリーは $x=\pi/2+k\pi$ です。後者は前者にすでに含まれています。すべての解の集合は$\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$です。

$$\sin75°+\sin15°=2\sin45°\cos30°=\frac{\sqrt6}{2}.$$

小数による近似は必要ありませんでした。角度の平均によって一方の要素が決まり、差の半分によってもう一方の要素が決まります。

ビート。 440 Hz と 442 Hz の 2 つの音は、1 秒間に 2 回パルスする 441 Hz の音のように聞こえます。その合計が積になります。
電話キー。 各キーは 2 つの周波数を追加します。制御ユニットは合計を分離してキーを認識します。
AM ラジオ。 サウンドに搬送波を乗算すると、ラジオが拾う和周波数と差周波数が作成されます。

プロダクト内のサインの合計: ミュージシャンがチューニングに使用するビート。

1. $\cos5x-\cos x$ を製品に変換します。

解像度確認1

$\cos5x-\cos x=-2\sin3x\sin2x$.

2. $2\sin75°\sin15°$を計算します。

解像度確認2

和に変換すると$\cos60°-\cos90°=1/2$となります。

すべてのデモンストレーションと演習の完全なリストを含む同じ主題が、インタラクティブな三角関数の本に含まれています。

このクラスは、このトピックの短い紹介です。この本では、理論に、その章の解決済みおよび提案された演習が付属しています。