Euler's Eyes
2026-10-11
三角形の結果
任意の三角形の内角の合計は 180° です。これはおそらくピタゴラスの次に最もよく知られた幾何定理です。
発見者
プロクロスは、ロードス島のエウデモスを引用しながら、 三角形の角度を足すと2 つの直角になることを最初に一般的に証明したのはピタゴラス派（紀元前6～5世紀）の功績であるとしています。解説者のジェミノは、古代人は正三角形、二等辺、不等辺角について別々に事実を証明していたと付け加えた。私たちに降りてきたバージョンはユークリッドの原論の命題I.32であり、これも外角が隣接しない2つの内角の和に等しいことを証明しています。
歴史
証明では辺の 1 つに平行なものを使用するため、第 5 の公準に依存します。これは詳細ではありません。非ユークリッド幾何学では、三角形の角度の合計は 180° とは異なります。たとえば、球の表面では、球は常に大きくなります。
ルジャンドルは 18 世紀末に、第 5 公準がなければ和が 180° を超えることはなく、単一の三角形の和が正確に 180° であれば、すべての三角形が 180° を超えることを証明しました。と言われています ガウス、ドイツの 3 つの山の間にある大きな三角形を測定するとき、彼はその和が 180 度であるかどうかを確認したでしょう。歴史家たちは、これが意図されたのかどうかについて議論しています。
日常生活での応用
- 角を切り取る 紙を三角形に切り抜き、3 つの角を切り取ってつなぎ合わせます。浅い角が形成されます。
- 屋根。 屋根の傾斜 (例: 30°) とハサミの上部が対称であることがわかっているため、大工は上部の角度を計算します: 120°。
- 地形 三角形の地形の 3 つの角度を測定するとき、測量士はその合計が 180° になるかどうかを確認します。差は測定誤差を示します。
- ナビゲーション。 パイロットとナビゲーターは、ルート三角形の 3 番目の角度を他の 2 つの角度から計算します。
出典: 要素、命題 I.32 · ピタゴラス (MacTutor) · ルジャンドル (MacTutor)。
理論と作図
定理外角
すべての三角形において、どの外角も隣接しない 2 つの内角の和 $e = \hat{A} + \hat{B}$ に等しくなります。
定理三角形の角度の合計
任意の三角形の角度の合計は 2 つの直角に等しくなります。
$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}.$$デモ
- $C$ を通して、$\overleftrightarrow{AB}$ に平行な直線 $\overleftrightarrow{CD}$ を描きます。外角$e$($\hat{C}$に隣接)を$\alpha$と$\beta$に分割します。
- $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ と横 $\overleftrightarrow{AC}$: $\alpha \equiv \hat{A}$ (交互)。
- $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ と横 $\overleftrightarrow{BC}$: $\beta \equiv \hat{B}$ (相当)。
- 追加: $e = \alpha + \beta = \hat{A} + \hat{B}$ — は外角定理です。
- $e$と$\hat{C}$は補足なので$e + \hat{C} = 180^{\circ}$、つまり$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$となります。
性質注意事項
- 平行な辺の角度 それぞれ平行な辺を持つ 2 つの角は一致 または相補的です。
- 正三角形。 正三角形 では、各角度は $60^{\circ}$ を測定します。二等辺三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B} \equiv \hat{C}$ で計算され、その合計は $180^{\circ}$ です。 正三角形 はすべて等角 です。
いくつかの演習で使用される有用な結果です。多角形が 2 つの平行線の間に「くちばし」を作る場合、くちばしの角度は、線分が平行線となす角度の合計になります。