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ヤコブ・ベルヌーイの生涯

年表 16551 月 6 日、バーゼルの香辛料商人の家に生まれる。 1671哲学の修士号を取る。父の望みで神学の勉強を続ける。 1676神学を修め、旅に出る。ジュネーヴで目の見えない少女に数学を教える。 1681イギリスを訪れ、ロバート・ボイルとロバート・フックに会う。1680 年の大彗星について書く。 1683バーゼルに戻り、実験物理学を講じ、複利の問題を研究する。 1684ユディット・シュトゥパヌスと結婚。ライプニッツの微積分の論文を読みはじめる。 1687バーゼル大学の数学教授になり、死ぬまでその職にとどまる。 1689無限級数についての最初の論文を発表。調和級数を扱う。 1690等時曲線の問題を解き、integral（積分）という言葉を初めて使う。 1694レムニスケートを記述する。 1697最速降下線をめぐって弟ヨハンと公然と決裂する。 17058 月 16 日、バーゼルで亡くなる。『推測術』は未完のまま残る。 1713甥のニコラウスが『推測術』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1655–1676 バーゼル香辛料商の家に生まれる。父の望みで神学を、自分の意志で数学を学ぶ。 1676 ジュネーヴ目の見えない少女エリーザベト・フォン・ヴァルトキルヒの家庭教師となり、読み書きと少しの数学を教える。 1677–1680 フランスデカルトとマルブランシュの哲学を学ぶ。 1681 オランダ新しい実験哲学の科学者たちと知り合う。 1681 イングランドロバート・ボイルとロバート・フックに会い、1680 年の大彗星について書く。 1683–1705 バーゼル故郷に戻り、ライプニッツの微積分を独学し、1705 年に亡くなるまで大学の教授をつとめる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼルからイングランドへ、そしてふたたびバーゼルへ。ヤコブ・ベルヌーイの遍歴の年月。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1655–1676 · バーゼル1676 · ジュネーヴ1677–1680 · フランス1681 · オランダ1681 · イングランド1683–1705 · バーゼル バーゼルからイングランドへ、そしてふたたびバーゼルへ。ヤコブ・ベルヌーイの遍歴の年月。 商人の一族 ベルヌーイ家はアントウェルペンのプロテスタントで、十六世紀の終わりにスペインの迫害を逃れ、最後はスイスのバーゼルにたどりつき、香辛料の商いで栄えました。ヤコブの父ニコラウス・ベルヌーイは商人で、市参事会の一員でもありました。息子たちの将来ははっきり決めていました。長男は牧師に、末っ子のヨハンは商人に。

October 14, 2026 読んだ
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ヨハン・ベルヌーイの生涯

年表 16677 月 27 日、ニコラウス・ベルヌーイの十番目の子としてバーゼルに生まれる。 1682商売を学ぶためにヌーシャテルに送られるが、向いていない。 1683バーゼル大学に入学。医学を学び、兄ヤコブとともに数学を学ぶ。 1691懸垂線の問題を解く。ジュネーヴ、ついでパリへ旅する。 1692ロピタル侯爵に微積分を教えはじめる。 1694医学博士となる。ロピタルと契約を結び、ドロテア・ファルクナーと結婚する。 1695オランダのフローニンゲンで数学教授になる。 1696最速降下線の挑戦を出す。彼の講義をもとにしたロピタルの本が出る。 1705バーゼルに戻る。ヤコブが亡くなり、ヨハンがその講座を継ぐ。 1717ヴァリニョンへの手紙で仮想仕事の原理を述べる。 1720若いレオンハルト・オイラーの指導を始める。 1734息子ダニエルとパリ科学アカデミーの賞を分け合い、息子を家から追い出す。 17481 月 1 日、80 歳でバーゼルに没する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1667–1682 バーゼルニコラウス・ベルヌーイの十番目の子として生まれる。父は彼を商人にしたがっていた。 1682 ヌーシャテル商売を学びに出されるが、向いていなかった。 1683–1691 バーゼル医学を学び、兄ヤコブとともにライプニッツの微積分を学ぶ。懸垂線の問題を解く。 1691 ジュネーヴパリへ向かう途中、ジュネーヴに立ち寄る。 1691–1692 パリマルブランシュのサークルと知り合い、ロピタル侯爵に微積分を教え始める。ウックの城でも教えた。 1695–1705 フローニンゲンオランダで数学の教授となる。1696 年、最速降下曲線の問題を出す。 1705–1748 バーゼル故郷に戻り、ヤコブの講座を継ぎ、若いオイラーを指導し、息子ダニエルと争う。1748 年、80 歳で亡くなる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼル、パリ、フローニンゲンを行き来したヨハン・ベルヌーイ。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1667–1682 · バーゼル1682 · ヌーシャテル1683–1691 · バーゼル1691 · ジュネーヴ1691–1692 · パリ1695–1705 · フローニンゲン1705–1748 · バーゼル バーゼル、パリ、フローニンゲンを行き来したヨハン・ベルヌーイ。 香辛料を売りたくなかった末っ子 ヨハンは、香辛料商人でバーゼルの参事会員だったニコラウス・ベルヌーイの十番目の子でした。父はすでに一度負けていました。牧師になるはずだった長男ヤコブは、数学のことしか考えていなかったのです。末っ子ではそうはさせない。15 歳のヨハンは、フランス語と商売を学ぶためにヌーシャテルに送られました。

October 14, 2026 読んだ
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ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの生涯

年表 16467 月 1 日、神聖ローマ帝国のライプツィヒに生まれる。 166114 歳でライプツィヒ大学に入学。 1666『結合法論』を出版。ライプツィヒ大学は法学博士号を拒否し、翌年アルトドルフ大学が授与する。 1672外交使節としてパリへ。クリスティアーン・ホイヘンスのもとで本格的に数学を学び始める。 1673ロンドンで計算機を披露し、王立協会の会員に選ばれる。 167510 月と 11 月の手稿で記号 $\int$ と $d$ を生み出す。 1676ハノーファーに移り、以後 40 年間、図書館長兼顧問として働く。 1684『学術紀要』に微分学についての最初の論文を発表。 1700ベルリン科学アカデミーを創設し、初代院長となる。 1703二進法の算術についての解説を発表。 171611 月 14 日、ハノーファーで死去。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1646–1666 ライプツィヒライプツィヒに生まれ、学ぶ。大学は若すぎるとして法学の博士号を認めない。 1666–1667 アルトドルフニュルンベルク近郊で数か月のうちに博士号を得るが、教授職の申し出は断る。 1668–1672 マインツマインツ選帝侯大司教に、法律家・顧問として仕える。 1672–1676 パリ外交使節として到着し、ホイヘンスに数学を学ぶ。1675 年、記号 $\int$ と $d$ を生み出す。 1673 ロンドン王立協会で計算機を披露し、会員に選ばれる。 1676 ハーグハノーファーへ向かう途中、哲学者スピノザを訪ねる。 1676–1716 ハノーファー四十年にわたり公爵家の司書・顧問をつとめる。微積分（1684）と 2 進法（1703）を発表し、1716 年に亡くなる。 1687–1690 ローマ公爵家の歴史を書くため、三年かけてドイツ、オーストリア、イタリアの文書館をめぐる。 1700 ベルリンベルリン科学アカデミーを創設し、初代会長となる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 外交官、司書、そして数学者ライプニッツの旅。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 11, 2026 読んだ
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アイザック・ニュートンの生涯

年表 16431 月 4 日、イングランドのウールスソープに生まれる。当時のイギリスの記録では 1642 年 12 月 25 日。 1661貧しい学生としてケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに入学。 1665–1667ペストで大学が閉鎖され、故郷に戻る。級数、流率、色の理論、重力についての最初の着想を得る。 166926 歳で、アイザック・バローの後任としてルーカス教授職に就く。 1672反射望遠鏡を披露し、光と色の理論を発表。 1687『プリンキピア』を出版。印刷費はエドモンド・ハレーが自腹で負担。 1696ロンドンの王立造幣局に移り、まず監事、1699 年に長官となる。 1703王立協会の会長に就任。 1704『光学』を出版。 17273 月 31 日、ロンドンで死去。ウェストミンスター寺院に葬られる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1643–1661 ウールスソープ農場で、農夫の死後に生まれた子として誕生する。近くのグランサムの学校に通う。 1661–1665 ケンブリッジ同級生の世話をして学費をまかなう貧しい学生として、トリニティ・カレッジに入る。 1665–1667 ウールスソープペストで大学が閉鎖され、帰郷する。級数、流率、色の理論、重力についての最初の考えを生み出す。 1667–1696 ケンブリッジルーカス教授職につき、反射望遠鏡を作り、『プリンキピア』（1687）を書く。 1696–1727 ロンドンロンドン塔の造幣局を率い、王立協会の会長をつとめる。1727 年に亡くなり、ウェストミンスター寺院に葬られる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ウールスソープからケンブリッジ、ロンドンへ。ニュートンの三つの場所。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1643–1661 · ウールスソープ1661–1665 · ケンブリッジ1665–1667 · ウールスソープ1667–1696 · ケンブリッジ1696–1727 · ロンドン ウールスソープからケンブリッジ、ロンドンへ。ニュートンの三つの場所。 1642 年生まれ？ 1643 年生まれ？ どちらも正しいのです。1642 年のイギリスはまだユリウス暦を使っており、ヨーロッパの多くの地域で採用されていたグレゴリオ暦より 10 日遅れていました。イギリスの暦ではニュートンは 1642 年のクリスマスに、私たちの暦では 1643 年 1 月 4 日に生まれたことになります。

October 11, 2026 読んだ
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懸垂線：つるされた鎖

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.（しなやかな線が垂れ下がるように、硬いアーチは逆さにして立つ。） — ロバート・フック、1705 年に解読されたアナグラム 細い鎖の両端を持って、垂れ下がるままにしてみましょう。放物線のように見える美しい曲線ができます。1638 年、ガリレオはそれがほんとうに、少なくとも近似的には放物線だと考えました。オランダのクリスティアーン・ホイヘンスは 17 歳のとき、そうではありえないことを示しました。けれども、それがどんな曲線なのかはだれにもわかりませんでした。 1690 年 5 月、ヤコブ・ベルヌーイは『学術紀要』でこの問いを読者への挑戦として出しました。彼自身は一年かけても解けませんでした。1691 年 6 月、三つの正しい解が発表されます。ライプニッツ、当時 62 歳のホイヘンス、そしてヤコブのいちばん下の弟、24 歳のヨハンです。ヨハンはこのことをだれにも忘れさせませんでした。 兄の努力は実を結びませんでした。私のほうはもっと幸運で、それを完全に解く腕前を見つけたのです。自慢するわけではありませんが、なぜ真実を隠す必要がありましょう。たしかに、その研究のために私はひと晩じゅう休むことができませんでした。 — ヨハン・ベルヌーイ、ピエール・レモン・ド・モンモール宛の手紙（1718） 鎖の一部を見る こつは、鎖全体ではなくその一部を見ることです。最低点を原点とし、$y$ を上向きにとって、その点から右にある点 $P$ までの部分を考えます。 この部分は静止しているので、はたらく力はつりあっています。力は三つです。 最低点では、鎖が水平に左向きの力 $H$ で引く。 $P$ では、鎖が接線方向に力 $T$ で引く。 この部分の重さ $w\,s$。$w$ は 1 メートルあたりの重さ、$s$ はこの部分の長さ。 水平方向では $T$ の水平成分が $H$ とつりあい、鉛直方向では $T$ の鉛直成分が重さとつりあいます。$T$ は接線方向を向いているので、二つの成分の比が傾き $y'$ です。 $$y'=\frac{\text{鉛直}}{\text{水平}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$数 $a$ は長さの次元をもち、鎖がどれだけ張っているかを表します。 鎖の方程式 ここで $x$ で微分します。曲線の小さな一片にピタゴラスの定理を使うと、長さの増え方は $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$ です。したがって

October 14, 2026 読んだ
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終わらない利息と数 e

年利 100% を払ってくれる気前のいい銀行を想像してください。1 月に 1 円預けると、12 月には 2 円になります。ここで銀行が別の提案をします。年末に 100% 払うかわりに、半年ごとに 50% 払い、前半の利息にも後半に利息がつく。得でしょうか。毎月、毎日、毎秒払ったら？限りなく金持ちになれるでしょうか。 これは、ヤコブ・ベルヌーイが 1683 年ごろ自分に問いかけ、1690 年に『学術紀要』に発表した問題です。帳簿づけの話のようですが、答えは数学で最も重要な数のひとつです。 計算してみる 一年を $n$ 個の等しい期間に分けると、各期間に $\frac{100\%}{n}$ が支払われます。つまり残高は $1+\frac1n$ 倍になります。$n$ 期間ののち、1 円は $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$になります。二期間なら $a_2=1.5^2=2.25$ で、2 より多くなります。期間を増やすと、さらに増えます。 利息の支払い $n$ 年末の残高 一回 1 2.000000 半年ごと 2 2.250000 四半期ごと 4 2.441406 毎月 12 2.613035 毎日 365 2.714567 毎時 8 760 2.718127 残高は増えますが、増え方はだんだん小さくなります。毎月から毎日に変えても、増えるのはわずかです。毎日から毎時では、さらにわずかです。残高は $2.718$ くらいの天井に近づいていくように見えます。 天井がある理由 ベルヌーイは今日の意味での「極限」という言葉をもっていませんでしたが、ニュートンの二項定理 をもっていました。$a_n$ を展開すると、 $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$各項を整理すると、 $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$$n$ が大きくなると二つのことが起こります。かっこ $\left(1-\frac kn\right)$ は 1 に近づくので、各項は 大きくなり、さらに新しい項が現れ、それもすべて正です。だから $a_n$ は増える一方です。一方、どのかっこも 1 より小さいので、

October 14, 2026 読んだ
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ライプニッツの記号：変化を表す言語

記号には発見のための利点がある。それが最大になるのは、記号が物事の本性を簡潔に表し、いわば描き出すときである。そのとき、思考の労力は驚くほど軽くなる。 — ライプニッツ、チルンハウスへの手紙（1678） 微積分に先に到達したのはニュートンでしたが、それをどう書くかを決めたのはライプニッツでした。そして書き方がすべてを変えたのです。 文字 d 1675 年 11 月 11 日、パリで書いた手稿の中で、ライプニッツは無限に小さな差を表すのに文字 $d$ を使い始めました。$d$ はラテン語の differentia に由来し、これは「引き離す」という意味の動詞 differre から来ています。つまり、 $dx$ は、非常に近い二つの $x$ の値の間の微小な差、 $dy$ は、それに対応する $y$ の差、 $\dfrac{dy}{dx}$ はその比、つまり $x$ がほんの少し変わるごとに $y$ がどれだけ変わるか、 です。「微分学」（differential calculus）という名前はここから来ています。差の計算、という意味です。 dx を使った計算 ライプニッツは $dx$ と $dy$ を、無限に小さいだけで本物の量として扱いました。$y=x^2$ で $x$ が $x+dx$ に変わるとすると、 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$$(dx)^2$ は $dx$ より無限に小さいので、彼はそれを無視し、$dy=2x\,dx$、つまり $$\frac{dy}{dx}=2x$$を得ました。これはニュートンが流率で行った計算と同じで、書き方が違うだけです。今日では「$(dx)^2$ を無視する」ことを極限で正当化します。有限の差の比は $2x+h$ で、$h\to0$ のとき $2x$ に近づきます。 1684 年の論文 1684 年 10 月に『学術紀要』でライプニッツが発表した『極大と極小についての新しい方法』の最初のページ。微分法がはじめて印刷された。ライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1684 年 10 月、ライプニッツはライプツィヒの学術誌『学術紀要』に自分の規則を発表しました。題名はとても長く、『分数量や無理量にも妨げられない、極大・極小および接線のための新しい方法、ならびにそのための特異な計算法』というものでした。誤植だらけの 6 ページの濃密な論文で、ほとんど誰も理解できませんでした。理解したのはヤコブとヨハンのベルヌーイ兄弟で、彼らこそが微積分をヨーロッパ中に広めたのです。

October 11, 2026 読んだ
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ロピタルの定理：侯爵に売られた講義

私はベルヌーイ両氏の見識、とりわけ現在フローニンゲンの教授である若いほうの方の見識に多くを負っていることを認める。私は遠慮なく彼らの発見と、ライプニッツ氏の発見を使わせてもらった。 — ロピタル侯爵『無限小解析』序文（1696） 1691 年、ギヨーム・ド・ロピタル侯爵は 30 歳で、爵位と城と、ひとつの情熱をもっていました。発表されたばかりで、フランスではほとんどだれも読めなかったライプニッツの微積分を理解することです。微積分をほとんどだれよりもよく知っていたスイスの若者ヨハン・ベルヌーイがパリに現れると、侯爵は彼を家庭教師として雇いました。 ヨハンがスイスに戻ったあとも、講義は手紙で続きました。1694 年 3 月 17 日、ロピタルは変わった提案を書き送ります。年に 300 リーヴルの年金を払う。条件は、ヨハンが質問に答え、自分の発見を送り、それをほかのだれにも伝えないこと。新婚で職のなかったヨハンは受け入れました。 『曲線の理解のための無限小解析』（パリ、1696）の扉。最初の微分学の本。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 二年後、『曲線の理解のための無限小解析』がパリで出版されました。表紙に著者名はありませんでしたが、だれもがロピタルの本だと知っていました。それは歴史上 最初の微分学の本 で、明快でよく整理されており、ほぼ一世紀のあいだヨーロッパで微積分を教えるのに使われました。その第 9 章に、$\frac00$ の形の極限を計算する規則がありました。 問題：0 を 0 で割る $x$ がある点 $a$ に近づくとき、分子と分母がともに 0 に近づくなら、分数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ はどこに向かうのか。そう知りたいことはよくあります。たとえば $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$$$x=0$ を代入すると $\frac00$ になり、意味をなしません。分数はどんな値に近づくこともあり、どこにも近づかないこともあります。二つの関数が 0 に向かう 速さ を比べなければなりません。 ヨハンの考え $a$ の近くでは、微分可能な関数はその接線に似ています。 $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$$f(a)=g(a)=0$ なら、残るのは $$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$$\frac00$ の原因だった因子 $(x-a)$ が消えます。規則はこう言います。$f(a)=g(a)=0$ で、右辺の極限が存在すれば、 $$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$正弦では、$\lim\frac{\sin x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$。新しい商もまた $\frac00$ なら、規則をもう一度使います。

October 14, 2026 読んだ
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調和級数と助けを求める声

無限の級数が有限の和に収められ、限りないもののなかに限りが見てとれるように、果てしなさの魂は微小なもののなかに宿り、最も狭い限界のなかに限界はない。 — ヤコブ・ベルヌーイ『無限級数論』（1689） 1689 年から 1704 年にかけて、ヤコブ・ベルヌーイはバーゼルで 無限級数、つまり無限に多くの項をもつ和についての論文を五編発表しました。新しく、危険な主題でした。こうした和のなかには、 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$$のように、ある数になるものがあります。止まらずに増え続けるものもあります。むずかしいのは、それぞれがどちらなのかを見分けることです。常識はあてにならないからです。 調和級数 整数の逆数の和を考えましょう。 $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音楽家はこれを 調和 級数と呼びました。$\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ は、ある音の倍音を出す弦の長さだからです。項はどんどん小さくなり、0 に近づきます。直観では、和はどこかで止まりそうです。ところがこの和は、だまされるほどゆっくり増えます。 項の数 和の近似値 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 100 に達するには $10^{43}$ 項以上が必要です。それでもヤコブは、この和が どんな 数をも超えることを示しました。 ヤコブの証明 彼は級数を、平方数で終わるかたまりに分けました。ある数 $a$ をとり、$\frac1a$ から $\frac1{a^2}$ までの項を考えます。$\frac1a$ をわきに置くと $a^2-a$ 個の項が残り、どれも最小の項 $\frac1{a^2}$ 以上です。したがって $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$このようなかたまりは、どれも 1 以上です。あとはつなげていくだけです。$\frac12$ から $\frac14$ まで、$\frac15$ から $\frac1{25}$ まで、$\frac1{26}$ から $\frac1{676}$ まで、というふうに。 $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$かたまりは無限にあり、どれも 1 以上なので、和はどんな数をも超えます。和は 発散 します。 ヤコブは、弟ヨハンが自分より先に別の証明を見つけていたことを認め、同じ論文にそれを載せました。二人とも、フランスのニコル・オレームが 1350 年ごろ、項を 1、2、4、8……個ずつのまとまりに分けて同じことをしていたとは知りませんでした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 14, 2026 読んだ
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極大と極小：面積が最大の長方形

24 メートルの柵で、できるだけ広い長方形の土地を囲みたいとします。辺の長さをどう選べばよいでしょうか。細長い長方形は柵の無駄が多く、正方形のほうがよさそうです。でも、どうやって証明しますか？ フェルマーは 1636 年ごろ、こうした問題を解く方法を発明しました。ニュートンより 30 年以上、ライプニッツが微積分を発表するより 50 年近く前のことです。 フェルマーの問題 フェルマーの最初の例はまさにこれでした。長さ $b$ の線分を $x$ と $b-x$ の二つに分け、積 $x(b-x)$ をできるだけ大きくせよ。これが私たちの土地です。柵が 24 メートルなら、隣り合う 2 辺の和は $12$ で、面積は $$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0

October 11, 2026 読んだ
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積の法則：一つの計算に二つの変化

$u$ がどう変わり、$v$ がどう変わるかわかっているとき、積 $uv$ はどう変わるでしょうか。自然な予想は変化同士を掛けること、$d(uv)=du\cdot dv$ です。なんとも対称的で、エレガントに見えます…… ライプニッツも同じ予想をしました。 ライプニッツの検証と失敗 文字 $d$ を使い始めた 1675 年 11 月 11 日の同じ手稿で、ライプニッツは自問しました。$d(xy)$ は $dx\,dy$ と等しいのか、$d\!\left(\frac xy\right)$ は $\dfrac{dx}{dy}$ と等しいのか。彼はエレガントさを信じるかわりに、例を使って確かめ、成り立たないことを見つけました。数日後、彼は正しい法則を見つけました。 これは大切な教訓です。微積分の発明者でさえまちがえ、彼らを救ったのは検算でした。 自分でも試してみましょう。$u=x$、$v=x$ とすると積は $x^2$ で、その導関数は $2x$。ところが導関数同士の積は $1\cdot1=1$。合いません。 大きくなる長方形 $u$ と $v$ を長方形の 2 辺、$uv$ をその面積と考えましょう。2 辺をほんの少しずつ増やします。$u$ は $u+du$ に、$v$ は $v+dv$ になります。 新しい面積は $(u+du)(v+dv)$ です。どれだけ増えたでしょうか。 $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$幾何学的には、長方形は三つの部分を得ました。面積 $v\,du$ の細長い帯、面積 $u\,dv$ のもう一本の細長い帯、そして角にある面積 $du\,dv$ の小さな正方形です。 小さな正方形は二つの無限小の量の積なので、帯に比べて無限に小さい。ライプニッツはそれを無視して、 $$d(uv)=u\,dv+v\,du$$を得ました。予想の $du\,dv$ は、まさにどうでもいい部分だったのです。 極限を使った書き方 今日では $p(x)=f(x)\,g(x)$ と書き、増加分を増分 $h\ne0$ で割ります。 $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$$h\to0$ のとき、最初の 2 項はそれぞれ $gf'$ と $fg'$ に近づきます。最後の項はゼロに近づきます。$\dfrac{\Delta f}{h}$ は決まった数 $f'$ に近づき、$\Delta g$ はゼロに近づくからです。したがって

October 11, 2026 読んだ
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流率：瞬間の変化をどう測るか

ある車が、90 キロ離れた別の街まで 1 時間で着きました。平均の速さは時速 90 キロです。でも速度計は、一瞬ごとに違う数字を示していました。速度計はいったい何を測っているのでしょうか。速さは距離を時間で割ったものですが、一瞬のあいだには距離も進まず、時間も経ちません。ゼロをゼロで割っても答えは出ません。 これこそ、1665 年にニュートンが答えようとした問いでした。その答えが流率法です。 流れる量 ニュートンは、変化する量を、川の水のように時間とともに流れるものと考えました。流れる量を流量（フルーエント）、それが流れる速さを流率（フラクション）と呼びました。流率を表すには、文字の上に小さな点を打ちました。1704 年に出版された『曲線の求積について』で、彼はこう書いています。 $x$、$y$、$z$ を流量とし、その流率をそれぞれ $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$ で表す。 — アイザック・ニュートン『曲線の求積について』（1704） $x$ が位置なら、$\dot x$ は速度です。言いかえれば、速度は空間から「流れ出る」のです。二つの点 $\ddot x$ は流率の流率、つまり加速度を表します。 ニュートンの計算 $y=x^2$ がどう変化するかを調べるため、ニュートンはごく短い時間を流しました。それを $o$ と書きます。その間に $x$ は $x+\dot x\,o$ に、$y$ は $y+\dot y\,o$ になります。関係 $y=x^2$ は変わらず成り立つので、 $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$両辺から $y=x^2$ を引いて $o$ で割ると、 $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$ここで大胆な一歩です。$o$ は「無限に小さい」ので、ニュートンは最後の項を捨てました。残るのは $\dot y=2x\dot x$、つまり $y$ は $x$ の $2x$ 倍の速さで変化する、ということです。 消え去った量の亡霊 $o$ で割っておきながら、その後 $o$ をゼロとみなす。この一歩は多くの人を悩ませました。1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』を出版して微積分を攻撃し、現れたり消えたりするこの量は「消え去った量の亡霊」ではないかと問いました。批判はもっともでした。答えが出たのは 19 世紀、コーシーとワイエルシュトラスによる極限の定義によってです。

October 11, 2026 読んだ