Euler's Eyes
2026-10-15
方程式が累乗根で解けるとき
方程式の群という考えによって、ガロアはアーベルのあとに残された問いに答えました。どの方程式なら累乗根で解けるのか。答えはどんな技法にもよりません。群の形だけで決まるのです。
根をとるたびに群が切られる
方程式を累乗根で解くとは、すでにわかっている数に、根を一つずつ加えていくことです。最初は有理数しか知らず、方程式の群は丸ごと残っています。$\sqrt3$ や $\sqrt[3]{5}$ のような根を加えるたびに、新しく成り立つ関係が現れ、それを守る置換は減っていきます。群は小さくなるのです。群が恒等置換だけになったとき、方程式の根はすべて既知の数で書けます。方程式が解けたのです。
ガロアは、平方根、立方根、5 乗根のような素数 $p$ 乗根をとるたびに、群がとても特別なしかたで小さくなることを示しました。新しい群はもとの群の正規部分群であり、もとの群にちょうど $p$ 回おさまるのです。結論がガロアの定理です。
$$\boxed{\text{方程式が累乗根で解ける}\iff\text{群を、素数の指数をもつ正規な段階で、恒等元まで切り分けられる。}}$$このように切り分けられる群は、この歴史にちなんで可解群と呼ばれます。
3 次：カルダノの公式
一般の 3 次方程式の群は三つの根の六つの置換の群で、三角形の六つの対称性の群と同じです。それは次のように切り分けられます。
$$\underbrace{\{e,r,r^2,s_1,s_2,s_3\}}_{6}\ \supset\ \underbrace{\{e,r,r^2\}}_{3}\ \supset\ \underbrace{\{e\}}_{1}.$$指数は $6\div3=2$ と $3\div1=3$ です。これは、まず平方根、次に立方根をとるということです。まさにカルダノの公式の形で、立方根の中に平方根が現れます。
$$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$群は、公式が書かれる前にそれを説明しているのです。
4 次：フェラーリの公式
四つの根の 24 個の置換は、四段階で切り分けられます。
$$24\ \supset\ 12\ \supset\ 4\ \supset\ 2\ \supset\ 1,$$指数は $2, 3, 2, 2$ で、すべて素数です。フェラーリの公式は、この順に、平方根を一つ、立方根を一つ（ラグランジュの補助 3 次方程式を解くため）、さらに平方根を二つ使います。
5 次：切り分けられない群
五つの根の $120$ 個の置換は、一度だけ半分に切って、$60$ 個の元からなる正規部分群、いわゆる偶置換にできます。しかし鎖はそこで止まります。この 60 個の元の群には、$\{e\}$ と自分自身のほかに正規部分群がないのです。恒等元にたどり着くには指数 60 の一歩が必要ですが、60 は素数ではありません。不可能です。
これが、一般の 5 次方程式に公式がない理由です。アーベルの定理を、今度はガロアの目で見たのです。しかしガロアの理論はさらに先へ進みます。個別の方程式については、群を計算すればよいのです。方程式 $x^5-2=0$ の群は 20 個の元をもち、可解で、実際に解けます：$x=\sqrt[5]2$。一方、$x^5-x-1=0$ の群は 120 個の置換すべてで、その実数解 $1.1673\ldots$ は累乗根では書けません。
練習問題：三角形の鎖を部分群 {e, s₁} から始められないのはなぜか。
それが正規ではないからです。$g=r$、$h=s_1$ として、「$g$ を取り消し、$h$ をし、$g$ をやり直す」、つまり $r^2\star s_1\star r$ を計算します。表から $r^2\star s_1=s_3$、$s_3\star r=s_2$ です。結果の $s_2$ は $\{e,s_1\}$ にふくまれません。回転については、計算の結果はいつも回転になるので、鎖は $\{e,r,r^2\}$ を通るのです。
練習問題：x⁵ − 2 = 0 の群は 20 個の元をもち、20 ⊃ 10 ⊃ 5 ⊃ 1 と切り分けられる。公式はどんな根を使うか。
指数は $20\div10=2$、$10\div5=2$、$5\div1=5$ で、平方根二つと 5 乗根一つです。二つの平方根は $\omega=\cos72°+i\sin72°$ を書くのに使います。$\cos72°=\frac{\sqrt5-1}4$ だからです。5 乗根は $\sqrt[5]2$ です。方程式の五つの根は $\sqrt[5]2,\ \sqrt[5]2\,\omega,\ \sqrt[5]2\,\omega^2,\ \sqrt[5]2\,\omega^3$、$\sqrt[5]2\,\omega^4$ です。
出典： Évariste Galois、“Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”（1831）、Journal de mathématiques pures et appliquées 11（1846）所収 · Felix Klein、Vorlesungen über das Ikosaeder（1884）· Ian Stewart、Galois Theory（CRC Press、第 4 版、2015）。