Euler's Eyes
2022-07-22
有理数を使った演算
正の有理数は紀元前の数世紀にエジプトで広く使用されていました。ホモ・サピエンスは何年も遊牧生活を送った後、農業革命を開始し、それに伴い有理数を使用する必要が生じました。これらの番号を使用する主なニーズは、土地標示での使用でした。
ナイル川では、土地の洪水により土地の再マーキングが必要になりました。このようにして、土地を記述するために有理数が使用されました。
定義
これまで、数学の歴史の中で、有理数は次のような分数で表されることに気づきました。
- 分子は整数 $p\in \mathbb{Z}$ です。
- 分母は整数 $q\in \mathbb{Z}$ です。
- 分母がゼロ以外 $q\neq 0$ です。
一般性を失わずに、正の有理数の定義から始めましょう。したがって、有理数のセットは次のように書くことができます。
定義: $p$ と $q$ を正の整数、$q\neq 0$ とすると、$\dfrac{p}{q}$ は正の有理数になります。正の有理数のセットは次のように与えられます。
$$\mathbb{Q} = \left\\{ \dfrac{p}{q}, \quad \text{com p e q inteiros positivos e q diferente de zero} \right\\}$$
そこで、3 番目の数値セットを作成します。数値の作成順序は次のとおりです。
- 自然数$\mathbb{N} = \\{0,1,2,3,\dots\\}$
- 整数 $\mathbb{Z} = \\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\\}$
- 有理数 $\mathbb{Q} = \left\\{\dots, -\dfrac{3}{2},-1, -\dfrac{1}{2}, 0,\dfrac{1}{2},1,\dfrac{3}{2},2,\dots \right\\}$
有理数を表す別の方法
前のセクションでは、有理数を $\frac{p}{q}.$ として表しました。ここでは、単位を q 等分したものとして有理数を表します。 $p$ と $q$ を正の整数とし、単位の除算の $p$ 部分を取ります。
$$p~.~\dfrac{1}{q} = \dfrac{p}{q}$$ここで、$p$ はユニットの分割部分の数であり、次のように表示されます。
$$p~.~\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{q} + \dots + \dfrac{1}{q} \qquad p\text{ vezes}$$例 1: $1$ と $\dfrac{1}{3}$ の表現は次のとおりです。
例 2: $\dfrac{2}{3}$ の表現は次のとおりです。
$$2~.~\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{3}$$
等価分数
場合によっては、同等の分数を取得できることがあります。天秤の原理を使用すると、これらの等価な分数を取得できます。
例 3: 相当する分数:
| $$\dfrac{3}{5}$$ | $$\dfrac{6}{10}$$ |
|---|---|
|
|
これらは等価な分数ですか?
実際、$\dfrac{2}{2}=1$ ということを覚えておく価値があります。
$$\dfrac{3}{5} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 2} } }{ {\color{red}{\times 2} } } = \dfrac{6}{10}$$定義: $p$、$q$、$a$、$b$ を正の整数とすると、$\dfrac{p}{q}=\dfrac{a}{b}$ の場合に限り、$\dfrac{p}{q}$ は $\dfrac{a}{b}$ と同等の分数になります。
3 の例から、次の点に注意してください。
$$\dfrac{6}{10} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{6}{10} \dfrac{ {\color{red}{\div 2} } }{ {\color{red}{\div 2} } } = \dfrac{3}{5}$$したがって、これらは実際には同等です。
分数の合計
分数の足し算では、分母が同じであることが第一のルールです。例を見てください。
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$$そして、分母が異なる場合はどうなるでしょうか？
メソッド 1: スケール
次のステップでは、両方の分数の分母を同じのままにします。このために、スケール方法を使用できます。
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 3} } }{ {\color{red}{\times 3} } } + \dfrac{1}{3} \dfrac{ {\color{red}{\times 5} } }{ {\color{red}{\times 5} } } = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{14}{15}$$一般に、次のようなものがあります。
$$\dfrac{p}{q} + \dfrac{a}{b} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{p}{q} \dfrac{ {\color{red}{\times b} } }{ {\color{red}{\times b} } } + \dfrac{a}{b} \dfrac{ {\color{red}{\times q} } }{ {\color{red}{\times q} } } = \dfrac{p ~.~b}{q~.~b} + \dfrac{a~.~q}{q~.~b} = \dfrac{pb + aq}{qb}$$$q, b$ がゼロ以外の場合、
メソッド 2: 最小公倍数
最小公倍数法は次のように実行されます。
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}$$次に、分母間の最小公倍数を計算してみましょう。
$$\mathcal{D}(3)=\\{3,6,9,12,{\color{red}{15} },18,\dots\\}$$$$\mathcal{D}(5)=\\{5,10,{\color{red}{15} },20\dots\\}$$
$$mmc(3,5) = \min \\{\mathcal{D}(3)\cap \mathcal{D}(5)\\} = 15$$
したがって、分母間の最小公倍数は15となります。したがって、合計を計算できます。
$$\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3}= \dfrac{3 {\color{red}{\times 3} } }{15} + \dfrac{1 {\color{red}{\times 5} } }{15} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} =\dfrac{14}{15}$$分数の引き算
分数の引き算では、分母が同じであることが第一のルールです。例を見てください。
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$$そして、分母が異なる場合はどうなるでしょうか？
メソッド 1: スケール
次のステップでは、両方の分数の分母を同じのままにします。このために、スケール方法を使用できます。
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3}{5} \dfrac{ {\color{red}{\times 3} } }{ {\color{red}{\times 3} } } - \dfrac{1}{3} \dfrac{ {\color{red}{\times 5} } }{ {\color{red}{\times 5} } } = \dfrac{9}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{4}{15}$$一般に、次のようなものがあります。
$$\dfrac{p}{q} - \dfrac{a}{b} \overset{\text{balança} }{=} \dfrac{p}{q} \dfrac{ {\color{red}{\times b} } }{ {\color{red}{\times b} } } - \dfrac{a}{b} \dfrac{ {\color{red}{\times q} } }{ {\color{red}{\times q} } } = \dfrac{p ~.~b}{q~.~b} - \dfrac{a~.~q}{q~.~b} = \dfrac{pb - aq}{qb}$$$q, b$ がゼロ以外の場合、
メソッド 2: 最小公倍数
最小公倍数法は次のように実行されます。
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3}$$次に、分母間の最小公倍数を計算してみましょう。
$$\mathcal{D}(3)=\\{3,6,9,12,{\color{red}{15} },18,\dots\\}$$$$\mathcal{D}(5)=\\{5,10,{\color{red}{15} },20\dots\\}$$
$$mmc(3,5) = \min \\{\mathcal{D}(3)\cap \mathcal{D}(5)\\} = 15$$
したがって、分母間の最小公倍数は15となります。したがって、合計を計算できます。
$$\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3}= \dfrac{3 {\color{red}{\times 3} } }{15} - \dfrac{1 {\color{red}{\times 5} } }{15} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{5}{15} =\dfrac{4}{15}$$分数の掛け算
分数の乗算では、分母の唯一のルールは、数値がゼロ以外でなければならないことです。例を見てください。
$$\dfrac{1}{3} ~.~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 ~.~ 1}{3~.~2}= \dfrac{1}{6}$$一般に、次のようなものがあります。
$$\dfrac{p}{q} ~.~ \dfrac{a}{b} = \dfrac{p ~.~ a}{q~.~b}$$分数の割り算
分数の除算における唯一のルールは、分母の数値がゼロ以外であることです。例を見てください。
$$\dfrac{1}{3} ~\div~ \dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{1}{2} }= \dfrac{\dfrac{1}{3} {\color{red}{\times 2} } }{\underbrace{\dfrac{1}{2} {\color{red}{\times 2} } }_{=1} } = \dfrac{\dfrac{2}{3} }{1} = \dfrac{2}{3}$$一般に、次のようなものがあります。
$$\dfrac{p}{q} ~\div~ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\dfrac{p}{q} {\color{red}{\times \dfrac{b}{a} } } }{ \underbrace{\dfrac{a}{b} {\color{red}{\times \frac{b}{a} } } }_{1} } = \dfrac{p }{q}~.~ \dfrac{b}{a}$$