三角形の内部の 3 つの 角の二等分線 は、その内側に収まる最大の円の中心である 内心 で交わります。

発見者

この構造はユークリッドの原論の命題IV.4 (c. 300 BC) 「与えられた三角形に円を内接する」 にあります。 Euclid は、角の二等分線 を 2 つの角度から描き、交わる点を取り、それが 3 つの側面から同じ距離にあることを示します。 3台目の角の二等分線もここを通過するので、この3台はライバルです。有名な公式は、この円の半径と面積を結び付けています。 それは、3 辺の面積に関する彼の公式とともに、アレキサンドリアのサギ (西暦 1 世紀) のメートル法にあります。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。
アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

原論 の第 4 巻は、円内に図形を内接したり外接したりすることに特化しています。 内心 は、奇妙な点としてではなく、三辺に接する円を描くためにコンパスの先端をどこに置くかという実際的な建築上の問題の解決策としてそこに表示されます。

角の二等分線 は 内心 にあります。辺に等しい距離が内接円の半径を決定します。
角の二等分線 は 内心 にあります。辺に等しい距離が内接円の半径を決定します。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。

ヘロンは、三角形の面積が内接円の半径に周囲の半分を掛けたものに等しいことを示しました。アイデアは、三角形を 内心 に頂点を持つ 3 つの三角形に分割し、それぞれの高さが半径に等しいというものです。

日常生活での応用

  • 最大の円形テーブル。 部屋または三角形の敷地内に収まる最大のテーブル、プール、または円形ベッドは 内心 の中心にあります。
  • ラウンドアバウト。 三角形の三差路交差点では、3 本の通りの等距離点は 内心 です。
  • シートカット 三角形の金属または木材のスクラップから可能な限り大きなディスクを切り出すには、カットの中心は 内心 です。
  • ウォッチポイント。 三角形の湖の 3 つの岸から同じ距離にあるポストは 内心 にあります。

出典: 要素、命題 IV.4 · アレクサンドリアのサギ (MacTutor)。

理論と作図

定理内部からの競合 角の二等分線

三角形の内部の 3 つの 角の二等分線 は、辺からの距離が等しい同じ点で交差します。

$$\overline{AS_1} \cap \overline{BS_2} \cap \overline{CS_3} = \lbrace S \rbrace, \qquad d_{S,a} = d_{S,b} = d_{S,c}.$$

デモンストレーション。 $S$ を $\overline{BS_2}$ と $\overline{CS_3}$ の出会いとします。 $S$は$\hat{B}$の角の二等分線、$d_{S,a} = d_{S,c}$にあるので、 $\hat{C}$、$d_{S,a} = d_{S,b}$ のように。したがって、$d_{S,b} = d_{S,c}$、および $S$ は $\hat{A}$ の 角の二等分線 にも含まれます (角の辺から等距離にある内部点は 角の二等分線 に含まれます)。

定義内心

内側の 3 つの 角の二等分線 の合流点は内心 です。三角形（３辺に接する） に内接する円の中心です。