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エヴァリスト・ガロアの生涯

年表 181110 月 25 日、パリ近郊のブール＝ラ＝レーヌに生まれる。 1823パリのルイ＝ル＝グラン校に入る。 1827数学を発見し、ほかのすべてを放り出す。 1828理工科学校の入学試験に初めて落ちる。 1829最初の論文を発表する。アカデミーに論文を送る。父が自殺する。理工科学校に二度目の不合格。高等師範学校に入る。 1830大賞に応募した論文が、フーリエの死とともに失われる。七月革命。 1831高等師範学校を退学になる。ポアソンが論文を退ける。二度逮捕される。 18325 月 31 日、決闘で負った傷のため 20 歳で死去。 1846ジョゼフ・リウヴィルが彼の著作を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1811–1823 ブール＝ラ＝レーヌ父がのちに町長となる町に生まれる。母が 12 歳まで家で教える。 1823–1829 ルイ＝ル＝グラン校15 歳でこの学校で数学に出会う。「数学への熱狂が彼を支配している」。理工科学校に二度落ち、1829 年に高等師範学校に入るが、1831 年に退学になる。 1831 ポン・ヌフ7 月 14 日、解散した砲兵隊の制服を着て武器を持ち、橋の上で逮捕される。 1831–1832 サント＝ペラジー監獄八か月を獄中で過ごす。1831 年 7 月、ポアソンの不採用通知を受け取る。 1832 コシャン病院5 月 30 日の決闘で傷を負って病院に運ばれ、5 月 31 日の朝、20 歳で亡くなる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 学校から監獄、病院まで、わずか数キロのガロアのパリ。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 15, 2026 読んだ
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ニールス・ヘンリック・アーベルの生涯

年表 18028 月 5 日、ノルウェー西海岸のスタヴァンゲル近郊に生まれる。 1804一家がイェルスタに移る。父がそこの牧師となる。 1815クリスチャニア（現在のオスロ）の大聖堂学校に入る。 1818ベルント・ホルンボエが数学の先生になる。 1820父が亡くなる。アーベルが家族の一部を養い始める。 1821大学に入る。5 次方程式を解いたと思い、まちがいに気づく。 18245 次方程式に解の公式がないことの証明を自費で出版する。 1825ベルリンに行き、アウグスト・レオポルト・クレレと知り合う。 1826パリで、積分についての大論文を科学アカデミーに提出する。コーシーがそれをなくす。 1827職もなく借金を抱えてノルウェーに戻る。楕円関数を発表する。 18294 月 6 日、フローランで結核のため死去。26 歳。 1830死後、ヤコビとともにパリ科学アカデミーの大賞を受ける。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1802 スタヴァンゲル近郊ノルウェー西海岸で、牧師の七人の子の二番目として生まれる。 1804–1815 イェルスタ国の南部にある父の教区で育つ。 1815–1825 クリスチャニア大聖堂学校で、ホルンボエ先生が彼の才能を見いだす。1824 年、5 次方程式についての 6 ページの小冊子を出す。 1825–1826 ベルリンアウグスト・レオポルト・クレレと知り合い、クレレは自分の雑誌の第 1 巻に彼の論文を 7 本載せる。 1826 パリ積分についての大論文をアカデミーに提出する。だれも相手にせず、コーシーは原稿をなくす。 1827–1828 クリスチャニア職もなく借金を抱えて戻る。楕円関数を発表し、ヤコビと競う。 1828–1829 フローランクリスマスに婚約者に会いにそりで出かけ、病に倒れ、4 月 6 日に結核で亡くなる。二日後、ベルリンからの任命が届く。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ノルウェーからベルリン、パリへのアーベルの大旅行と、フローランでの最期。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 15, 2026 読んだ
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ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの生涯

年表 17361 月 25 日、サルデーニャ王国の首都トリノで、ジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャという名で生まれる。 175317 歳のとき、エドモンド・ハレーの論文を読み、数学に身をささげることを決める。 1755変分法のもとになる方法をオイラーに書き送る。9 月、19 歳でトリノの砲兵学校の教授に任命される。 1757のちにトリノ科学アカデミーとなる科学協会の創設に加わる。 1764月がいつも同じ面を見せる理由を説明して、パリ科学アカデミーの賞を受ける。 1766ベルリンに移り、フリードリヒ大王のアカデミーでオイラーの後任となる。 1770すべての正の整数が四つの平方数の和であることを証明し、方程式の根の置換の研究を始める。 1772三体問題でオイラーとパリの賞を分け合う。この研究にラグランジュ点が現れる。 1787フリードリヒの死後パリに移り、ルーヴル宮に住む。 1788『解析力学』を出版する。 1790メートル法をつくる委員会に加わる。 1794ラヴォアジエがギロチンにかけられる。ラグランジュは新設のエコール・ポリテクニークの教授になる。 1797記号 $f'(x)$ を使った『解析関数論』を出版する。 1808ナポレオンにより帝国伯爵に叙せられる。 18134 月 10 日パリで亡くなり、パンテオンに葬られる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1736–1766 トリノ19 歳で砲兵学校の教授となる。のちに変分法となる方法をオイラーに書き送る。 1766–1787 ベルリンフリードリヒ大王のアカデミーでオイラーの後任となる。四平方定理を証明し、ラグランジュ点を見つける。 1787–1813 パリルーヴルに住み、『解析力学』を出版し、メートル法の制定に加わり、理工科学校で教える。パンテオンに葬られる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 トリノ、ベルリン、パリ。三つの都のラグランジュ。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1736–1766 · トリノ1766–1787 · ベルリン1787–1813 · パリ トリノ、ベルリン、パリ。三つの都のラグランジュ。 すべてを失った父 ラグランジュは 1736 年にトリノで生まれました。家系は曾祖父の側がフランス系で、曾祖父はサヴォイア公に仕えていました。子どもはジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャと洗礼名をつけられ、生涯にさまざまな署名を使ったのち、フランス語の形、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュに落ちつきました。十一人きょうだいの長男で、おとなになれたのは二人だけでした。 父は王国の公共事業・要塞局の会計官という名誉ある職にあり、一家は裕福でした。ところが父は金融投機でほとんどすべてを失ってしまいます。年をとってから、ラグランジュはこのことを上機嫌で語りました。 もし私が金持ちだったら、たぶん数学に身をささげはしなかっただろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、伝記作者ドランブルによる ハレーと転向 父は彼を弁護士にしたいと考えており、若いラグランジュもラテン語や古典を楽しんで学んでいました。ギリシアの幾何学は退屈でした。転機は 17 歳ごろ、イギリスの天文学者エドモンド・ハレーが 1693 年に書いた、光学における代数的方法の利点についての論文をたまたま読んだときに訪れます。図を使わず計算で問題を解くという考えに魅了されたラグランジュは、独学で数学を学ぶことを決めました。この好みは生涯変わりませんでした。

October 14, 2026 読んだ
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5 次方程式：存在しない公式

幾何学者たちは代数方程式の一般的な解法に大いに取り組み、その何人かはその不可能性を証明しようとした。しかし、私の思いちがいでなければ、これまでだれも成功していない。 — ニールス・ヘンリック・アーベル『代数方程式についての論文』（1824） 学校に通った人ならだれでも、方程式を解く公式を一つ知っています。2 次方程式の解の公式です。方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$このやり方は四則演算と平方根一つしか使いません。バビロニア人はほぼ四千年前にこの種の問題を解いていましたし、ユークリッドは正方形と長方形で解きました。自然に浮かぶ問いは、もっと次数の高い方程式にも、このようなやり方があるのか、ということです。 3 次と 4 次 3 次の答えはルネサンスのイタリアから来ました。シピオーネ・デル・フェッロ、ニコロ・タルターリア、ジェロラモ・カルダノが公式を見つけ、カルダノが 1545 年に『アルス・マグナ』で発表しました。方程式 $x^3+px+q=0$ の解の一つは $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$$x^3+6x-20=0$、つまり $p=6$、$q=-20$ で確かめてみましょう。まず平方根です。 $$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=100+8=108,\qquad\sqrt{108}=6\sqrt3.$$公式は $$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}$$を与えます。ひどく見えますが、$(1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3$ で、同じように $(1-\sqrt3)^3=10-6\sqrt3$ です。したがって $$x=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2.$$たしかに $2^3+6\cdot2-20=0$ です。まもなく、カルダノの弟子ロドヴィコ・フェラーリが 4 次の公式を見つけ、同じ本に載りました。どちらも四則演算と累乗根しか使いません。このような方程式は累乗根で解けるといいます。 二百五十年の試み 残ったのは 5 次でした。二世紀以上にわたって最も偉大な数学者たちが挑み、4 次までうまくいったどの技法も 5 次で行き詰まりました。1771 年、ラグランジュは、技法がなぜうまくいくのかを説明しました。根を入れ替えたとき、根でできたある式がどう変わるかにかかっていたのです。5 次では、その勘定が合いませんでした。1799 年、イタリアのパオロ・ルフィニが公式は存在しないという証明を発表しましたが、すきがあり、ほとんどだれも受け入れませんでした。 アーベルの定理 1824 年、アーベルは完全な証明を与えました。 $$\boxed{n\geq5\text{ 次の一般の方程式には、四則演算と累乗根による公式は存在しない。}}$$今日この結果はアーベル＝ルフィニの定理と呼ばれます。証明の考え方は、そのような公式があると仮定して、それがどう組み立てられなければならないかを見ることです。公式は層をなして作られ、各層は前の層でできた式の累乗根をとります。アーベルは、こうした途中の根のそれぞれが、方程式の五つの根の式でなければならないことを示しました。ここでラグランジュとルフィニの議論が登場します。五つの根の入れ替え方は $5!=120$ 通りあり、公式に必要な式は、五文字のどんな式にもできない変わり方をしなければならないのです。仮定は矛盾に至ります。 定理が何を言っているかを正確に理解しておくことが大切です。定理は、どの 5 次方程式も解けない、とは言っていません。方程式 $x^5-32=0$ には $x=\sqrt[5]{32}=2$ という解があります。存在しないのは、係数からすべての 5 次方程式を解ける一般の公式です。そして、たとえば $$x^5-x-1=0$$のような個別の方程式もあります。その実数解 $x\approx1.1673$ は存在し、何桁でも計算できますが、どうやっても累乗根では書けません。どの方程式が解けて、どれが解けないのか。その問いには数年後にガロアが答えました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 ガウスが開かなかった小冊子 1824 年の小冊子『代数方程式について、5 次の一般方程式を解くことの不可能性を証明する論文』は、アーベル自身のお金でクリスチャニアの印刷所で刷られました。費用を抑えるため、彼は証明を 6 ページに収まるまで削り、多くのステップが説明なしで残りました。アーベルは何人かの数学者に送り、その中にはガウスもいました。言い伝えでは、ガウスの一部は彼の死後、ページが切られないままの状態で見つかったといいます。1826 年、アーベルは『クレレ誌』の第 1 巻に、詳しくわかりやすい版を発表しました。

October 15, 2026 読んだ
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根を入れ替える：方程式の群

両足をそろえて計算を飛び越えること。演算をまとめ、その形ではなく難しさによって分類すること。それが、私の考えでは、未来の幾何学者の使命である。 — エヴァリスト・ガロア、ある原稿の序文（1831） ガロアの六十年前、ラグランジュは方程式の根でできた式を調べ、根の場所を入れ替えたときにそれらがいくつの値をとるかを数えました。ガロアはさらに一歩進みました。式を見る代わりに、入れ替えそのものを見たのです。それもすべての入れ替えではなく、方程式が許すものだけを。 許される入れ替え 有理数を係数とする方程式をとり、その根を $a, b, c,\dots$ とします。根の間には、ある関係が成り立っています。$a+b=0$ や $a^2=2$ のような、有理数を係数とする正しい等式です。ガロアは方程式の群を、成り立つすべての関係を別の成り立つ関係に移すような、根の置換の集まりとして定義しました。 最も簡単な例は $x^2-2=0$ で、根は $a=\sqrt2$ と $b=-\sqrt2$ です。たとえば次の関係が成り立ちます。 $$a+b=0,\qquad ab=-2,\qquad a^2=2,\qquad b^2=2.$$$a$ と $b$ を入れ替えても、四つとも成り立ったままです。群の元は二つです。何も入れ替えないことと、二つの根を入れ替えることです。 $x^2-3x+2=0$ と比べてみましょう。根は $a=1$ と $b=2$ です。ここでは関係 $a=1$ が成り立ちます。根を入れ替えると $b=1$ となり、これは誤りです。だからこの入れ替えは許されず、群には恒等置換しかありません。これは偶然ではありません。 根の有理式が有理数であるのは、群のどの置換によっても変わらないとき、そしてそのときに限る。 これが理論の中心となる原理です。とくに、根がすべて有理数であるのは、群が恒等置換だけのとき、そしてそのときに限ります。群が大きいほど、根は深く「隠れて」いるのです。 四つの根、四つの入れ替え 方程式 $x^4-5x^2+6=0$ は $(x^2-2)(x^2-3)=0$ と因数分解できます。根は $$a=\sqrt2,\qquad b=-\sqrt2,\qquad c=\sqrt3,\qquad d=-\sqrt3.$$四つの根の並べ方は $4!=24$ 通りありますが、その大部分は何らかの関係をこわしてしまいます。たとえば $a$ と $c$ を入れ替えると、成り立つ関係 $a^2=2$ が $c^2=2$ になり、誤りになります。残るのは、$\sqrt2$ を $\pm\sqrt2$ に、$\sqrt3$ を $\pm\sqrt3$ に移す入れ替えだけです。 置換 $a$ の行き先 $c$ の行き先 恒等置換 $a$ $c$ $a\leftrightarrow b$ を入れ替え $b$ $c$ $c\leftrightarrow d$ を入れ替え $a$ $d$ 両方を入れ替え $b$ $d$ 群の元は、ありうる 24 個のうち四つです。4 次に見えたこの方程式は、実は独立な二つの平方根で解けるのであり、群がそれを示しています。

October 15, 2026 読んだ
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変分法：十九歳の青年の手紙

ニュートンとライプニッツの微積分は、曲線のいちばん高い点を見つけることができます。導関数がゼロになるところです。けれども、別の種類の問いもあります。二点を結ぶいちばん短い道は何か。玉がいちばん速くすべり下りるのは、どんな形のすべり台か。ぶら下がった鎖はどんな曲線になるか。こうした問いでは、答えは数ではなく、無数にありうる曲線のなかから選ばれる、曲線まるごとです。 最速降下線 1696 年、ヨハン・ベルヌーイはヨーロッパの数学者たちに挑戦状を出しました。二点 $A$ と $B$ があり、$B$ は $A$ より低いけれども真下ではない。玉が摩擦なしに自分の重さだけですべるとき、$A$ から $B$ へいちばん短い時間で行けるのはどの曲線か。この問題の名前はギリシア語の brachistos（もっとも短い）と chronos（時間）からきています。 直線はいちばん短い道ですが、いちばん速い道ではありません。道が長くなっても、はじめに急に下って早くスピードを得たほうが得なのです。挑戦に答えたのは、ヨハン、その兄ヤコブ、ライプニッツ、ロピタル、そしてだれもがニュートンだと見抜いた匿名の筆者でした。答えはサイクロイド、転がる車輪の一点が描く曲線です。 どの解き方も、それぞれちがう巧妙なわざでした。たとえばヨハンは、玉を、だんだん密度の小さくなるガラスの層を通りぬける光線と考え、屈折の法則を使いました。足りないのは一般的な方法でした。 オイラーの方法 オイラーは何年もその方法を探し、1744 年に『極大または極小の性質をもつ曲線を見いだす方法』という本で発表しました。考え方は幾何学的でした。曲線を辺の多い多角形に置きかえ、頂点を一つだけ動かして、最適にしたい量への影響を見るのです。うまくいきましたが、計算は長く、問題ごとに専用の図が必要でした。 1755 年の手紙 1755 年 8 月 12 日、オイラーのもとに、トリノの無名の 19 歳から手紙が届きました。ラグランジュは別のやり方を提案していました。頂点を一つ動かすかわりに、曲線全体を一度に変化させるのです。$y(x)$ が求める曲線なら、彼はとなりの曲線 $$y(x)+\delta y(x)$$を考えました。ここで $\delta y$ は小さなずれで、端点 $A$ と $B$ は固定されているので両端ではゼロです。ギリシア文字の d である $\delta$ が新しい記号でした。ライプニッツの $d$ が変数の変化を表すように、$\delta$ は関数の変化を表します。 こうした問いの多くは、積分 $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx$$をできるだけ小さく、あるいは大きくすることを求めます。$F$ は点の位置、曲線の高さ、その傾きによって決まります。たとえば曲線の長さは $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx$$です。 方程式 ラグランジュの計算は三つのステップにおさまります。第一に、積分の変化は、$y$ と $y'$ の変化がそれぞれ引き起こす変化の和です。 $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二に、$\delta y'$ は $\delta y$ の導関数なので、部分積分で微分をもう一方の因子に移せます。$\delta y$ は両端でゼロなので、境界の項は消えます。

October 14, 2026 読んだ
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二項級数と悪魔の級数

発散級数は悪魔の発明であり、それをもとにどんな証明であれ組み立てるのは恥である。 — ニールス・ヘンリック・アーベル、ホルンボエへの手紙（1826 年 1 月） 1665 年、若きニュートンは、二項定理が整数でない指数でも成り立つことを発見しました。 $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$$m$ が正の整数なら、和は $m+1$ 項で終わります。$m=\frac12$ や $m=-1$ では決して終わりません。無限個の項をもつ和、すなわち級数になるのです。ニュートンもオイラーも、18 世紀のすべての数学者が、この級数を使って大きな成功を収めました。それがいつ成り立つのかを問うた人は、ほとんどいませんでした。 アーベルはまだ学校にいたころにこの級数に出会いました。16 歳のとき、オイラーによる二項定理の証明が有理数の指数でしか成り立たないことに気づき、それをすべての数に広げようとしました。八年後、ベルリンで、彼ははるかに厳密にこの問題に戻ってきました。 級数がだますとき $m=-1$ としましょう。級数は $$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$$を与えます。$x=\frac12$ では左辺は $\frac23$ で、右辺 $1-0.5+0.25-0.125+\cdots$ はたしかに $0.666\ldots$ に近づきます。しかし $x=1$ では右辺は $1-1+1-1+\cdots$ となり、$1$ と $0$ の間を行ったり来たりして決まりません。一方、左辺は $\frac12$ です。オイラーは和が $\frac12$「である」と認めていました。$x=2$ ではもっと悪くなります。左辺は $\frac13$ なのに、右辺 $1-2+4-8+16-\cdots$ は限りなく大きくなるのです。 部分和がどの数にも近づかない級数を発散級数といいます。18 世紀の数学者たちはこうした級数を自由に扱い、ときにばかげた結果に達しました。フランスではコーシーが 1821 年、『解析教程』で秩序を立て直し始めました。アーベルはパリでコーシーを読み、さらに先へ進みました。 アーベルの証明 1826 年の『クレレ誌』の論文で、アーベルは二項級数を完全に厳密に調べました。指数 $m$ は任意で、複素数でもよく、$x$ も任意です。彼は $|x|<1$ のとき級数が $(1+x)^m$ に収束することを証明し、端である $|x|=1$ で何が起こるかを正確に述べました。ニュートンの級数についてこれをしたのは、彼が初めてでした。 区間の内側では、級数はとてもよく働きます。$m=\frac12$ のとき係数は $1,\ \frac12,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ -\frac5{128},\dots$ で、 $$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$$\sqrt{1.2}$ を求めるには $x=0.2$ として、

October 15, 2026 読んだ
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群とは何か：三角形の六つの対称性

紙で正三角形を切り抜き、角に 1、2、3 と番号をつけ、机に描いたその輪郭の上に置いてください。三角形を持ち上げて、ちょうど同じ輪郭をおおうように戻すやり方は何通りあるでしょうか。 六通りです。何もしないこと。$120°$ か $240°$ 回すこと。あるいは、三本の軸のどれかのまわりで三角形を裏返すこと。それぞれの軸は一つの角と向かいの辺の中点を通ります。 正三角形の六つの対称性。数字は、それぞれの角がどこに行ったかを示す。e は何も動かさず、r は時計回りに 120° 回し、r² は 240° 回し、s₁、s₂、s₃ は破線の軸について三角形を裏返す。Euler’s Eyes 作図 何もしない動きを $e$、回転を $r$ と $r^2$、裏返しを $s_1, s_2, s_3$ と呼びます。$s_1$ は縦の軸、$s_2$ は右下の角を通る軸、$s_3$ は左下の角を通る軸についての裏返しです。 対称性の九九 二つの動きを続けて行うと、結果はつねに六つのうちのどれかです。たとえば $120°$ を二回回すと $240°$ 回したことになります。$r$ のあとに $r$ をすると $r^2$ です。三回回すと最初に戻ります：$r^3=e$。「$a$ をしてから $b$ をする」を $a\star b$ と書きます。紙の三角形ですべての組を試すと、完全な表が得られます。 $a\star b$ $e$ $r$ $r^2$ $s_1$ $s_2$ $s_3$ $e$ $e$ $r$ $r^2$ $s_1$ $s_2$ $s_3$ $r$ $r$ $r^2$ $e$ $s_2$ $s_3$ $s_1$ $r^2$ $r^2$ $e$ $r$ $s_3$ $s_1$ $s_2$ $s_1$ $s_1$ $s_3$ $s_2$ $e$ $r^2$ $r$ $s_2$ $s_2$ $s_1$ $s_3$ $r$ $e$ $r^2$ $s_3$ $s_3$ $s_2$ $s_1$ $r^2$ $r$ $e$ 行が最初の動き、列が二番目の動きです。紙で一つのます目を確かめてみましょう。$120°$ 回すと、角 1 は右下へ、角 3 は上へ行きます。次に縦の軸について裏返すと、角 3 は上にとどまり、下の二つが入れ替わります。左下にあった角 2 は右下に来て、最初にあった場所に戻ります。これが $s_2$ の効果です：$r\star s_1=s_2$。

October 15, 2026 読んだ
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『解析力学』：図のない本

1687 年のニュートンの『プリンキピア』を開くと、ほとんどすべてのページに図があります。三角形、楕円、矢印、接線。百年後の 1788 年に出版されたラグランジュの『解析力学』を開くと、図は一枚もありません。著者自身が序文でそのことを誇らしげに予告し、こう付け加えています。 解析を愛する人びとは、力学が解析の新しい一分野になるのを喜んで見るだろうし、私がこうしてその領域を広げたことに感謝してくれるだろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析力学』序文（1788） 『解析力学』（Méchanique analitique）初版の扉、パリ、1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · パブリックドメイン この本はベルリンで書かれ、ほとんど完成した状態でパリに持ちこまれました。これほどむずかしい論文にお金を賭けようという出版社はなく、ある書店を説きふせて出版させ、校正刷りに目を通したのは若いアドリアン＝マリ・ルジャンドルでした。印刷された本が届いたとき、ラグランジュは気分のふさいでいた時期で、二年間それを開かなかったといわれています。 力のやっかいさ ニュートンの力学では、物体がどう動くかを知るには、それにはたらくすべての力を書き出し、矢印のように足し合わせなければなりません。たとえば振り子には、重さと糸の張力がはたらきます。重さはかんたんですが、張力はそうはいきません。それは時々刻々と変わり、前もってだれにもわかりません。おもりを糸につないでおく役目しかないのに、それでも運動にたどりつくには、まずそれを計算しなければならないのです。 ラグランジュは、こうした束縛の力がそもそも現れない方法をほしがっていました。 すべてを一つの関数で ラグランジュの考えは、系を自由に選んだ座標、いちばん自然なもので記述することでした。振り子なら、一つの数で十分です。糸が鉛直線となす角 $\theta$ です。次に、その座標を使って二つのエネルギーを書きます。 $T$：運動のエネルギー（今日いう運動エネルギー） $V$：位置によってたくわえられたエネルギー（今日いう位置エネルギー） そして、今日ラグランジアンと呼ばれる一つの関数をつくります。 $$L=T-V.$$本当の運動は、オイラー＝ラグランジュ方程式を、$x$ のかわりに時間 $t$ で満たすものです。 $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ここで $q$ は座標、上に点のついた $\dot q$ はその速度で、ニュートンの記法です。これはレシピです。$L$ を書き、微分し、ゼロとおく。図も矢印もありません。 最初のテスト：自由落下 高さ $h$ にある質量 $m$ の物体では、運動のエネルギーは $T=\frac12m\dot h^2$、たくわえられたエネルギーは $V=mgh$ です。よって $$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程式は $m\ddot h+mg=0$、つまり $\ddot h=-g$ となります。物体は一定の加速度 $g$ で落ちる。矢印を一本も描かずに、ガリレオの法則がふたたび得られました。

October 14, 2026 読んだ
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方程式が累乗根で解けるとき

方程式の群という考えによって、ガロアはアーベルのあとに残された問いに答えました。どの方程式なら累乗根で解けるのか。答えはどんな技法にもよりません。群の形だけで決まるのです。 根をとるたびに群が切られる 方程式を累乗根で解くとは、すでにわかっている数に、根を一つずつ加えていくことです。最初は有理数しか知らず、方程式の群は丸ごと残っています。$\sqrt3$ や $\sqrt[3]{5}$ のような根を加えるたびに、新しく成り立つ関係が現れ、それを守る置換は減っていきます。群は小さくなるのです。群が恒等置換だけになったとき、方程式の根はすべて既知の数で書けます。方程式が解けたのです。 ガロアは、平方根、立方根、5 乗根のような素数 $p$ 乗根をとるたびに、群がとても特別なしかたで小さくなることを示しました。新しい群はもとの群の正規部分群であり、もとの群にちょうど $p$ 回おさまるのです。結論がガロアの定理です。 $$\boxed{\text{方程式が累乗根で解ける}\iff\text{群を、素数の指数をもつ正規な段階で、恒等元まで切り分けられる。}}$$このように切り分けられる群は、この歴史にちなんで可解群と呼ばれます。 3 次：カルダノの公式 一般の 3 次方程式の群は三つの根の六つの置換の群で、三角形の六つの対称性の群と同じです。それは次のように切り分けられます。 $$\underbrace{\{e,r,r^2,s_1,s_2,s_3\}}_{6}\ \supset\ \underbrace{\{e,r,r^2\}}_{3}\ \supset\ \underbrace{\{e\}}_{1}.$$指数は $6\div3=2$ と $3\div1=3$ です。これは、まず平方根、次に立方根をとるということです。まさにカルダノの公式の形で、立方根の中に平方根が現れます。 $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$群は、公式が書かれる前にそれを説明しているのです。 4 次：フェラーリの公式 四つの根の 24 個の置換は、四段階で切り分けられます。 $$24\ \supset\ 12\ \supset\ 4\ \supset\ 2\ \supset\ 1,$$指数は $2, 3, 2, 2$ で、すべて素数です。フェラーリの公式は、この順に、平方根を一つ、立方根を一つ（ラグランジュの補助 3 次方程式を解くため）、さらに平方根を二つ使います。 5 次：切り分けられない群 五つの根の $120$ 個の置換は、一度だけ半分に切って、$60$ 個の元からなる正規部分群、いわゆる偶置換にできます。しかし鎖はそこで止まります。この 60 個の元の群には、$\{e\}$ と自分自身のほかに正規部分群がないのです。恒等元にたどり着くには指数 60 の一歩が必要ですが、60 は素数ではありません。不可能です。 これが、一般の 5 次方程式に公式がない理由です。アーベルの定理を、今度はガロアの目で見たのです。しかしガロアの理論はさらに先へ進みます。個別の方程式については、群を計算すればよいのです。方程式 $x^5-2=0$ の群は 20 個の元をもち、可解で、実際に解けます：$x=\sqrt[5]2$。一方、$x^5-x-1=0$ の群は 120 個の置換すべてで、その実数解 $1.1673\ldots$ は累乗根では書けません。

October 15, 2026 読んだ
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積分を逆にする：楕円関数

よく知っている関数を、変わった見方で眺めることから始めましょう。積分 $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$は、半径 1 の円の弧の長さを、いちばん下の点から測って、高さ $x$ の関数として与えます。複雑な関数です。ところがその逆関数、つまり高さを弧の長さの関数として表したものは正弦、三角法で最も簡単な関数です。そして正弦には、積分が隠している性質があります。周期的なのです。四分の一回転の長さは $$\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac\pi2$$なので、正弦は $4\cdot\frac\pi2=2\pi$ ごとにくり返します。 だれにも計算できない積分 18 世紀には、似ているけれども 2 次ではなく 3 次や 4 次の多項式の平方根をふくむ積分が現れました。楕円の弧の長さに現れたので楕円積分と名づけられ、レムニスケートの長さや振り子の運動にも現れました。 長さ $L$ の振り子が小さな振幅で揺れるとき、周期は $T_0=2\pi\sqrt{L/g}$ です。学校で習うとおりです。しかしこの公式は振幅が小さいときにしか成り立ちません。任意の振幅 $\theta_0$ に対して、正確な周期は $$T=4\sqrt{\frac Lg}\,K(k),\qquad K(k)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\qquad k=\sin\frac{\theta_0}2.$$$\theta_0=90°$ では $k=\frac{\sqrt2}2$、$K\approx1.8541$ です。よって $T\approx7.416\sqrt{L/g}$ となり、簡単な公式の $6.283\sqrt{L/g}$ と比べて、振り子は 18% 長くかかります。$k=0$ なら $K=\frac\pi2$ で、学校の公式に戻ります。 積分 $K$ は既知の関数では書けません。フランスのアドリアン＝マリ・ルジャンドルはこれらの積分に四十年を捧げ、三つの種類に分類し、膨大な数値表を計算しました。彼の『楕円関数論』は 1825 年から 1828 年にかけて出版されました。 アーベルがこれらの積分に取り組んだのは、フェルディナン・デーゲンの助言によるものでした。1821 年、ノルウェーの若者の 5 次方程式のまちがった解法を読んだこのコペンハーゲンの数学者は、楕円積分を研究するよう勧めたのです。それは発見の大洋へ通じる「マゼラン海峡」になるだろう、と。 アーベルの考え アーベルは、ルジャンドルが思いつかなかったことを思いつきました。逆正弦でするのと同じことを、これらの積分にもする、つまり逆にするのです。弧の長さを高さの関数として調べる代わりに、高さを弧の長さの関数として調べるのです。最も簡単な場合として、 $$s=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\operatorname{sl}(s)$$と定めます。これがレムニスケート正弦です。正弦の場合と同じく、逆関数は積分よりずっと素直な関数です。$s$ が 0 から $$\frac\varpi2=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\approx1.31103$$まで動くと、それは 0 から 1 まで増え、周期 $2\varpi\approx5.2441$ でくり返します。記号 $\varpi$ は π の別の書き方で、レムニスケート定数と呼ばれます。

October 15, 2026 読んだ
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ラグランジュ点：重力がつり合う場所

2021 年 12 月 25 日、ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡を積んだロケットがフランス領ギアナから打ち上げられました。望遠鏡はハッブルのように地球をまわる軌道には入れられませんでした。一か月かけて、ここから 150 万キロメートル離れた、いつも太陽と反対側にある宇宙の何もない一点まで旅をして、そこにとどまったのです。その点の住所は、ラグランジュが 1772 年に書いた受賞論文から出てきます。それは L2 と呼ばれています。 三つの天体 ニュートンは、引き合う二つの天体、たとえば太陽と一つの惑星の運動を完全に解きました。どちらも楕円を描きます。三つの天体、たとえば太陽、地球、月になると、すべてがややこしくなります。それぞれの天体がほかの二つを引っぱり、運動は混沌としたものになりえます。18 世紀の数学者たちはそれがかんたんではないことを知っており、パリ科学アカデミーは何度もこの問題を懸賞の課題にしました。 1772 年、賞はオイラーとラグランジュに分けて与えられました。ラグランジュの論文『三体問題についての試論』は一般解を見つけませんでした。実際、公式の形の一般解は存在しないことを、のちに 1890 年にポアンカレが示します。けれども、驚くべきものを見つけました。三つの天体が剛体のようにいっしょに回転し、それらがつくる図形の形がまったく変わらない、特殊解です。 そうなる方法は二通りあります。三つの天体が一直線に並ぶ場合で、これはオイラーが 1767 年にすでに見つけていました。もう一つは、大きさは何でもよい正三角形の頂点にあって、重心のまわりを回る場合です。この二つめがラグランジュの発見でした。 五つの点 三つの天体のうち一つがとても小さいとき、たとえば太陽と地球の近くの宇宙船のようなとき、これらの解は宇宙空間の五つの場所になります。そのどれかに置かれた宇宙船は、地球といっしょに太陽のまわりを回り、二つの天体に対していつも同じ位置を保ちます。 太陽–地球系の五つのラグランジュ点。L1、L2、L3 は二つの天体を結ぶ直線上にあり、L4 と L5 はそれらと正三角形をつくって、地球の 60° 前方と 60° 後方にある。Euler’s Eyes 作図 L1 は地球と太陽のあいだにあり、地球の引力が太陽の引力を少し打ち消すところです。 L2 は地球の向こう側にあり、二つの引力が足し合わされるところです。 L3 は太陽の向こう側にあり、地球より少し遠くにあります。 L4 と L5 は正三角形の頂点です。 L2 の計算 なぜ L2 は 150 万キロメートル先にあって、ほかの場所ではないのでしょうか。地球の外側に距離 $r$ だけ離れた物体は、太陽から $R+r$ の距離にあります。$R$ は地球と太陽の距離です。地球といっしょに回るには、地球と同じ時間、つまり一年でひと回りしなければなりません。太陽から遠いところでは、太陽の引力だけではそれに足りません。同じ向きに引っぱる地球の引力が、足りない分をおぎなうのです。 引力の合計と、曲がって進むのに必要な力が等しいという式を書き、$r$ が $R$ よりずっと小さいことを使うと、かんたんな公式にたどりつきます。

October 14, 2026 読んだ