数 $\pi$ は円の幾何学から、奇数は算術から来ています。両者が出会う理由は見当たりません。ところが出会うのです。

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$

奇数の逆数を、符号を交互に変えながら足したり引いたりし、結果に 4 を掛けると $\pi$ になります。

一つの発見、3 回

ライプニッツがこの公式を見つけたのは 1673 年、パリでまだホイヘンスに数学を習っていたころでした。結果を先生に見せると、ホイヘンスは感心して彼をほめました。これはライプニッツの最初の大発見で、自分は数学者になれると確信させたものでした。

彼が最初ではありませんでした。1671 年、スコットランドのジェームズ・グレゴリーはすでに逆正接の級数を見つけていて、この公式はその特別な場合です。さらに約 250 年前、ケーララ学派の創始者であるインドの数学者サンガマグラーマのマーダヴァが同じ級数を発見していました。ヨーロッパの人々はこれらの業績を知りませんでした。そのため今日ではマーダヴァ–ライプニッツ級数、あるいはグレゴリー–ライプニッツ級数と呼ばれています。

証明

今日の道具を使って、3 つのステップで公式を証明しましょう。

1. 等比数列の和。 公比 $-q$ の等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ の和には、よく知られた公式があります。$q=t^2$ として $N$ 項で打ち切り、余りの項を加えれば等式は正確になります。

$$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$

2. 両辺を 0 から 1 まで積分する。 左辺では、$\dfrac{1}{1+t^2}$ の 0 から 1 までの面積は $\arctan1=\dfrac\pi4$ です。$45°$ の正接は 1 だからです。右辺では、各べき $t^{2k}$ が $\dfrac{1}{2k+1}$ を与えます。

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$

3. 余りはゼロに近づく。 $1+t^2\ge1$ なので、余りには上限があります。

$$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$

$N$ が大きくなると $\dfrac{1}{2N+1}$ はゼロに近づき、和は $\dfrac\pi4$ にいくらでも近づきます。

美しいが、遅い

4 を掛けると、和は誤差 $\dfrac{4}{2N+1}$ 以内で $\pi$ に近づきます。これは遅いのです。

項数 和 × 4 保証される最大誤差
1 4 1.33
2 2.667 0.8
10 3.0418 0.19
100 3.1316 0.02
1000 3.1406 0.002

1000 項使っても、まだ小数第 3 位がまちがっています。小数 10 桁を正しくするには何十億もの項が必要です。この級数は $\pi$ を理解するには最高ですが、計算するには最悪です。今日、何兆桁も計算するコンピュータは、はるかに速い別の公式を使っています。

項の数を増やしてください。結果は π のまわりを交互に動きますが、誤差の保証はゆっくりとしか小さくなりません。

図で、和が $\pi$ の上下を行き来していることに注目してください。一つが上なら、次は下です。項が減少していく交代級数ではいつもこうなるので、本当の値はつねに隣り合う二つの和の間にあります。

練習：100 項でどれだけの最大誤差が保証されるか？

上限は $\dfrac{4}{2\cdot100+1}=\dfrac{4}{201}\approx0.0199$。これは保証であり、100 項での実際の誤差は約 $0.01$ です。

練習：π の誤差が 0.001 未満と保証されるには、何項必要か？

$\dfrac{4}{2N+1}<0.001$、つまり $2N+1>4000$ が必要です。$N=2000$ 項で十分です。

資料： ライプニッツの伝記、MacTutor · ジェームズ・グレゴリーの伝記、MacTutor · マーダヴァの伝記、MacTutor。

ライプニッツの全トピック · ← ライプニッツの機械：計算を動きに変える · カルクレムス：推論を計算するという考え →

画像クレジット.