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参考文献と図版出典

さらに読むために Euler, Leonhard. Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie. Saint Petersburg, 1768–1772。第 102 から第 108 の手紙が円を使って三段論法を論じている。 Venn, John. On the diagrammatic and mechanical representation of propositions and reasonings. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, 10, 1880, pp. 1–18. Peirce, Charles S. Collected Papers, vol. 4. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933。図と図式的推論について。 Clagett, Marshall (ed.). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press, 1968. Playfair, William. The Commercial and Political Atlas. London, 1786. Tufte, Edward R. The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire: Graphics Press, 1983. Huff, Darrell. How to Lie with Statistics. New York: W. W. Norton, 1954. Cleveland, William S. The Elements of Graphing Data. Monterey: Wadsworth, 1985. Argand, Jean-Robert. Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris, 1806. Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton: Princeton University Press, 1998. Nelsen, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington: Mathematical Association of America, 1993. Abbott, Edwin A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. London: Seeley, 1884. Garland, Ken. Mr Beck’s Underground Map. Harrow Weald: Capital Transport, 1994. 図版出典 図版 出典 ライセンス プレイフェアのイギリスとアフリカの輸出入のグラフ（1786） Wikimedia Commons パブリックドメイン ジョン・スノウのコレラ地図（1854） Wikimedia Commons パブリックドメイン フローレンス・ナイチンゲールの死因の図（1858） Wikimedia Commons パブリックドメイン シャルル・ミナールのロシア遠征の図（1869） Wikimedia Commons パブリックドメイン アルガンの論文の扉（1806） Wikimedia Commons パブリックドメイン 1652 年のケーニヒスベルク、メーリアンの後継者による版画 Wikimedia Commons パブリックドメイン 『フラットランド』の扉、1885 年アメリカ版 Wikimedia Commons パブリックドメイン アボットによるフラットランドの家の平面図 Wikimedia Commons パブリックドメイン オイラーの円、オレームの緯度、階段の和の説明図は本書のために作成したもので、図の中に文字がないため四つの言語で共通に使える。インタラクティブな図（グラフの目盛り、アルガン平面、超立方体）はサイトの四つの言語すべてで動く。画像のダウンロード記録と各ファイルのハッシュは data/semiotica_imagens.json にある。

October 19, 2026 読んだ
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図の読み方：手引きと用語集

この章は図を読んできた。以下の手引きは、式を読むのと同じ注意深さで図を読むための問いをまとめたものである。 図についての五つの問い 図は何を写しているか。 図はいくつかの関係のイコンであって、すべての関係のイコンではない。グラフ理論のグラフではつながりだけ、ヴェン図では包含だけである。大事なものを見つけ、残りは無視しよう。 何が約束事か。 目盛り、軸の始まり、色、枠の比率。これらの選択は主張の形では現れないが、目が引き出す結論を変える。 長さか、面積か、角度か。 目は長さを比べるのは得意で、面積は下手で、角度はもっと下手である。どれが情報を担っているか、それが正しい比率で描かれているかを問おう。 図は証明しているのか、例示しているのか。 目が使うすべての関係が論証で保証できるなら、図は証明である。そうでなければ例示にすぎず、だますこともある。 何が抜け落ちているか。 余分な次元、入りきらない変数、軸で切り落とされた値。どの図も一つの選択であり、選択そのものが何かを語っている。 新聞のグラフ一枚の完全な読解 ある新聞が折れ線グラフで、ある品物の価格が一年で 10.00 から 10.50 に上がったことを示している。縦軸は 9.90 から 10.60 まで。線はグラフの下端から上端まで駆け上がっている。 何を写しているか： 時間に沿った価格の順序。これは正しい。 約束事： 軸がゼロから始まっていない。折れ線グラフではそれが正当なこともあるが、高さはもう大きさを測っていない。 何が情報を担っているか： 傾き。枠が縦に引き伸ばされているので、急に見える。 証明か例示か： 図は $5\%$ の上昇を例示しているが、急騰をほのめかしている。 何が抜け落ちているか： その期間のインフレ。インフレが $6\%$ なら、価格は実質的には下がっており、図は話を逆向きに語っている。 用語集 図。 平面上の図形の配置によって関係を表す記号。 関係のイコン。 パースにおいて、物そのものではなく、物どうしの関係の構造において対象に似ている記号。 オイラー図。 集合のあいだのわかっている関係に従って置かれた円。内側、外側、交わり。 ヴェン図。 常に交わる円で、$2^n$ 個の領域をすべて示し、空の領域に影をつける。 緯度と経度（オレーム）。 性質の強さ（縦）を広がり（横）に沿って並べたもの。関数のグラフの祖先。 対数目盛り。 同じ長さ進むごとに同じ因数がかけられる軸。指数的な成長を直線にする。 切り詰められた軸。 ゼロから始まらない軸。棒グラフでは差を誇張する。 複素平面（アルガン平面）。 $a+bi$ を点 $(a,b)$ として表すもの。$i$ をかけることは $90°$ 回すこと。 グラフ（グラフ理論）。 点（頂点）と線（辺）で、何が何とつながっているかだけが大事なもの。 平面グラフ。 交差なしに描けるグラフ。 言葉のない証明。 ほとんど、あるいはまったく説明なしに証明を見て取れるようにする図。 射影。 対象の、より低い次元の空間への影。たとえば紙に描いた立方体。 練習：手引きを使うある円グラフが、四つの会社の市場シェアを 23%、25%、26%、26% と示している。手引きは何と言うか。 情報は角度にあり、目は角度を比べるのが下手である。四切れは同じ大きさに見える。問いが「どこが先頭か」なら、長さを比べる棒グラフが差を示すだろう。問いが「市場は分け合われているか」なら、円グラフはよく答えている。小さな差を隠すからこそである。

October 19, 2026 読んだ
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四次元：見えないものを描く

この章の図にはすべて一つの利点があった。表す対象を、なんらかの仕方で紙の上に置けたことである。しかし数学は、四次元、十次元、百万次元の空間についても平然と語る。代数には何の困難もない。四次元空間の点とは、四つの数のリスト $(x,y,z,w)$ にすぎない。だが目は三次元に住んでいる。見えないものをどう描けばよいのか。 フラットランド 『フラットランド：多次元の物語』の扉。著者は「一つの正方形」とされている。1885 年のアメリカ版。本当の著者はイギリスの校長エドウィン・アボットである。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1884 年、ロンドンのある学校の校長エドウィン・アボットは、一つの正方形という筆名で『フラットランド』という小説を出版した。語り手は二次元の世界に住む正方形で、そこには三角形、正方形、五角形、円が住んでいる。住民に見えるのは線分だけである。横から見れば、どの多角形も一本の線なのだ。 ある日、一つの球がフラットランドにやってくる。正方形は、一つの点が現れ、円に育ち、また縮んで消えるのを見る。それは平面を通り抜ける球の切り口だった。彼は球が何なのか理解できなかったが、平面から連れ出され、自分の世界を上から見て、ようやく理解する。戻った彼は三次元について語ろうとし、異端の罪で投獄されてしまう。 アボット自身が描いたフラットランドの家の平面図。五角形で、男性用と女性用の二つの扉がある。住民にとって、これが家を見るただ一つの見方である。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · パブリックドメイン アボットの教えは一つの方法である。類比によって推論することだ。私たちは球を前にしたあの正方形である。私たちの空間を通り抜ける四次元の物体は、大きくなってはまた小さくなる三次元の切り口の列として現れるだろう。その全体を見ることはできない。だが問うことはできる。一つ下の次元の住民には、それはどう見えるだろうか。 見ずに数える 数を使えば、類比はさらによく働く。各次元の「立方体」の列を見てみよう。 次元 対象 頂点 辺 0 点 1 0 1 線分 2 1 2 正方形 4 4 3 立方体 8 12 4 超立方体 16 32 ある次元から次の次元へ移るには、対象を一つ写し、各頂点をその写しと結べばよい。頂点の数は倍になる。$2^n$ である。辺の数は、もとの辺と写しの辺と新しい結び線を合わせたもの、$2E+V$ である。立方体から超立方体へは $2\cdot12+8=32$。超立方体の 32 本の辺を見た人は誰もいないが、この数え方は確かである。記号と推論は、目の届かないところまで届く。超立方体のもう一つの名前テッセラクト（tesseract）は、イギリスの数学者チャールズ・ハワード・ヒントンが 1888 年に作った言葉である。 超立方体の影 描けるのは影である。立方体の紙の上の影は、頂点どうしを結んだ二つの正方形だ。超立方体の私たちの空間での影は、頂点どうしを結んだ二つの立方体で、一方が他方の中に入っている。そしてその影の紙の上の影が、下の図である。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 19, 2026 読んだ
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言葉のない証明

1993 年、アメリカ数学協会は風変わりな本を出版した。ロジャー・ネルセンの編による『言葉のない証明』である。各ページに図が一つあり、ときにはその下に式が一つある。文は一つもない。読者が見て、理解して、誰の説明もなしに納得することが狙いである。この本は大成功を収め、さらに二巻が続き、『マセマティクス・マガジン』誌はいまもこうした証明を載せている。 長方形になる階段 1、2、3、4 個の小さな正方形でできた階段と、同じ階段二つでできた 4×5 の長方形。本書のために作成した説明図。 $1+2+3+4$ はいくつか。小さな正方形を並べて階段を描く。それをもう一つ写して、回して横に並べる。二つの階段は $4\times5$ の長方形、つまり $20$ 個の正方形になる。それぞれの階段はその半分である。 $$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$しかもこの図は $4$ に依存しない。$n$ 段の階段二つは $n\times(n+1)$ の長方形になるので、 $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$第4章では、この公式を代数の帰納法で証明した。図は同じことを別のやり方で証明する。一歩ずつ進むのではなく、なぜ長方形の半分が現れるのかを見るのである。 「見よ！」 もっとも有名な言葉のない証明は、12 世紀インドの数学者バースカラのものとされるピタゴラスの定理の証明である。直角をはさむ辺が $a$ と $b$、斜辺が $c$ の直角三角形を四つ、一辺 $c$ の正方形の中に置くと、中央に一辺 $b-a$ の小さな正方形が残る。伝説によれば、バースカラはその下にただ一語、**「見よ！」**と書いた。面積から $$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$おもしろいことに、この「言葉のない証明」を確かめるには一行の代数が必要である。図は部品を示し、計算はそれがぴったり合うことを保証する。 図が証明するとき、だますとき 第1章では、ギリシア人の図形への不信を見た。その不信には理由がある。アマチュア奇術師ポール・カリーが 1953 年に広めた消える正方形のパズルでは、四つのピースで三角形を作り、ピースを入れ替えると、同じ大きさの三角形ができるのに正方形が一つ欠けている。面積はどこへ行ったのか。 秘密は、二つの「三角形」がどちらも三角形ではないことにある。二つの三角形のピースは傾きが違い、それぞれ $\frac25=0.4$ と $\frac38=0.375$ である。いわゆる「斜辺」は実は折れ線で、一方の並べ方ではわずかに内側にへこみ、もう一方ではわずかに外側にふくらむ。その差がちょうど正方形一つ分で、目には見えないほど細い帯に広がっている。 言葉のない証明が証明であるのは、目が頼っているすべての関係――「これらの線は平行だ」「これらの点は一直線上にある」「これらのピースはぴったり合う」――が論証によって保証できるときだけである。目が図の保証する以上のことを仮定するとき、図は錯覚になる。 半分ずつ塗られる正方形 面積 $1$ の正方形をとる。半分を塗り、残りの半分を塗り、さらに残りの半分を塗る。塗った面積は $\frac12$、$\frac14$、$\frac18$ であり、白い部分はどんどん小さくなるが、決して消えない。図は何の計算もなしに $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$ を示している。何も欠けておらず、何も正方形からはみ出していない。これは第5章で級数の等号として読んだのと同じ級数である。 練習：奇数の和第4章では、各奇数が L 字形の一層になる図を示した。この考えを使って、足し算をせずに $1+3+5+\cdots+19$ を求めよ。 $1$ から $19$ までの奇数は $10$ 層であり、$10$ 層で一辺 $10$ の正方形になる。和は $10^2=100$ である。

October 19, 2026 読んだ
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グラフと地図：何が何とつながっているかだけを見る図

1652 年の版画に描かれたケーニヒスベルク。プレーゲル川、二つの島、七つの橋が見える。橋の問題を解くために、オイラーはこの絵が示すもののほとんどすべてを捨てた。Merian-Erben · Wikimedia Commons · パブリックドメイン プロイセンの町ケーニヒスベルクはプレーゲル川に貫かれ、川には二つの島があり、七つの橋が町の四つの部分を結んでいた。住民たちは、どの橋もちょうど一回ずつ渡る散歩ができるかどうかを知りたがった。1736 年、オイラーはそれができないことを証明した。歴史の本のケーニヒスベルクの橋の文章がその証明を語っている。ここで関心があるのは、オイラーが図に対して何をしたかである。 地図を捨てる 町の地図は、通り、家、距離、川の幅、島の形を示す。オイラーは、そのどれも問題には関係がないことに気づいた。大事なのは町のどの部分がどの橋で結ばれているかだけである。各部分は一つの点になり、各橋は二つの点を結ぶ一本の線になる。その結果が今日グラフと呼ばれるものである。四つの点と七本の線だ。 このグラフでは、大きさも距離も形も意味をもたない。線を伸ばしても、点を動かしても、全体を曲げてもかまわない。つながりが変わらないかぎり、グラフは同じグラフである。パースの言葉で言えば、グラフはごく特殊なイコンである。町に似ているのはつながりだけなのだ。何を写すかを厳しく選んだイコンである。 答えを浮かび上がらせたのは、まさにこの切り詰められた図だった。散歩の途中で、ある点に橋を渡って入るたびに、別の橋を渡って出ていかなければならない。だから道筋の途中にある点は、どれも偶数本の線につながっていなければならない。ケーニヒスベルクでは、四つの点はそれぞれ $5$、$3$、$3$、$3$ 本の線につながっている。すべて奇数である。そのような散歩は不可能だ。 地図であることをやめた地図 1931 年、ロンドン地下鉄の製図技師ハリー・ベックが新しい路線図を提案した。古い地図は地理に従っていたので、路線は都心でもつれ、郊外ではばらばらに広がり、誰にも読めなかった。ベックは、乗客が知る必要があるのは駅がどこにあるかではなく、駅がどんな順番で並び、どこで乗り換えるかだと気づいた。彼は水平、垂直、$45°$ の直線だけを使い、駅の間隔をすべて等しくした。 1933 年に発行されたベックの路線図は、地図ではなくグラフである。地理をすっかりゆがめているが、まさにそれが役に立つ理由なのだ。世界のほとんどすべての地下鉄――サンパウロ、東京、上海の地下鉄も含めて――が同じ原理を採用している。その代償として、観光客はときどき、歩けば五分の駅まで地下鉄に乗ってしまう。路線図の上では遠く見えるからである。 同じグラフ、違う描き方 つながりだけが大事なので、同じグラフをまったく違うふうに描くことができる。二本の対角線を引いた正方形と、上から見た三角錐は、同じグラフである。四つの点が、どの二つも結ばれている。二つの絵が同じグラフを表しているかどうかを判定するのは、大きなグラフでは驚くほど難しい問題であり、グラフ同型問題という名前がついている。 描き方が大事になることもある。どの二本の線も交差しないように描けるグラフは平面的である。たとえば、プリント基板を一層だけで作れるかどうかは、これで決まる。 三軒の家と三つの供給設備 古いパズルがある。三軒の家をそれぞれ三つの供給設備――水道、電気、ガス――につなぎ、どの二本の管も交差させないというものだ。挑戦した人は誰でも最後には交差にぶつかるが、それは腕が足りないからではない。片側に三つ、反対側に三つの点があり、九本の線ですべてを結んだグラフは $K_{3,3}$ と呼ばれ、平面的ではないのである。1930 年、ポーランドのカジミェシュ・クラトフスキは、グラフが平面的であるのは、その中に $K_{3,3}$ も、五つの点がどの二つも結ばれたグラフ $K_5$ も隠れていないとき、そしてそのときに限ることを証明した。 練習：八つ目の橋住民たちが川の両岸を結ぶ八つ目の橋を架けたら、散歩はできるようになるか。 両岸はもともとそれぞれ $3$ 本の線につながっていた。新しい橋で、それぞれ $4$ 本になる。次数は $5$、$4$、$4$、$3$ となり、奇数の点は二つだけになる。どの橋も一回ずつ渡る散歩ができるようになる。一方の奇数の点から出発し、もう一方の奇数の点で終わればよい。 練習：K₃,₃ が平面的でない理由平面グラフについてのオイラーの公式 $V-E+F=2$（頂点の数ひく辺の数たす面の数）を使って、$K_{3,3}$ が平面的でないことを示せ。 $K_{3,3}$ は $V=6$、$E=9$ である。もし平面的なら、面は $F=2-6+9=5$ 個ある。$K_{3,3}$ には三角形がない（どの線も家から設備へ向かう）ので、どの面も少なくとも $4$ 本の辺をもつ。各辺は高々 $2$ つの面の境界なので、$4F\leq2E$、つまり $20\leq18$ となり矛盾する。したがって交差のない描き方は存在しない。 章の目次 · ← アルガン平面：居場所を見つけた虚数 · 言葉のない証明 →

October 19, 2026 読んだ
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アルガン平面：居場所を見つけた虚数

16 世紀以来、イタリアの代数学者たちは、ある種の三次方程式を解くとき、最後の答えが実数であっても負の数の平方根を通らなければならないことを知っていた。彼らは $\sqrt{-1}$ を居心地悪く使った。デカルトはそれを虚数と呼び、その名が残った。ライプニッツはそれを「存在と非存在のあいだの両生類」と描写した。 問題は記号論的なものだった。$\sqrt{-1}$ は代数の規則に従う書き方なのに、見たり測ったりできる何ものも指していなかった。実数には数直線の上に場所がある。$\sqrt{-1}$ にはどこにも居場所がなかった。 虚数に居場所を与える 『幾何学的作図において虚量を表す一つの方法についての試論』（パリ、1806）の扉。著者名なしで出版された。この一冊には、1874 年にこの論文を再刊したジュール・ウエルの手書きの献辞がある。Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 答えは二人のアマチュアからやってきた。1797 年、ノルウェーの測量士カスパー・ヴェッセルはデンマーク科学アカデミーに論文を提出したが、一世紀のあいだ誰にも読まれなかった。1806 年、パリに住んでいたスイス人の簿記係ジャン＝ロベール・アルガンが、同じ考えを示す小さな論文を自費で、名前を出さずに出版した。虚数を実数の軸に垂直な直線の上に置くという考えである。 数 $a+bi$ は点 $(a,b)$ になる。横に $a$、縦に $b$ である。数 $1$ は原点の右、$-1$ は左、$i$ は上、$-i$ は下にある。対象をもたなかった書き方が場所を得た。場所を得て、意味を得たのである。 i をかけることは回すこと $i$ をかけると何が起きるかを見よう。 $$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$平面では、この四つの点は右、上、左、下である。$i$ を一回かけるたびに、反時計回りに四分の一回転、つまり $90°$ 回る。これはどんな数についても成り立つ。$i(a+bi)=-b+ai$ は、点 $(a,b)$ を原点のまわりに $90°$ 回したものである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 すると、ばかげて見えた等式 $$i^2=-1$$は当たり前のことを言っているにすぎない。四分の一回転を二回すると半回転であり、半回転は $1$ を $-1$ に運ぶ。記号は変わっていないのに、もう謎ではない。これはまさに第2章でデュヴァルとともに見た現象である。別の表現レジスター――幾何のレジスター――への変換が、代数のレジスターが隠していたものを明らかにするのだ。 かけ算は回転と拡大 図は一般のかけ算も説明する。どの複素数にも、原点からの距離である絶対値と、実軸とのなす角である偏角がある。規則はこうだ。 二つの複素数をかけると、絶対値はかけ合わされ、角は足し合わされる。 一回のかけ算が、一回の回転と一回の拡大になる。1831 年、ガウスはこの考えに欠けていた権威を与え、複素数という言葉を使い、数を平面に描きはじめた。それ以来、$\sqrt{-1}$ という書き方は恐れられなくなり、複素数は電気、波動、量子力学の言語になった。

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オレームから関数のグラフへ：変化する性質を描く

速度と時間のグラフは、これ以上ないほど自然に見える。しかしそれが何をしているかを考えてみよう。時間を横の長さに、速度を縦の長さに変えているのだが、どちらの量も長さではない。これは大胆な翻訳であり、誰かがそれを発明しなければならなかった。 オレームの緯度 1350 年ごろ、フランスのニコル・オレーム――パリの学者で、のちにリジューの司教となった――は性質の形状についての論考を書いた。棒の熱さや物体の速さのような性質は、点から点へ、時刻から時刻へと変わりうる。オレームはそれを描くことを提案した。 経度は横の線で、広がり、つまり棒の長さや運動の持続時間を表す。 各点に立てた緯度は縦の線分で、そこでの性質の強さを表す。 緯度をすべて合わせると一つの図形ができ、その図形の形が変化を描き出す。 オレームの三つの形状。一様なもの（すべての緯度が等しい長方形）、一様に非一様なもの（緯度が一様に増える三角形または台形）、非一様に非一様なもの（それ以外の変化、曲線）。本書のために作成した説明図。 オレームは三つの基本的な形に名前をつけた。一様な性質は長方形になる。一様に非一様な性質は一様に増え、三角形か台形になる。非一様に非一様な性質はそれ以外の仕方で増え、上辺が曲がった図形になる。今日の言葉で言えば、定数関数、一次関数、非線形の関数である。 面積による証明 オレームの図はただの挿絵ではなかった。彼はこれを使って、数十年前にオックスフォードのマートン・カレッジの学者たちが述べた規則を証明した。一様に加速する物体が進む距離は、平均の速さで一様に動いた場合に進む距離に等しい、という規則である。 図では、距離は図形の面積である。静止から一様に加速する運動は三角形であり、平均の速さでの運動は高さが半分の長方形である。三角形と長方形の面積は等しい。三角形が長方形からはみ出した部分が、下で足りない部分とちょうど同じだからだ。ガリレオが同じ規則に到達する二世紀半前、その証明は一枚の図だった。 関数のグラフへの道 1637 年に幾何学を方程式に変えたデカルトは、今日と同じグラフを描いていたと思いたくなる。だがそうではない。デカルトの本には、数の目盛りをつけた直交する二本の軸はなく、負の座標も疑いの目で見られていた。座標という言葉はライプニッツに由来し、1692 年のことである。軸と目盛りと曲線をもつ関数のグラフは 18 世紀を通じてゆっくりと定着していった。そして次の文章にあるようなデータのグラフが生まれたのは、ようやく 1786 年のことである。 第2章では、レイモン・デュヴァルとともに、式からグラフへ移ることは表現レジスターのあいだの変換であり、計算はできても描けない学生が多いことを見た。オレームの物語は、この変換が生まれつき備わったものではないことを思い出させてくれる。それが発明されるまでには何世紀もかかったのである。 オレームと調和級数 同じオレームが、級数 $1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$ が限りなく大きくなることを証明した。項をいくつかずつまとめ、各まとまりが $\frac12$ より大きくなるようにしたのである。これは無限級数についての最初期の結果の一つで、歴史の本の調和級数の文章がその証明を語っている。 練習：平均速度の定理車が静止状態から $4$ 秒で一様に $10$ m/s まで加速する。どれだけ進むか。 オレームの図では、これは底辺 $4$、高さ $10$ の三角形であり、面積は $\frac{4\cdot10}{2}=20$ メートルである。平均の速さは $5$ m/s で、$5\cdot4=20$ メートル。平均の速さの長方形も同じ面積になる。 練習：台形速さが $3$ 秒のあいだに $2$ m/s から $8$ m/s まで一様に増える。どれだけ進むか。 図形は平行な二辺が $2$ と $8$、高さが $3$ の台形であり、面積は $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ メートルである。これは平均の速さ $5$ m/s に $3$ 秒をかけたものと同じだ。

October 19, 2026 読んだ
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オイラーの円とヴェン図

1760 年から 1762 年にかけて、レオンハルト・オイラーはドイツの若い王女――プロイセン王の姪――に二百通を超える手紙を書き、物理学、天文学、哲学を教えた。これらの手紙は 1768 年から『ドイツの王女への手紙』として出版され、その世紀でもっとも広く読まれた科学啓蒙書の一つになった。そのうちの何通かで、論理的な推論を説明するために、オイラーは円を描いた。 三つの文、三つの図 二つの集合の三つの関係を円で描いたもの。「すべての A は B である」（A が B の内側）、「どの A も B ではない」（離れた円）、「ある A は B である」（交わる円）。本書のために作成した説明図。 考え方はこうだ。各概念が一つの領域を占め、論理的な文が位置の関係になる。 「すべての A は B である」：円 $A$ が円 $B$ の内側にある。 「どの A も B ではない」：二つの円が離れている。 「ある A は B である」：二つの円が交わり、共通部分に何かがある。 では三段論法がどうなるかを見よう。「すべての A は B である。すべての B は C である。」一つ目の円を二つ目の内側に、二つ目を三つ目の内側に描く。それ以上何もする必要はない。結論**「すべての A は C である」**はすでに図の中にある。誰もわざわざ入れたわけではないのに、$A$ はもう $C$ の内側にあるからだ。図が推論をただでやってくれたのである。

October 19, 2026 読んだ