让我们证明将直角三角形的边的测量值与角的测量值联系起来的三个属性。它们将我们迄今为止研究的循环三角学与一切开始的三角形三角学联系起来。

故事

据说，米利都传说（公元前六世纪）通过将埃及大金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量埃及大金字塔的高度：在同一时刻，太阳与两个物体形成相同的角度，并且两者的高度和影子之间的比例相同。这正是本章的思想——一旦角度固定，直角三角形两条边之间的比率就固定了——尽管对于泰勒斯来说，这些比率仍然没有名称或表格。这个故事是由后来的作家写给我们的，比如第欧根尼·拉尔修斯和普鲁塔克。

泰勒斯和大金字塔：在同一时刻，金字塔和一根棍子的高度和阴影的比例是相同的。改变太阳的高度：阴影改变，计算的高度不变。

**书中的直角三角形。**在巴格达影子碑和现代碑之间，带有它们名字的直角三角形被绘制并重新绘制：

  1. c. 850
    Habash al-Hasib（艾哈迈德·伊本·阿卜杜拉）在他的天文学手稿中使用阴影和半弦。
  2. 1220
    比萨的列奥纳多（斐波那契）在实践几何中，将弦和三角形应用于土地的测量。
  3. 1551
    Rheticus，在正则三角学说中，通过直角三角形的边定义了六个函数。
  4. 1558
    Francesco Maurolico 编辑了墨涅拉俄斯的球面，包括球面桌子和三角形。
  5. 1620
    Edmund Gunter，在卡农三角中，介绍了余正弦和余切线。

来源： 故事 (MacTutor) · 第欧根尼·拉尔修斯 (Diogenes Laertius)，杰出哲学家的传记，I.27 · 亚里士多德，政治，I.11。

在日常生活中

  • **用手机测量建筑物的高度。**测角仪应用程序可测量与顶部的角度。在距离建筑物 30 米处，对于 $40^\circ$，眼睛上方的高度为 $30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$ 米。
  • 飞机着陆。 最终下降发生在距跑道约 $3^\circ$: 10 公里处，飞机高度为 $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ 米。
  • **土地坡度。**测量员和工程师根据坡度的切线（以百分比表示）对土地进行分类，以确定可以建造的位置。
用手机测量建筑物的高度：距离、角度和切线。

理论

锐角的正弦、余弦和正切

让我们考虑 $A$ 中的直角三角形 $ABC$、以顶点 $B$ 为中心的单位半径圆以及原点位于 $B$ 且轴 $u$ 在边 $\overline{BA}$ 上的系统 $uOv$。设$P$为斜边$\overline{BC}$与圆相切的点，$P_1$为$P$在轴$u$上的投影，$T$为直线$BC$与圆在$I = (1, 0)$处的切线相切的点。

Teorema三角比率

在与 $A$ 成直角的三角形 $ABC$ 中：

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$$$$\cos\hat{B} = \frac{c}{a} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{b}{c} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$$
查看演示

在中心循环$B$中，点$P$是圆弧$\hat{B}$的图像：然后是$PP_1 = \operatorname{sen}\hat{B}$、$BP_1 = \cos\hat{B}$和$IT = \operatorname{tg}\hat{B}$，最后是$BP = BI = 1$。

1) $\triangle BP_1P \sim \triangle BAC$（角度$\hat{B}$是常见的，都是直角），因此$\dfrac{CA}{BC} = \dfrac{P_1P}{BP}$，即$\dfrac{b}{a} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{B}}{1}$。

2) 同样相似，$\dfrac{BA}{BC} = \dfrac{BP_1}{BP}$，即$\dfrac{c}{a} = \dfrac{\cos\hat{B}}{1}$。

3) $\triangle BIT \sim \triangle BAC$，因此 $\dfrac{CA}{BA} = \dfrac{TI}{BI}$，即 $\dfrac{b}{c} = \dfrac{\operatorname{tg}\hat{B}}{1}$。

互补角

与 $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$ 和 $\hat{A} = 90^\circ$ 一样，我们有 $\hat{B} + \hat{C} = 90^\circ$：锐角互补。与$\hat{C}$相对的一侧是与$\hat{B}$相邻的一侧，反之亦然；这就是为什么

$$\operatorname{sen}\hat{C} = \cos\hat{B} = \frac{c}{a}$$$$\cos\hat{C} = \operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a}$$$$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b} = \frac{1}{\operatorname{tg}\hat{B}}.$$

这与第四章的互补弧具有相同的性质，现在在三角形中阅读。

相称性

根据这三个属性，固定锐角 $\hat{B}$ 后，如果我们在其一侧标记点 $A_1$、$A_2$、$A_3$、… 并穿过它们的垂线 $\overline{A_1C_1}$、$\overline{A_2C_2}$、$\overline{A_3C_3}$、…，我们将得到

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{A_1C_1}{BC_1} = \frac{A_2C_2}{BC_2} = \frac{A_3C_3}{BC_3} = \cdots$$$$\cos\hat{B} = \frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA_2}{BC_2} = \cdots $$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{A_1C_1}{BA_1} = \frac{A_2C_2}{BA_2} = \cdots$$

即：固定$\hat{B}$，$\hat{B}$的对边与斜边成正比；对于相邻边和斜边以及两条边也是如此。互动图来自[章节开头](/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap09-triangulos-retangulos/）允许您以数字方式验证这一点。

三角形的 30°、45° 和 60° 角

两个著名的三角形在没有任何表格的情况下给出了$30^\circ$、$45^\circ$和$60^\circ$角的三角比。

在左侧，高度将边 等边三角形 $\ell$ 分成两个直角三角形，角度为 $30^\circ$ 和 $60^\circ$。在右侧，对角线将边长方形 $\ell$ 分成两个等腰直角三角形。

等边三角形。 高度 $AH$ 也是中位数，然后是 $BH = \frac{\ell}{2}$，最后是毕达哥拉斯 $AH = \sqrt{\ell^2 - \frac{\ell^2}{4}} = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$。在直角三角形 $ABH$ 中，$B$ 处的角度为 $60^\circ$，$A$ 处的角度为 $30^\circ$：

$$\operatorname{sen} 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \operatorname{sen} 30^\circ = \frac{\ell/2}{\ell} = \frac{1}{2},$$$$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell/2} = \sqrt{3}, \qquad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\ell/2}{\ell\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

正方形的一半。 对角线的尺寸为 $\sqrt{\ell^2 + \ell^2} = \ell\sqrt{2}$，并与边形成 $45^\circ$：

$$\operatorname{sen} 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\ell}{\ell\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \operatorname{tg} 45^\circ = \frac{\ell}{\ell} = 1.$$

Atenção侧面并不重要

在所有帐户中，$\ell$ 抵消：它是前一个主题的比例。相同的值出现在【第五章】(/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap05-arcos-notaveis/01-teorema-e-aplicacoes/）来自于循环内切的多边形。还要检查基本关系：$\operatorname{sen}^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$。

应用：光路

从镜子反射或从空气传播到水中的光会改变方向，直角三角形三角学解释了如何改变方向。在 1662 中，Pierre de Fermat 提出，光在两点之间遵循花费更少时间的路径。

  • 反射。在同一介质中，速度是恒定的，所以最短的时间就是最短路径$SM + MT$。如果 $S$ 距镜子的高度为 $a$，$T$ 的高度为 $b$，$M$ 距 $S$ 脚的距离为 $x$（总距离为 $\ell$），则路径为 $\sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(\ell - x)^2 + b^2}$。至少$\dfrac{x}{SM} = \dfrac{\ell - x}{MT}$是有效的，并且这些比率是与垂直方向的角度的正弦：$\operatorname{sen} i = \operatorname{sen} r$，即入射角等于反射角。
  • **折射。**在水中，光较慢 ($v_2 < v_1$)，时间为 $\dfrac{SM}{v_1} + \dfrac{MT}{v_2}$。最少发生的情况是
$$\frac{\operatorname{sen} i}{\operatorname{sen} r} = \frac{v_1}{v_2},$$

斯涅尔定律。它已被波斯人Ibn Sahl在984左右阐明，由荷兰人Willebrord Snellius在1621重新发现，并由笛卡尔在1637发表；费马是第一个从最小原理推导出来的人。 （最小值的精确计算使用导数；从图中可以看出，当两个比率重合时，时间更短。）

反射：将点$M$移动到镜子上。当 $i = r$ 时，路径 $SM + MT$ 最小。
折射：光在空气中离开 $S$，到达水中的 $T$，在那里传播速度更慢。 $\frac{\operatorname{sen} i}{\operatorname{sen} r} = \frac{v_1}{v_2}$ 时时间最短。
Willebrord Snellius (1580–1626)，重新发现了折射定律。
Willebrord Snellius (1580–1626)，重新发现了折射定律。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域
Pierre de Fermat (1601–1665)，从最短时间原理推导出斯涅尔定律。
Pierre de Fermat (1601–1665)，从最短时间原理推导出斯涅尔定律。身份不明的画家 · 维基共享资源 · 公共领域

本节中的练习是[章节列表]中的编号331到351（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap09-triangulos-retangulos/04-exercicios/).