Euler's Eyes
2026-10-18
沃利斯的 ∞：一个不是数的符号
1655 年，牛津教授、英国人约翰·沃利斯把一个平面图形分成无穷多个极薄的平行四边形，每个的高都等于总高的一个无穷小部分。为了写下这一部分，他需要一个表示无穷的符号，于是发明了一个：
那么，设 ∞ 为一个无穷数的符号。
— 约翰·沃利斯，《论圆锥曲线》（1655）
他把每个平行四边形的高写成 $\frac1\infty$。没有人确切知道他从哪里得到了这个形状。最常被提到的两种假说是：罗马数字 CIↃ 的一种变体，它表示一千，常被用来表示“很多”；以及希腊字母表的最后一个字母，小写的欧米伽 $\omega$，意味着万物的终点。
长得像数的符号
$\infty$ 的麻烦在于它看起来像一个数。它和其他数排在同一行上，旁边可以写运算符号，可以进入分数。这就引诱人做一些毫无意义的计算。如果 $\infty$ 是一个数，那么 $\infty-\infty=0$。但请看：
$$\lim_{x\to\infty}\big((x+1)-x\big)=1,\qquad\lim_{x\to\infty}(2x-x)=\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}(x-2x)=-\infty.$$在这三个计算中，两项都趋于无穷，而结果各不相同。所以 $\infty-\infty$ 被称为不定式：值不由写法决定，而由各部分增长的快慢决定。$\frac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$ 和 $\frac00$ 也是一样。
极限中的 ∞ 是一个方向
当我们写 $x\to\infty$ 时，$\infty$ 不是 $x$ 到达的一个地方，而是一个方向：“$x$ 不停地增大”。句子
$$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$并不是说 $\frac1\infty=0$，而是说只要 $x$ 足够大，$\frac1x$ 就能任意地接近零。第1章讲述了柯西和魏尔斯特拉斯怎样不把无穷当作数来写下这一点。亚里士多德把这种无穷叫作潜无穷：一个总能继续、却永远不会完成的过程。
有大小的无穷
十九世纪末，格奥尔格·康托尔做了一件亚里士多德禁止的事：他把无穷集合当作完成了的对象，并比较它们的大小。自然数集和偶数集一样大，因为它们可以一一配对（$n\leftrightarrow2n$）。实数集更大，这一点由对角线论证说明——历史书中图灵那一章在讲可计算数时用的就是它。
对于这些完成了的无穷，康托尔没有用沃利斯的 $\infty$。他选了一个新字母——希伯来字母表的第一个字母阿列夫：$\aleph_0$ 是自然数集的大小。这个选择是符号学的：$\infty$ 已经和“没有尽头”的意思绑在一起，而新的无穷是另一回事，是有自己算术的真正的数。今天两个符号并存，一个表示作为方向的无穷，另一个表示作为数量的无穷。
练习：等于一半的 ∞ − ∞
计算 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$。
两项都趋于无穷。乘以再除以共轭式：
$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}.$$当 $x\to\infty$ 时，它趋于 $\frac1{1+1}=\frac12$。一个等于 $\frac12$ 的 $\infty-\infty$。
练习：两个不同的 ∞/∞
计算 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+1}$ 和 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x+1}$。
两者的分子和分母都趋于无穷。第一个，$\frac{x}{x+1}=\frac1{1+1/x}\to1$。第二个，$\frac{x^2}{x+1}=\frac{x}{1+1/x}\to\infty$。同样的形式 $\frac\infty\infty$，一个得 $1$，另一个得 $\infty$。