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ベルンハルト・リーマンの生涯

年表 18269 月 17 日、ハノーファー王国のブレゼレンツに、ルター派の牧師の息子として生まれる。 1846ゲッティンゲン大学に入り神学を学ぶが、まもなく数学に移る。 1847ベルリンに移り、ディリクレ、ヤコビ、シュタイナー、アイゼンシュタインに学ぶ。 1851ゲッティンゲンで、ガウスの指導のもと、複素関数についての論文で博士号を得る。 18546 月 10 日、幾何学の基礎についての教授資格講演をおこなう。 1857アーベル関数の理論を発表し、員外教授となる。 1859ディリクレの後を継いでゲッティンゲンの正教授となり、ベルリン・アカデミーの会員に選ばれる。素数についての論文を発表する。 1862エリーゼ・コッホと結婚する。結核にかかる。 18667 月 20 日、イタリアのセラスカで 39 歳で没する。 牧師の息子 ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマンは 1826 年 9 月 17 日、北ドイツのハノーファー王国の村ブレゼレンツに生まれた。同じくフリードリヒ・ベルンハルトという名の父はルター派の牧師で、ナポレオンとの戦争に従軍した経験があった。家は貧しく、ベルンハルトは六人きょうだいの二番目だった。十歳まで勉強を教えたのは父である。 ブレゼレンツの教会のそばにあるリーマン記念の石。リーマンが生まれ、父が牧師を務めた村である。Felina Katarina Schulz · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 十四歳でハノーファーのリツェウムに送られ、祖母の家に住んだ。祖母が亡くなると、リューネブルクのギムナジウムに移った。内気で、家を恋しがり、作文が苦手な生徒だった。校長は彼の数学の才能に気づき、自分の蔵書を貸した。伝記作者の伝える話では、リーマンは九百ページ近いルジャンドルの数論の本を一週間足らずで返し、読み終えたと言ったという。 神学か数学か 1846 年、リーマンは息子を牧師にしたいという父の望みに従って、ゲッティンゲン大学で神学を学びはじめた。しかしガウスの講義をはじめ数学の講義に出るうちに、専攻を変えたいと父に願い出た。父は承知した。翌年リーマンはベルリンへ移り、ヤコビ、シュタイナー、アイゼンシュタイン、そしてなによりペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレに学んだ。明晰で厳密で、計算の背後にある考えを大切にするディリクレは、彼の手本となった。 若いころのベルンハルト・リーマン。1850 年代の写真。作者不詳 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1849 年にゲッティンゲンへ戻ると、物理学者ヴィルヘルム・ヴェーバーの助手として働きながら、複素変数の関数についての博士論文を準備し、1851 年 12 月に口頭試問を受けた。めったに人をほめないガウスが、所見に「輝かしく実り豊かな独創性」と書いている。リーマン面が登場するのは、この論文である。 1854 年の講演 ドイツの大学で教えるには、教授資格を得なければならなかった。二つめの論文と公開講演である。三角級数による関数の表現についての論文は、リーマンに積分とは何かを正確に定義させ、並べかえ定理の発見に導いた。 講演については、候補者が三つの題目を出し、学部がそのひとつを選ぶことになっていた。リーマンは入念に準備した電気についての題目を二つと、ほとんど形式的に幾何学の基礎についての題目を三つめに出した。ところがガウスは、一つめを選ぶ慣例に反して三つめを選んだ。リーマンはもっとも難しい題目を急いで準備しなければならなくなったが、1854 年 6 月 10 日のこの講演は幾何学の歴史でもっとも重要な講演のひとつとなった。デデキントの記録によれば、ガウスは深く感銘を受けて会場を出たという。 リーマンが 1854 年から 1857 年まで住んだゲッティンゲンの家の銘板。大学で教えはじめたころである。Manecke · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 ゲッティンゲンの教授 ガウスは 1855 年に亡くなり、ディリクレがベルリンからやってきてその講座を継いだ。固定給のない私講師として苦しい暮らしをしていたリーマンは、1857 年にアーベル関数の理論を発表して員外教授に任命された。1859 年にディリクレが亡くなると、リーマンが後継者に選ばれた。かつてガウスのものだった講座に就いたのである。同じ年、彼はベルリン科学アカデミーの通信会員に選ばれ、慣例に従ってアカデミーに論文を送った。それが素数についての論文だった。

October 30, 2026 読んだ
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リーマン積分

ニュートンとライプニッツは十七世紀に積分法を発明したが、長いあいだ、積分とは何かを正確に定義しようと気にかける人はいなかった。ふつうの関数については、積分は微分の逆か、曲線の下の面積であり、それで十分だったのである。 奇妙な関数 十九世紀のはじめ、事情が変わった。フーリエは、飛びや角のあるきわめて不規則な関数でもサインとコサインの和で書けることを示し、その和の係数は積分で与えられた。しかし、飛びだらけの関数を積分するとはどういう意味なのか。コーシーは連続関数について最初の定義を与えた。リーマンの師ディリクレは 1829 年に、まったく積分できない関数を見つけた。有理数で 1、無理数で 0 をとる関数である。 リーマンは、三角級数についての 1854 年の教授資格論文でこの問題に取り組んだ。どの関数がフーリエ級数で書けるかを知るには、まずどの関数が積分できるのかを正確に知る必要があったのである。 定義 リーマンの考えは単純である。区間 $[a, b]$ で $f$ を積分するには 区間を $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ に切る。ただし $x_0 = a$、$x_n = b$ とする。 各小区間で任意の点 $\xi_i$ を選ぶ。 底辺 $x_i - x_{i-1}$、高さ $f(\xi_i)$ の長方形の面積の和をつくる。 $$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1}).$$小区間をすべてごく細くしたとき、小区間と点の選び方にかかわらず、この和がただ一つの数に近づくならば、その数が積分である。 $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim S.$$点の選び方によらないという要求が、定義の核心である。図で、各帯で選ぶ点と帯の数を変えてみよう。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 どの関数が積分可能か リーマンは判定法も与えた。各帯で関数はある最小値と最大値のあいだを動き、その差がその帯での関数の振幅である。振幅に帯の幅を掛けて足した和をいくらでも小さくできるとき、関数は積分可能である。連続関数はすべてこの検査に合格し、飛びのある関数の多くも合格する。飛びが「多すぎ」なければよいのである。 ディリクレの関数は不合格である。どんなに小さな帯にも有理数と無理数があり、振幅はつねに 1 になる。和は選んだ点によって 1 か 0 になり、ただ一つの極限はない。

October 31, 2026 読んだ
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並べかえ定理

学校では「足し算は順序を変えても和は変わらない」と習う。有限個の和については正しい。無限個の和についてはそうではない。そのもっともはっきりした例が、リーマンが積分を定義したのと同じ 1854 年の教授資格論文に出てくる。 和が ln 2 になる級数 交代調和級数 $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$は収束し、その和は $\ln 2 \approx 0.6931$ である。しかし、この級数にはもろいところがある。正の項と負の項を分けると、それぞれ単独では無限大になるのである。 $$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots = \infty, \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots = \infty.$$この級数が収束するのは、正の項と負の項が交互に現れて打ち消しあっているからにすぎない。このように収束するが、絶対値の和は無限大になる級数を条件収束するという。 どんな数でも リーマンは、条件収束する級数では、項を並べかえればどんな和でも得られることに気づいた。目標をたとえば 1.5 として、次のようにする。 1.5 を超えるまで正の項 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots$ を足す。 1.5 を下回るまで負の項 $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots$ を足す。 まだ使っていない正の項にもどり、くり返す。 それぞれの組は単独で無限大なので、目標をもう一度超えるのに十分な項がいつも残っている。そして項はしだいに小さくなるので、目標のまわりの揺れも小さくなっていく。並べかえた級数の和はちょうど 1.5 になる。もとの級数のどの項もちょうど一回ずつ現れ、変わったのは順序だけである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 31, 2026 読んだ
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リーマン面

リーマンの 1851 年の博士論文には、『一複素変数関数の一般理論の基礎』という控えめな題がついている。そこには数学を変えた二つの考えがある。複素関数が微分をもつために満たさなければならない条件と、いくつもの値をもつ関数を扱う幾何学的な方法である。 微分できる関数 $z = x + iy$ の複素関数 $f(z)$ は、$u$ と $v$ を $x$ と $y$ の実関数として $f = u + iv$ と書ける。$f$ が複素数の意味で微分をもつ、つまり $h$ がどの方向からゼロに近づいても極限 $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ が同じになるには、$u$ と $v$ がコーシー＝リーマンの方程式を満たさなければならない。 $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$コーシーはすでにこの方程式を知っていたが、リーマンはそれを理論の中心にすえた。その帰結のひとつは、$u$ と $v$ が調和関数で、ラプラス方程式を満たすということである。複素関数が電気や熱や流体の記述にとても役立つのはこのためである。 平方根の問題 複素関数のなかには、二つ以上の値をもつものがある。いちばん簡単な例が $\sqrt{z}$ である。$z$ を極形式で $z = r\,e^{i\theta}$ と書くと、平方根の一つは $\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$ である。ここで原点のまわりを一周すると、$\theta$ は $2\pi$ 増え、点 $z$ はもとの場所にもどる。ところが平方根は

October 31, 2026 読んだ
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幾何学の基礎にある仮説について

無限小における幾何学の仮説の妥当性の問題は、空間の計量関係の内的な根拠の問題と結びついている。 — ベルンハルト・リーマン『幾何学の基礎にある仮説について』（1854） 1854 年 6 月 10 日、リーマンはゲッティンゲンの学部で講演『幾何学の基礎にある仮説について』をおこなった。哲学者や歴史家も含む聴衆に向けて、ほとんど数式を使わずに書かれたものである。この原稿が出版されたのは彼の死後の 1868 年だったが、それは幾何学を変えた。 内側から見る幾何学 出発点は、ガウスの驚異の定理だった。曲面の曲率は、その曲面のなかに住む者が、外から眺めることなく距離を測るだけで測定できる。球面の上にすむ二次元の生き物は、三角形を描いて角を測れば、自分の面が曲がっていることに気づくだろう。 リーマンはこの考えを極限まで押し進めた。ふつうの空間のなかの曲面のかわりに、多様体（Mannigfaltigkeiten）を考えたのである。座標 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ で記述される任意の次元の空間で、より大きな何かに埋めこまれている必要はない。多様体に幾何学を与えるのは、ごく近い二点のあいだの距離を測る規則である。 計量 ふつうの平面では、隣りあう点のあいだの距離 $ds$ は三平方の定理で $ds^2 = dx^2 + dy^2$ と与えられる。リーマンは、一般には無限小の距離はもっと一般的な二次式で与えられると提案した。 $$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\,dx_i\,dx_j.$$ここで係数 $g_{ij}$ は点ごとに変わってよい。これらの係数が計量をなす。たとえば半径 $R$ の球面上で、緯度 $\varphi$、経度 $\lambda$ を使うと $$ds^2 = R^2\,d\varphi^2 + R^2\cos^2\varphi\,d\lambda^2.$$$\cos\varphi$ が小さい極の近くでは、経度一度ぶんの長さは短くなる。 リーマンは計量から、各点、各方向での曲率を定義した。曲率が一定の空間は三種類ある。曲率ゼロ（エウクレイデスの幾何学）、正（平行線のない球面のような幾何学）、負（ロバチェフスキーとボヤイが発見した、平行線が無限にある双曲幾何学）である。 では現実の空間は 講演の最後で、リーマンは大胆な指摘をした。物理的な空間の幾何学がどんなものかは、前もってはわからない。それは論理ではなく経験によってしか決められず、物体にはたらく「力」に依存するかもしれない。ごく小さなスケールやごく大きなスケールでは、エウクレイデスの幾何学が成り立たなくなるかもしれないというのである。 六十年後、アルベルト・アインシュタインは、自分が必要としていた道具をまさにリーマンの幾何学のなかに見いだした。1915 年の一般相対性理論では、時空は計量 $g_{\mu\nu}$ をもつ四次元の多様体であり、重力は力ではなく、物質とエネルギーが生みだすその計量の曲がりなのである。 ガウスの選択 リーマンは講演の題目を三つ出し、慣例どおりガウスが電気についての二つのうちのどちらかを選ぶと思っていた。ところがガウスは、自分でも何十年も考えながら発表していなかった幾何学についての三つめを選んだ。別の題目をあてにしていたリーマンは、原稿の準備に何週間も集中して取り組まなければならなかった。デデキントによれば、講演の帰り道、ガウスは彼にしては珍しく感情をこめて、聞いた考えの深さについて語ったという。 練習：球面上の三角形地球上で、一つの頂点が北極に、ほかの二つが赤道上の経度 0° と 90° にある三角形を考える。内角の和はいくらか。それは面積とどう関係するか。 赤道上では、経線は赤道と 90° の角をなす。北極では、経度 0° と 90° の経線のなす角は 90° である。和は 270°、すなわち $\frac{3\pi}{2}$ で、$\pi$ ではない。超過分 $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$ に $R^2$ を掛けると三角形の面積 $\frac{\pi}{2}R^2$ になり、これは球面全体 $4\pi R^2$ のちょうど $\frac{1}{8}$ である。曲率が一定の $\frac{1}{R^2}$ である面では、角の超過は面積を $R^2$ で割ったものに等しい。

October 31, 2026 読んだ
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ゼータ関数

リーマンの名がついたこの関数は、それ以前にオイラーが調べていた。1 より大きい実数 $s$ に対して、級数 $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$は収束する。オイラーはその値をいくつも計算した。たとえばバーゼル問題の答え $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ である。 オイラー積 オイラーのもっとも深い発見は 1737 年のもので、同じ関数が素数にわたる積として書けるということだった。 $$\zeta(s) = \prod_{p \text{ は素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$理由は素因数分解の一意性である。各因子は等比級数で、$\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$ となる。すべての素数の因子を掛けて展開すると、どの整数 $n$ も、その素数のべきの積としてちょうど一回ずつ現れる。たとえば $\frac{1}{12^s}$ は、2 の因子から $\frac{1}{4^s}$ を、3 の因子から $\frac{1}{3^s}$ を選んだものである。左辺は整数のことだけを、右辺は素数のことだけを語っている。この公式は両者をつなぐ橋であり、オイラーはこれを使って素数が無限にあることの新しい証明を与えた。 複素変数 博士論文を複素関数にささげたリーマンは、1859 年の論文で決定的な一歩を踏み出した。$s$ を複素数 $s = \sigma + it$ にしたのである。実部 $\sigma$ が 1 より大きければ、$|n^{-s}| = n^{-\sigma}$ なので級数はやはり収束する。

October 31, 2026 読んだ
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素数を数える

素数はでたらめに現れるように見える。2、3、5、7、11、13、それから 17、19、23 まで間があき、29 までまた間があく。しかし遠くから眺めると、素数はある規則に従っている。$x$ 以下の素数の個数を $\pi(x)$ と書こう。まだ十代だったガウスは表を見ながら、数 $x$ の近くでは素数の密度がおよそ $\frac{1}{\ln x}$ であることに気づき、次の見積もりを提案した。 $$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}.$$これが対数積分である。それがよい見積もりであることを証明する方法も、ずれを説明する方法も、誰も知らなかった。 八ページの論文 1859 年 11 月、ベルリン・アカデミーの会員に選ばれたリーマンは、数論についてのただ一つの論文『与えられた数より小さい素数の個数について』を送った。わずか八ページである。そのなかでリーマンは、ゼータ関数とオイラー積を使って、素数の個数の正確な公式を書いた。 この考えのいちばんすっきりした形では、リーマンが $f(x)$ と呼んだ少し修正した数え方を使う。素数は重み 1、素数の平方は重み $\frac{1}{2}$、立方は重み $\frac{1}{3}$、以下同様に数えるのである。リーマンの公式は $$f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t}$$と述べる。ここで和はゼータ関数の非自明な零点 $\rho$ すべてにわたる。第一項がガウスの見積もりで、最後の二項は小さい。なめらかな曲線 $\operatorname{li}(x)$ と素数のでこぼこした階段とを隔てているのは、零点にわたる和なのである。 零点の波 各零点 $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$（リーマン予想を仮定する）は、大きさがおよそ $\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ で、振動数 $\gamma$ で波打つ振動を寄与する。零点は楽器の音のようにはたらく。それをどんどん足していくと、なめらかな曲線が折れ曲がり、ついには素数の階段を一段ずつ再現する。ゼータの零点は「素数の音楽」を秘めているといわれるのはこのためである。 重みつきの数え方をもとにもどして、リーマンは本当の個数の近似として次の関数を得た。 $$R(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\operatorname{li}\!\left(x^{1/n}\right) = \operatorname{li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{li}\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{li}\!\left(\sqrt[3]{x}\right) - \cdots.$$ここで $\mu$ はメビウス関数である。これは $\operatorname{li}(x)$ よりずっとよい。

October 31, 2026 読んだ
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リーマン予想

1859 年の素数についての論文のなかほどで、リーマンはほとんどついでのように一文を書いている。ゼータに関係するある関数、その実根がゼータの臨界線上の零点に対応する関数について、彼はこう述べる。 すべての根が実数である可能性はきわめて高い。もちろん、その厳密な証明が望まれる。しかし私は、何度か手早く試みてうまくいかなかったので、その探求はひとまずわきに置いた。私の研究の次の目的にとっては、それは必要ないように思われたからである。 — ベルンハルト・リーマン『与えられた数より小さい素数の個数について』（1859） 現代の言葉では、この一文がリーマン予想である。 ゼータ関数の非自明な零点はすべて、実部が $\frac{1}{2}$ に等しい。 臨界線 ゼータの自明な零点は負の偶数にある。それ以外の零点はすべて帯 $0 < \sigma < 1$ のなかにあり、関数等式により、直線 $\sigma = \frac{1}{2}$、すなわち臨界線について対称に現れる。予想は、それらがすべてちょうどこの直線の上にあるというのである。 臨界線の上では、$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ に絶対値 1 の因子を掛けると実数値の関数 $Z(t)$ になり、各零点で符号を変える。グラフは $t = 10$ から $t = 60$ までの $Z(t)$ を示している。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 最初の零点は $t \approx 14.135$、$21.022$、$25.011$、$30.425$、$32.935$… にある。簡単な規則には従わないが、しだいに密になる。高さ $T$ までにおよそ $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 個の零点がある。 リーマンの秘密の計算 リーマンは零点の計算をまったく発表しなかった。そのため何十年ものあいだ、「可能性がきわめて高い」という言葉は当て推量だと考えられていた。1932 年、カール・ルートヴィヒ・ジーゲルはリーマンがゲッティンゲンに残したメモを調べ、そこに臨界線上の $\zeta$ を計算する精巧な漸近公式を見つけた。リーマンはそれを使って最初の零点を見つけていたのである。いまリーマン＝ジーゲルの公式と呼ばれるこの式は、上の図でも使われており、現代の計算の基礎でありつづけている。 わかっていること 1914 年、G. H. ハーディは、臨界線上に無限に多くの零点があることを証明した。 1942 年、アトル・セルバーグは零点のうち正の割合が臨界線上にあることを示し、1989 年、ブライアン・コンリーは 40% 以上がそうであることを示した。 コンピュータはすでに十兆個を超える零点を確かめており、そのすべてが臨界線上にある。 どれも証明ではない。素数の理論に出てくる数はあまりに大きく、反例がどんな計算の届く範囲よりもはるか先にあるかもしれないのである。

October 31, 2026 読んだ
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ベルンハルト・リーマンの遺産

リーマンは輝かしい直観の人である。 — フェリックス・クライン『19 世紀の数学の発展についての講義』（1926） デデキントとヴェーバーが 1876 年に編集したリーマンの全集は、遺稿やメモを含めても五百ページあまりの一巻に収まる。これほど少ない文章から、これほど多くの帰結を残した数学者はほとんどいない。 彼の名を冠したもの リーマン積分とリーマン和。微積分の授業で教える積分の定義である。 リーマン面とリーマン球面。後者は、無限遠点を加えて球のように閉じた複素平面である。 コーシー＝リーマンの方程式とリーマンの写像定理。 リーマン幾何学、リーマン多様体、計量、リーマン曲率テンソル。一般相対性理論の言葉である。 リーマン＝ロッホの定理。リーマン面の上に定義できる関数を数える定理で、弟子のグスタフ・ロッホが 1865 年に完成させた。 リーマンのゼータ関数とリーマン予想。 条件収束する級数についてのリーマンの並べかえ定理。 新しい流儀 個々の結果以上に、リーマンは数学の流儀を変えた。彼以前、関数とはなによりも式であり、数学者は式を操作して仕事をしていた。リーマンは概念で考えた。式ではなく性質によって定義される複素関数、どこにも描かれずに定義される面、測り方の規則によって定義される空間である。ヒルベルトからワイルまで、二十世紀の数学者たちは、のちに主流となる「概念的」な数学の創始者を彼のうちに見た。 この流儀には代償もあった。リーマンはしばしば直観を頼りに、完全な証明なしに結果を述べた。ディリクレの原理に対するワイエルシュトラスの批判はその危うさを示し、何世代もの数学者が、リーマンの主張に厳密な基礎を与えるために働いた。その主張はほとんどすべて正しかったのである。 1863 年、死の三年前のベルンハルト・リーマン。作者不詳 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 物理学のなかで リーマンの幾何学は半世紀以上のあいだ純粋数学にとどまっていたが、1912 年から 1915 年にかけて、アインシュタインが数学者の友人マルセル・グロスマンの助けを借りて、それが一般相対性理論のための道具であることに気づいた。いまでは同じ言葉が、ブラックホール、重力波、宇宙の膨張を記述している。一方ゼータ関数は、統計物理学や場の量子論、そして奇妙な一致のなかに現れる。ゼータの零点の間隔は、重い原子核のエネルギー準位と同じ統計に従うのである。これは 1972 年にヒュー・モンゴメリーとフリーマン・ダイソンが気づいたことである。 ゆかりの場所 月にはリーマン・クレーターがあり、小惑星 4167 Riemann もある。生まれ故郷のブレゼレンツには銘板をはめた石が数学者をしのび、ゲッティンゲンでは銘板が彼の住んだ家のひとつを示している。 練習：リーマン球面リーマン球面は、北極からの投影によって複素平面を球面と同一視する。$|z|$ がとても大きい点 $z$ はどこへ行くか。 立体射影は、北極を通る直線によって、北極以外の球面の各点を平面の一点と結びつける。原点から遠く離れた平面の点は、北極にごく近い球面の点に対応する。北極そのものは、ただ一つの「無限遠点」$\infty$ に対応する。こうして $\frac{1}{z}$ のような関数が球面全体で定義される。$\frac{1}{0} = \infty$、$\frac{1}{\infty} = 0$ である。 練習：実りの多い生涯リーマンは最初の大きな仕事である博士論文を 1851 年に発表し、1866 年に亡くなった。全集がおよそ 550 ページだとすると、研究生活の一年あたり平均何ページ書いたことになるか。 1851 年から 1866 年までは 15 年である。$\frac{550}{15} \approx 37$ ページ毎年で、一週間に一ページにも満たない。数学で大切なのは量ではなく考えの深さであることを、これほどよく示す例はめったにない。

October 31, 2026 読んだ
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画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するファイルまたはサムネイルを、幅 800 ピクセル以下に縮小し、それ以外の編集はしていません。 ベルンハルト・リーマンの肖像、1863 年：元のページ · パブリックドメイン。 若いころのリーマン、1850 年代の写真：元のページ · パブリックドメイン。 ブレゼレンツの教会のそばのリーマン記念の石、Felina Katarina Schulz 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 リーマンが住んだゲッティンゲンの家の銘板、Manecke 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 平方根のリーマン面、Leonid 2 作図（コモンズが SVG から生成した PNG 版）：元のページ · CC BY-SA 3.0。 ビガンツォーロの墓地にあるリーマンの墓石、g.rondena 撮影：元のページ · パブリックドメイン。 ブログのために作った図 表紙と四つのインタラクティブな図（リーマン和、交代調和級数の並べかえ、関数 R(x) による素数の個数、臨界線上のゼータ関数）は、このサイトのオリジナルのイラストで、文字はサイトの各言語の版があります。 記録 ファイル data/riemann_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ベルンハルト・リーマンの全トピック · ← ベルンハルト・リーマンの遺産

October 31, 2026 読んだ