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正弦・直角をはさむ辺・斜辺：三角法と失われた名前

ほとんどの生徒は、「サイン」「コサイン」「斜辺」といった言葉の意味を知らないまま使えるようになります。知らない町の通りの名前のように、覚えるためのラベルです。けれども、どの言葉もかつては何かを説明していて、なかには思いがけない物語を隠しているものもあります。たとえばサインは、うまくいかなかった翻訳の産物なのです。 ラテン語のピタゴラス 幾何学でいちばん有名な定理は、長いあいだ、三角形の辺の上にかかれた本物の正方形についての文でした。このサイトの以前の記事は、それを中世風にこう書いていました。 $$\textit{quadratum lateris } a \textit{ et quadratum lateris } b \textit{ aequalis quadratum lateris } c,$$「辺 $a$ の正方形と辺 $b$ の正方形は、辺 $c$ の正方形に等しい」。辺が $3$、$4$、$5$ なら、正方形の面積は $9$、$16$、$25$ で、たしかに $9+16=25$ です。$6$、$8$、$10$ なら $36+64=100$。今日では $$a^2+b^2=c^2$$と書きます。指数 $^2$ は、その呼び名「2 乗」（英語では squared、正方形にする）に、自分が出てきた図をまだ宿しています。この定理はギリシアだけのものではありません。紀元前 1800 年ごろのバビロニアの粘土板「プリンプトン 322」は、この関係をみたす数の組を並べていますし、中国の『周髀算経』は「勾股」と呼ばれる図で $3$、$4$、$5$ の場合を示しています。勾と股は、中国語での短い二辺の名前です。 カテトスとヒュポテヌーサ ヨーロッパの言語では、直角三角形の辺の名前はギリシア語から来ていて、位置を説明するものでした。直角をはさむ辺を表す cathetus は káthetos「垂れ下がるもの」から来ていて、大工のおもりの糸（下げ振り）を指す言葉でもあります。もう一方の辺に対して垂直に落ちる辺なのです。斜辺 hypotenuse は hypoteínousa「下にはりわたされたもの」から来ていて、直角の下を端から端まで、弓の弦のようにのびる辺です。 これらの名前は言葉によるイコンで、それぞれの辺がどこにあるかを言っていました。ラベルになったとき、絵は失われました。ギリシア語がわかる人には「斜辺はいちばん長い辺」はほとんど当たり前ですが、言葉を覚えただけの人には、また一つの規則にすぎません。日本語の「斜辺」も、ななめの辺という絵を残しています。 正三角形と特別な角 学校で覚えさせられるサインやコサインの値、$\frac12$、$\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt2}{2}$ などは、二つの図から出てきます。一辺 $a$ の正三角形を高さ $h$ で半分に切ると、角が $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ で、斜辺が $a$、一つの辺が $\frac a2$ の直角三角形が二つできます。ピタゴラスの定理から $$h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2\quad\Longrightarrow\quad h^2=\frac{3a^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{a}{2}\sqrt3.$$斜辺を $1$ とすると、$30^\circ$ の向かいの辺は $\frac12$、$60^\circ$ の向かいの辺は $\frac{\sqrt3}2$ です。正方形を対角線で切れば $45^\circ$ が現れ、二辺はどちらも $\frac{\sqrt2}2$ です。覚えさせられる表は、二つの図を読んだものにすぎないのです。

October 13, 2026 読んだ
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15 章の演習 — 任意の三角形

正弦の法則 624 $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ と $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$ がわかっているので、以下を決定します。 a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$。 解答を見るa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 以下の場合の$x$の値を求めます。 解答を見るa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$ 626 次の場合の三角形に外接する円の半径を求めます。 解答を見るa) $4\sqrt{3}$ · b) $9\sqrt{2}$ 627 次の場合の $x$ の値を取得します。 a) $ABCD$ が平行四辺形である。 b) $ABCD$ は等脚台形です。 解答を見るa) $6\sqrt{2}$ · b) $12\sqrt{2}$

October 12, 2026 読んだ
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注目行の計算

中央値、高さ、角の二等分線 は 3 辺からのみ計算できます。すべての公式は計量関係から生まれます。そして、スチュワートの単一の関係がそれらをすべて一度に解決します。 発見者 中央値の公式はアポロニウスの定理として知られており、 アレクサンドリアのパポはこの定理をペルガのアポロニウス (紀元前3世紀) によるものであるとしています。高さの公式は、 三角形の面積を辺の関数として表すサギの公式を使用しており、1 世紀にアレクサンドリアのサギがメートル法で実証しました（アラブ人はこれをアルキメデスの作としました）。頂点を反対側に接続する線分に成り立つ関係は、スコットランド人のマシュー・ スチュワートによって 1746 の書籍数学の高等部分でかなり使用される一般定理の中で発表されました。 ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン マシュー・スチュワート。作者不明 作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 スチュワート (1717 – 1785) はグラスゴーでロバート シムソン、エディンバラでコリン マクローリンの学生であり、マクローリンの後任として数学教授として就任しました。彼は、太陽までの距離の計算などの天文学的な問題に対しても、ギリシャ風に純粋に幾何学的な方法を提唱しました。 ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン コリン・マクローリン。David Steuart Erskine (1742–1829) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 頂点と反対側の点を結ぶ線分は、今日ではイタリアのジョバンニ チェヴァ (1678) にちなんでチェヴィアーナと呼ばれています。中央値、身長、および 角の二等分線 は特定の Cevian であるため、スチュワートの関係式によりそれらすべての式が得られます。

October 12, 2026 読んだ
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計量関係とコサイン定理

ピタゴラスの定理には角度が正しくない場合の修正項があります。この用語は余弦の法則です。 発見者 このトピックの計量関係は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の 原論 にあります。地域言語では、命題 II.12 は鈍角の反対側を扱い、II.13、鋭角の反対側。コサイン形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ は、三角関数表とともにずっと後に登場しました。ペルシャの天文学者ジャムシード・ アル＝ カシは、1427 の算術の鍵でそれを発表しました。フランスでは、余弦の法則は今でもテオレム・ダル・カシと呼ばれています。 フランソワ・ ヴィエットは1593にコサインを付けて書きました。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン フランソワ・ヴィエテ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 ユークリッドには長さを表すコサインや数値はありませんでした。同氏は、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の2辺の正方形の合計よりも、一方の辺と他方の辺の投影によって形成される「長方形の2倍」大きいと述べた。このトピックと同じ関係で、領域で書かれています。 $a^2$ と $b^2 + c^2$ を比較すると、簡単なテストが行​​われます。3 つの辺を知るだけで、三角形が鋭角か直角か鈍角かがわかります。 日常生活での応用 航海。 10 km 進み、40° 回転してさらに 6 km 進むボートは、余弦の法則によって計算される港からの距離です。 ロボット工学。 2 セグメントのロボット アームの関節角度は余弦の法則によって計算されます。 地形 土地の 2 つの辺とそれらの間の角度を測定すると、3 番目の辺は余弦の法則から外れます。 スポーツ アナリストは、2 人のプレーヤーと 3 人目のプレーヤーの間の距離とそれらの間の角度に基づいてパスの距離を計算します。 出典: 要素、命題 II.12 · 要素、命題 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。

October 12, 2026 読んだ
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サイン定理

どの三角形でも、各辺を反対角の正弦で割ると、常に同じ数値、つまり外接円の直径が得られます。 発見者 サインの法則は、天球上に描かれた三角形のために天文学で生まれました。この球形のものは、10 世紀にアブ・アル・ワファやアブ・ナスル・ マンスールなどイスラム世界の天文学者によって入手されました。平面三角形の形は、三角法を天文学から独立した学問としたペルシアのナーシル・アル・ディン・ アル・トゥシによる四角形に関する論文 (1260) に体系的に現れています。ヨーロッパでは、1464 で書かれ 1533 で印刷されたレギオモンタヌス によるあらゆる種類の三角形についてという本によって広まりました。 アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン レギオモンタヌス。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 正弦波が登場する以前、天文学者は和音を扱いました。ヒッパルコスとプトレマイオスは円の各弧の和音を表にしました。円弧の弦は中心角の半分の正弦の 2 倍です。これが正弦の法則が本質的に円の弦の結果である理由であり、このトピックのデモンストレーションでは正確に外接円を使用します。 ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 正弦の法則を使用すると、距離と 2 つの角度を測定するだけで、三角形の反対側を計算できます。これは、17 世紀から 19 世紀にかけて国全体を測る三角測量の原理でした。

October 12, 2026 読んだ
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章の演習 14 — 直角三角形

メトリックの関係 506 以下の場合の$x$の値を求めます。 解答を見るa) 5 ・ b) 12 ・ c) $\sqrt{7}$ ・ d) $3\sqrt{3}$ 507 次の場合、$x$ を $a$ の関数として決定します。 解答を見るa) $a\sqrt{3}$ b) $\dfrac{a}{2}$ 508 次の場合に $x$ を決定します。 解答を見るa) 12 ・ b) 24 ・ c) 20 ・ d) 8 509 次の場合に $x$ を決定します。 解答を見るa) $2\sqrt{29}$ b) 9 510 図に示されている要素との 10 メトリック関係を記述します。 解答を見る特に: $b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。

October 12, 2026 読んだ
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ピタゴラスの定理の応用

正方形の対角線、正三角形 の高さ、および 30°、45°、60° の三角比はすべて同じ定理から得られます。 発見者 正方形の対角線はすでに次のように計算されています。 バビロニア人: タブレット YBC 7289 (紀元前 1800 ～ 1600 年頃) $\sqrt{2}$ 小数点以下 6 桁が正しい。直角三角形の辺間の比率は、天文学的な表として始まりました。 ニカイアのヒッパルコス (紀元前 2 世紀) 文字列テーブルをセットアップした、インディアン アリヤバータ (499) ハーフロープを使い始めた — 私たちの 正弦 —そしてイスラムの天文学者は次のように述べています アブ・アル・ワファ (10 世紀) 組織化されたシャドウ テーブル、私たちの 接線。辺のあるすべてのピタゴラス三角形を生成する公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ そして $x^2 + y^2$、本の標語に登場します 要素 の ユークリッド. ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アリヤバータ、後の芸術表現。Cpjha13 · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 4.0 アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 エジプト人はすでに三角比を使用してピラミッドを建設しました。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) は、高さ 1 キュビトごとに顔が水平方向に何手のひら分進むかというセク、つまり顔の傾き、コタンジェントを計算しています。

October 12, 2026 読んだ
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メトリックの関係

斜辺の二乗は脚の二乗の和です。しかし、これは直角三角形の中で高さによって明らかになるいくつかの関係のうちの 1 つにすぎません。 発見者 直角三角形の辺間の関係は、直角三角形よりもはるかに古いものです。 サモス島のピタゴラス （紀元前6世紀）。取締役会 バビロン 紀元前 1800 年頃からは、3、4、5 などの用語を使用し、正方形の対角線を計算します。あなた スルバ・スートラ からの インド （紀元前 800 ～ 500 年頃）祭壇を築くための規則が述べられています。そして中国語のテキスト 周美蘇京 視覚的な証拠を提供します。ギリシャの伝統ではこの定理はピタゴラスと関連付けられていましたが、ピタゴラスがそれを実証したという文書による証拠はありません。私たちに伝わる最も古いデモは、 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題 I.47 定理を面積によって証明し、 I.48 を証明する 相互。ピッチとの関係 — 各脚とピッチとして 比例平均 — 提案の中にあります VI.8 そしてその結果。 サモス島のピタゴラス、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 この章の証明は、第 VI 巻のユークリッドの証明です。高さは三角形を元の三角形と同様の 2 つの三角形に分割し、比率は計量関係を示します。それらを 2 つ足すとピタゴラスの定理が得られます。数学における記述は、これほど多くの方法で証明されているものはほとんどありません。アメリカの教授エリシャ ルーミスは、1940 版の本のピタゴラス命題の中で、370 のさまざまな実証をまとめました。その中には、将来のアメリカ合衆国大統領ジェームズ ガーフィールドによるものもあります。 1876、空中ブランコで作りました。

October 12, 2026 読んだ
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ENEM 2025 – 解決された数学: 質問 151 ～ 165

出典: INEP – 証拠 およびテンプレート 2日目のノートブック5 – イエロー。 ENEM の数学とテクノロジーのテスト 2025 は 2 日目に実施され、 質問136から180まで。この投稿では、質問 151 から 165 に対処します。ここで使用されている番号はノートブック 5 – 黄色 のものです。私たち 他のノートブックでは、同じ質問が異なる順序で表示されます。 テンプレート 質問 主題 テンプレート 151 多面体: 頂点の数 B 152 比例: 生産 D 153 数値コード（ルール読み取り） D 154 確率: 順列 D 155 チャートの読み方: バーとセクター B 156 三角法: 余弦と方位の法則 A 157 統計: 平均と標準偏差 D 158 平均（走行ペース） E 159 正接関数: 周期と変位 E 160 メッシュの位置特定 (方向) A 161 1度の割合と不平等 B 162 組み合わせ分析: 乗法原理 B 163 規模 E 164 理由 C 165 パーセンテージ: コストと利益 C 問題 151: 回転伸長五角形ドームの頂点 声明 回転的に細長い五角形のドームはジョンソン多面体であり、その面は 正多角形ですが、プラトン、アルキメデス、プリズムの多面体ではありません またはアンチプリズム。

September 26, 2026 読んだ
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FUVEST 2025 – 第 2 フェーズ: 数学の解決

出典: FUVEST – 第 2 段階テスト 2 日目 (質問 M01 から M06)、FUVEST コレクション 2025 で入手できます。 FUVEST 2025 の第 2 フェーズでは、2 日目に、次のような具体的な談話的な質問がありました。 キャリア;この数学検定はM01からM06まで6問あります。各候補者 自分のキャリアの主題だけを解いた（6 つの質問、または 4 つの質問だけ、または 最初の 3 つ）。第 2 段階には多肢選択式の解答用紙はありません。FUVEST は解答用紙を公開しました。 解答ガイド パネルが期待する答えが得られます。以下の決議は私たちのものであり、それぞれの決議は 結果は、このガイドと 2 番目のパスを使用して確認されました。 テンプレート 質問 主題 答え M01 リニア システム: 文房具のプロモーション b) R$ 32,00; c) プロモーション I および III M02 条件付き確率と相対リスク a) 0,025; b) ≈ 0,833; c) 145 M03 テーブル内の番号パターン a) $46 + 40n$; b) 10; c) $n$ M04 プライス方式での融資（PGの合計） a) 38; b) R$ 19.294,05; c) $-\log_{1{,}01} 0{,}62$ M05 進行と小数点以下の桁数 a) PA 比 1/8; b) 2; c) $2^{b+1} - 1$ M06 彫刻における三角法 a) 45°; b) $k = 2\tan\alpha$; c) 2,5 m 質問 M01: 文具店のプロモーション (リニア システム) 声明 文房具店では次の 3 つの異なるプロモーションを提供しています。

September 26, 2026 読んだ
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FUVEST 2026 – 第 1 フェーズ: 数学の解決

出典: FUVEST – テスト V1 およびテンプレート 一般知識試験（第1段階）の23/11/2025で適用されます。のファイル FUVEST コレクション 2026。 FUVEST の第 1 フェーズ 2026 には、全員からの多肢選択問題 90 がありました。 規律。この投稿では数学の疑問をお届けします。ここで使用される番号付けは、 Proof V1 のもの。バージョン V2、V3、V4 では、同じ問題が別のバージョンでも発生します。 順序（公式テンプレートには対応表が含まれています）。 テンプレート 質問 主題 テンプレート 3 論理的推論: タイブレーカーによる選挙 キャンセル 4 対数: シャノンエントロピー A 6 空間幾何学: 通常のピラミッド E 7 三角法: 二重円弧の方程式 D 18 指数関数と対数 E 30 空間ジオメトリ: シリンダー体積 B 36 直角三角形の三角法 E 37 解析幾何学: 円方程式 A 55 完全数、素数、数列 B 74 関数グラフの変換 D 質問 3: 何票得れば選挙が保証されますか? 問題は FUVEST によってキャンセルされました。 公式解答用紙では、テスト V1 の質問 3 アスタリスク (無効化) が表示されます。 FUVESTは中止の理由を明らかにしていない。

September 26, 2026 読んだ