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ヤコブ・ベルヌーイの生涯

年表 16551 月 6 日、バーゼルの香辛料商人の家に生まれる。 1671哲学の修士号を取る。父の望みで神学の勉強を続ける。 1676神学を修め、旅に出る。ジュネーヴで目の見えない少女に数学を教える。 1681イギリスを訪れ、ロバート・ボイルとロバート・フックに会う。1680 年の大彗星について書く。 1683バーゼルに戻り、実験物理学を講じ、複利の問題を研究する。 1684ユディット・シュトゥパヌスと結婚。ライプニッツの微積分の論文を読みはじめる。 1687バーゼル大学の数学教授になり、死ぬまでその職にとどまる。 1689無限級数についての最初の論文を発表。調和級数を扱う。 1690等時曲線の問題を解き、integral（積分）という言葉を初めて使う。 1694レムニスケートを記述する。 1697最速降下線をめぐって弟ヨハンと公然と決裂する。 17058 月 16 日、バーゼルで亡くなる。『推測術』は未完のまま残る。 1713甥のニコラウスが『推測術』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1655–1676 バーゼル香辛料商の家に生まれる。父の望みで神学を、自分の意志で数学を学ぶ。 1676 ジュネーヴ目の見えない少女エリーザベト・フォン・ヴァルトキルヒの家庭教師となり、読み書きと少しの数学を教える。 1677–1680 フランスデカルトとマルブランシュの哲学を学ぶ。 1681 オランダ新しい実験哲学の科学者たちと知り合う。 1681 イングランドロバート・ボイルとロバート・フックに会い、1680 年の大彗星について書く。 1683–1705 バーゼル故郷に戻り、ライプニッツの微積分を独学し、1705 年に亡くなるまで大学の教授をつとめる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼルからイングランドへ、そしてふたたびバーゼルへ。ヤコブ・ベルヌーイの遍歴の年月。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1655–1676 · バーゼル1676 · ジュネーヴ1677–1680 · フランス1681 · オランダ1681 · イングランド1683–1705 · バーゼル バーゼルからイングランドへ、そしてふたたびバーゼルへ。ヤコブ・ベルヌーイの遍歴の年月。 商人の一族 ベルヌーイ家はアントウェルペンのプロテスタントで、十六世紀の終わりにスペインの迫害を逃れ、最後はスイスのバーゼルにたどりつき、香辛料の商いで栄えました。ヤコブの父ニコラウス・ベルヌーイは商人で、市参事会の一員でもありました。息子たちの将来ははっきり決めていました。長男は牧師に、末っ子のヨハンは商人に。

October 14, 2026 読んだ
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ブレーズ・パスカルの生涯

年表 16236 月 19 日、フランスのオーヴェルニュ地方のクレルモンに生まれる。 1626母アントワネット・ベゴンが亡くなる。ブレーズは 3 歳。 1631父エティエンヌ・パスカルが三人の子どもを連れてパリへ移る。 163512 歳で、三角形の内角の和が二直角に等しいことを独力で再発見する。 164016 歳で『円錐曲線試論』を発表。六角形の定理が含まれていた。 1642ルーアンで徴税官をしていた父を助けるため、計算機の製作を始める。 1647『真空に関する新実験』を発表。デカルトが訪ねてくる。 1648義兄フロラン・ペリエがピュイ・ド・ドームに登り、空気の重さを測る。 1654賭けの問題についてフェルマーと手紙を交わし、『算術三角形論』を書く。11 月 23 日に「火の夜」を体験する。 1656偽名で『プロヴァンシアル』の刊行を始める。 1658サイクロイドの問題を解き、それについての懸賞を出す。 1662パリで乗合馬車の路線を開く。8 月 19 日、39 歳で亡くなる。 1670友人たちが、彼のメモをまとめた『パンセ』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1623–1631 クレルモンオーヴェルニュのクレルモンに生まれる。三歳で母を亡くす。 1631–1639 パリ父が家で教育し、メルセンヌの集まりに連れて行く。16 歳で『円錐曲線試論』を書く。 1640–1647 ルーアン父はノルマンディーの徴税官。父を助けるためにブレーズはパスカリーヌを作り、真空の実験を行う。 1648 ピュイ・ド・ドームパスカルに頼まれ、義兄フロラン・ペリエが気圧計を持って山に登り、山頂では空気が軽いことを示す。 1647–1662 パリ賭けについてのフェルマーとの往復書簡、火の夜、『プロヴァンシアル』、サイクロイド、乗合馬車。1662 年、39 歳で亡くなる。 1655 ポール・ロワイヤル・デ・シャン火の夜のあと、妹ジャクリーヌのいる修道院にたびたび滞在し、イエズス会に対してポール・ロワイヤルを擁護する。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1623–1631 · クレルモン1631–1639 · パリ1640–1647 · ルーアン1648 · ピュイ・ド・ドーム1647–1662 · パリ1655 · ポール・ロワイヤル・デ・シャン クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 ブレーズ・パスカルの肖像。作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ所蔵。彼の死後に描かれた複製です。作者不詳 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 幾何学の本を隠した父 ブレーズ・パスカルは 1623 年、フランス中部のクレルモンで生まれました。3 歳のときに母が亡くなり、数学好きの裁判官だった父エティエンヌは、ジルベルト、ブレーズ、ジャクリーヌの三人の子どもを自分で教育することにしました。1631 年、一家はパリに移ります。

October 11, 2026 読んだ
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終わらない利息と数 e

年利 100% を払ってくれる気前のいい銀行を想像してください。1 月に 1 円預けると、12 月には 2 円になります。ここで銀行が別の提案をします。年末に 100% 払うかわりに、半年ごとに 50% 払い、前半の利息にも後半に利息がつく。得でしょうか。毎月、毎日、毎秒払ったら？限りなく金持ちになれるでしょうか。 これは、ヤコブ・ベルヌーイが 1683 年ごろ自分に問いかけ、1690 年に『学術紀要』に発表した問題です。帳簿づけの話のようですが、答えは数学で最も重要な数のひとつです。 計算してみる 一年を $n$ 個の等しい期間に分けると、各期間に $\frac{100\%}{n}$ が支払われます。つまり残高は $1+\frac1n$ 倍になります。$n$ 期間ののち、1 円は $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$になります。二期間なら $a_2=1.5^2=2.25$ で、2 より多くなります。期間を増やすと、さらに増えます。 利息の支払い $n$ 年末の残高 一回 1 2.000000 半年ごと 2 2.250000 四半期ごと 4 2.441406 毎月 12 2.613035 毎日 365 2.714567 毎時 8 760 2.718127 残高は増えますが、増え方はだんだん小さくなります。毎月から毎日に変えても、増えるのはわずかです。毎日から毎時では、さらにわずかです。残高は $2.718$ くらいの天井に近づいていくように見えます。 天井がある理由 ベルヌーイは今日の意味での「極限」という言葉をもっていませんでしたが、ニュートンの二項定理 をもっていました。$a_n$ を展開すると、 $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$各項を整理すると、 $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$$n$ が大きくなると二つのことが起こります。かっこ $\left(1-\frac kn\right)$ は 1 に近づくので、各項は 大きくなり、さらに新しい項が現れ、それもすべて正です。だから $a_n$ は増える一方です。一方、どのかっこも 1 より小さいので、

October 14, 2026 読んだ
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パスカルの三角形：足し算で組み立てる

$1$ を一つ書きます。その下に $1$ を二つ。そこから先は、どの行も $1$ で始まり $1$ で終わり、あいだの数はそれぞれすぐ上にある二つの数の和です。 $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$これだけです。子どもが一分で覚えられる規則から、数学で最も豊かな表の一つが生まれます。今日これはパスカルの三角形と呼ばれていますが、パスカルはこれを見つけた最後の一人のようなものでした。 持ち主がたくさんいる三角形 インドでは紀元前 2 世紀ごろ、詩人ピンガラが詩の一行で長い音節と短い音節を組み合わせる方法の数を数え、同じ数にたどり着きました。10 世紀には注釈者ハラーユダがこの表を描き、メール・プラスターラ、「メール山の階段」と呼びました。 バグダードでは西暦 1000 年ごろ、カラジーがこの三角形を使って $(a+b)^5$ のような累乗を展開しました。彼の本は失われましたが、一世紀半後の 1150 年ごろ、サマウアルが表と推論を書き写し、カラジーの功績だと記しました。ペルシアでは、この三角形は詩人で数学者のウマル・ハイヤームとも結びつけられています。 中国では、賈憲が 1050 年ごろ、これを開平・開立に使っていました。楊輝が 1261 年に書物に載せ、朱世傑は 1303 年の『四元玉鑑』に算木で数を記した図を描きました。 朱世傑の 1303 年の書物にある三角形。中国では楊輝の三角形と呼ばれます。朱世傑『四元玉鑑』（1303） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ヨーロッパでは、1527 年にペトルス・アピアヌスの算術書の表紙に印刷されたのが最初です。その後、1544 年にミヒャエル・シュティーフェル、1556 年にニコロ・タルタリアが使いました。今でもイタリアではタルタリアの三角形、イランではハイヤームの三角形、中国では楊輝の三角形と呼ばれています。 パスカルの論文 1654 年、フェルマーと賭けについて議論していたころ、パスカルは『算術三角形論』を書きました。フランス語版とラテン語版があり、次のように始まります。 算術三角形は次のように作る。任意の点 Z から、互いに垂直な二本の直線 ZL と ZT を引き、それぞれの上に好きなだけ等しい部分を印す。 — ブレーズ・パスカル『算術三角形』（1654） 論文のラテン語版の最初のページ。知られている唯一の一冊で、パスカルの故郷クレルモン＝フェランに保管されています。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 パスカルの三角形は、実は階段の形をしたマス目の表でした。彼は一つひとつのマスをセル、行を平行列、列を垂直列、斜めの並びを底と呼びました。各セルは、上のセルと左のセルの和になっています。今日私たちが使う規則と同じで、ただ向きが回っているだけです。

October 11, 2026 読んだ
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調和級数と助けを求める声

無限の級数が有限の和に収められ、限りないもののなかに限りが見てとれるように、果てしなさの魂は微小なもののなかに宿り、最も狭い限界のなかに限界はない。 — ヤコブ・ベルヌーイ『無限級数論』（1689） 1689 年から 1704 年にかけて、ヤコブ・ベルヌーイはバーゼルで 無限級数、つまり無限に多くの項をもつ和についての論文を五編発表しました。新しく、危険な主題でした。こうした和のなかには、 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$$のように、ある数になるものがあります。止まらずに増え続けるものもあります。むずかしいのは、それぞれがどちらなのかを見分けることです。常識はあてにならないからです。 調和級数 整数の逆数の和を考えましょう。 $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音楽家はこれを 調和 級数と呼びました。$\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ は、ある音の倍音を出す弦の長さだからです。項はどんどん小さくなり、0 に近づきます。直観では、和はどこかで止まりそうです。ところがこの和は、だまされるほどゆっくり増えます。 項の数 和の近似値 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 100 に達するには $10^{43}$ 項以上が必要です。それでもヤコブは、この和が どんな 数をも超えることを示しました。 ヤコブの証明 彼は級数を、平方数で終わるかたまりに分けました。ある数 $a$ をとり、$\frac1a$ から $\frac1{a^2}$ までの項を考えます。$\frac1a$ をわきに置くと $a^2-a$ 個の項が残り、どれも最小の項 $\frac1{a^2}$ 以上です。したがって $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$このようなかたまりは、どれも 1 以上です。あとはつなげていくだけです。$\frac12$ から $\frac14$ まで、$\frac15$ から $\frac1{25}$ まで、$\frac1{26}$ から $\frac1{676}$ まで、というふうに。 $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$かたまりは無限にあり、どれも 1 以上なので、和はどんな数をも超えます。和は 発散 します。 ヤコブは、弟ヨハンが自分より先に別の証明を見つけていたことを認め、同じ論文にそれを載せました。二人とも、フランスのニコル・オレームが 1350 年ごろ、項を 1、2、4、8……個ずつのまとまりに分けて同じことをしていたとは知りませんでした。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 14, 2026 読んだ
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組合せ：書き出さずに数える

ブラジルの宝くじ「メガセナ」では、60 個の数から 6 個を選びます。異なる選び方は何通りあるでしょうか。全部書き出していたら一生かかります。五千万通り以上あるのです。でも書き出さずに数えることはできますし、パスカルがその方法を示しました。 順番を気にせずに選ぶ 小さな例から始めましょう。5 人のグループから委員を 2 人選ぶ方法は何通りでしょうか。 順番が問題になるなら、1 人目は $5$ 通り、2 人目は $4$ 通りで、$5\cdot4=20$ 通りです。でも委員会では「アナとブルーノ」も「ブルーノとアナ」も同じなので、どの組も二回ずつ数えられています。委員会は $20/2=10$ 通りです。 一般に、$n$ 個のものから順番を気にせず $k$ 個を選ぶ方法の数は $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$です。ここで $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$ です。「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数」と読みます。委員会の場合は $\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$ です。 なぜ三角形の数になるのか パスカルは、$\binom nk$ がちょうど算術三角形の数 $C(n,k)$ であることに気づきました。理由は同じ足し算の規則です。 グループの中から一人、たとえばアナを選んでおきます。$n$ 人から選んだ $k$ 人の委員会は、アナを含むか、含まないかのどちらかです。含むなら、残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選べばよく、含まないなら、$k$ 人全員が残りの $n-1$ 人から選ばれます。したがって $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$これはまさに三角形の規則です。どちらも端は同じ $1$ で始まり、同じ規則に従うので、同じ表になります。 メガセナ これで大きな計算も簡単です。 $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$一口の当選確率は五千万分の一あまりです。毎週一口ずつ買っても、当たるまでに平均で百万年近く待つことになります。 和の累乗 同じ考え方で、三角形のもう一つの登場の仕方も説明できます。 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$を展開すると、結果の各項は、三つのかっこのそれぞれから $a$ か $b$ を一つずつ選んでできます。$a^2b$ を得るには、三つのうちちょうど一つのかっこで $b$ を選べばよく、その選び方は $\binom31=3$ 通りです。だから $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$となり、一般には $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$です。$a=b=1$ とすると左辺は $2^n$ になり、またしても $n$ 行目の和です。この公式は指数が整数のときに成り立ちます。十年後、ニュートンは指数が分数のときどうなるかを発見しました。一般化された二項式を見てください。

October 11, 2026 読んだ
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驚異の螺旋とレムニスケート

ライプニッツの微積分を手にしたベルヌーイ兄弟は、曲線狩りに出かけました。曲線ごとに問います。接線はどうか、長さは、面積は、曲率は？こうした曲線の多くはギリシャ人のころから知られていましたが、これらの問いに一般的な規則で答えられるようになったのはこのときからです。そのうち二つの曲線は、永遠にヤコブの名を帯びることになりました。 形の変わらない螺旋 対数 螺旋は、すでにデカルトやトリチェリが研究していました。各点を中心からの距離 $r$ と角 $\theta$ で表す極座標では、 $$r=a\,e^{b\theta}$$です。ひと回りするたびに角は $2\pi$ 増え、半径はいつも同じ倍率 $e^{2\pi b}$ で大きくなります。だから巻きの間隔は等しくありません。どの巻きも、前の巻きより同じ割合で大きいのです。 ここから、ヤコブを魅了した性質が出てきます。螺旋を角 $\alpha$ だけ 回転 させることは、$e^{b\alpha}$ 倍に 拡大 することと同じ効果をもちます。この螺旋の写真を拡大すると、回転しただけの同じ螺旋が現れます。どの縮尺でも自分自身と同じなのです。 左は、ヤコブが墓に望んだ対数螺旋。ひと巻きごとに前より広くなる。右は、石工が刻んだアルキメデスの螺旋。巻きの間隔が等しい。Euler’s Eyes 作図 一定の角 螺旋上の一点で、中心から来る半径と曲線の接線は角 $\psi$ をなします。角 $\theta$ がほんの少し $d\theta$ だけ増えると、その点は半径に垂直な方向に $r\,d\theta$、半径に沿って $dr$ 動きます。したがって $$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$$r$ が消えます。角は すべての 点で同じです。そのためこの曲線は 等角螺旋 とも呼ばれます。ランプに対していつも一定の角度を保って飛ぶ虫は、蛾が月に対してそうするといわれるように、こうした螺旋を描いて、最後にはランプに落ちてしまいます。 ヤコブはさらに発見しました。螺旋の曲率中心がつくる曲線は、最初のものと同じ対数螺旋です。中心から出て螺旋で反射した光線も、また同じ螺旋をつくります。どこを見ても、曲線は同じ姿でよみがえりました。彼はこれを spira mirabilis、驚異の螺旋 と名づけました。 オウムガイの殻の断面。ひと巻きごとに部屋がほぼ同じ割合で大きくなり、対数螺旋に近い形をつくる。Florian Elias Rieser · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 自然もこの曲線を同じ理由で好みます。オウムガイのように形を変えずに層を足して成長する生き物は、対数螺旋の殻をつくります。多くの銀河の腕や台風の雲も、似た形をしています。 Eadem mutata resurgo ヤコブは螺旋に復活の象徴を見ました。からだは変わっても、人は同じものとしてよみがえる。だから彼は、Eadem mutata resurgo、「変わりながらも、私は同じものとしてよみがえる」という銘とともに、それを墓に刻んでほしいと頼んだのです。石工が刻んだのはアルキメデスの螺旋で、これにはその性質がありません。拡大すると巻きの間隔が広がり、曲線が変わってしまいます。まちがった墓石は今もバーゼル大聖堂にあります。 レムニスケート：横倒しの 8 1694 年、ヤコブは『学術紀要』の論文で新しい曲線を示しました。二つの定点、焦点 $F_1=(-c,0)$ と $F_2=(c,0)$ をとります。楕円では、点から焦点までの距離の 和 が一定です。ヤコブは和を 積 に置きかえました。

October 14, 2026 読んだ
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シュヴァリエ・ド・メレのサイコロと公平な分配

シュヴァリエ・ド・メレと名乗っていたアントワーヌ・ゴンボーは、フランス宮廷の文筆家で、熱心な賭博師でもありました。1654 年ごろ、彼はパスカルに賭けについての問いを二つ持ち込みました。パスカルはその問いがとても良いと思い、ピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。確率論はその手紙のやりとりから生まれたのです。 この友人について、パスカルはフェルマーにこう書いています。 彼はとても頭がよいのですが、幾何学者ではありません。それは、ご存じのとおり、大きな欠点です。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日） 第一の問題：6 の目と 6 のぞろ目 ド・メレは得をする賭け方を知っていました。サイコロを一つ 4 回振り、少なくとも一回 6 が出るほうに賭けるのです。彼は負けるより勝つほうが多かったのです。 そこで彼はこう考えました。サイコロ二つで 6 のぞろ目が出るのは、サイコロ一つで 6 が出るより 6 倍まれだ。それなら 6 倍多く振れば埋め合わせられる。$4\cdot6=24$ 回です。「サイコロ二つを 24 回振って、少なくとも一回 6 のぞろ目が出る」という賭けは、最初の賭けと同じくらい有利なはずだ、と。 そうはなりませんでした。ド・メレはお金を失い、その理由がわかりませんでした。 正しい計算は、反対の出来事から考えます。サイコロ一つで 6 が出ない確率は $\frac56$ です。独立に 4 回振って一度も 6 が出ない確率は $\left(\frac56\right)^4$ です。したがって $$P(\text{4 回で少なくとも一回 6})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$サイコロ二つの出方は $36$ 通りで、6 のぞろ目はそのうち一つだけです。一回振って 6 のぞろ目が出ない確率は $\frac{35}{36}$ です。 $$P(\text{24 回で少なくとも一回 6 のぞろ目})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$最初の賭けは 51.8% の割合で勝ち、二つ目は 49.1% しか勝てません。ド・メレの比例の規則はもっともらしく見えましたが、確率はそのようには足し算できないのです。25 回振れば、確率はようやく半分を超えます。$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$ です。 賭けているだけで気づけるか？ ほとんど無理です。49.1% と 50% の差はとても小さく、確実に気づくには何千回も賭ける必要があります。そのため歴史家たちは、ド・メレが疑ったのは財布ではなく計算のほうだったと考えています。正しいと信じていた二つの規則が違う答えを出したので、どちらが間違っているのかを知りたかったのです。

October 11, 2026 読んだ
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推測術：チャンスを数える

あることを推測するとは、その確率を測ることである。それゆえ私たちは、推測術、すなわち確率術を、事物の確率をできるかぎり正確に測る技術と定める。それによって、判断と行動において、よりよく、より満足でき、より安全で、より熟慮されたと思われるものを、いつも選び、したがうことができるように。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第四部 1654 年、パスカルとフェルマー は、途中で打ち切られた勝負の賭け金をどう分けるかについて手紙をやりとりしました。1657 年には、オランダのクリスティアーン・ホイヘンスがサイコロ遊びの計算についての十五ページの小冊子を出版しました。どれも客間の問題でした。サイコロ、トランプ、賭け。 ヤコブ・ベルヌーイが求めたのは、ずっと大きなものでした。彼にとって確率とは 確実さ の尺度であり、0（不可能）と 1（確実）のあいだの数で、法廷で証言を量り、人がどれだけ生きるかを予測し、保険を評価し、薬が効くかどうかを判断するのに役立つはずのものでした。その方法を示す本を、彼は二十年かけて書きました。題は Ars conjectandi、『推測術』です。 『推測術』の扉。ヤコブの死から八年後の 1713 年、バーゼルで出版された。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 四部からなる本 『推測術』は四部からなります。第一部はホイヘンスの本を再録し、原文より長いヤコブの注釈をつけたものです。第二部は 組合せ論 の完全な講義で、順列、組合せ、そしてそのなかに、今ではヤコブの名がついている べき乗の和 があります。第三部はそれらすべてを何十もの遊びに応用します。未完の第四部は、市民生活、道徳、経済における確率を扱い、そこに 黄金の定理 があります。 ベルヌーイ試行 この本のいちばん単純なアイデアが、統計学で最もよく使われるもののひとつになりました。結果が二つしかない実験を考えます。硬貨が表か否か、患者が治るか否か、部品が不良か否か。一方の結果を 成功、その確率を $p$、他方を 失敗、その確率を $q=1-p$ と呼びます。この言葉はただのラベルです。工場では、数える「成功」が不良品の発見かもしれません。 今日、このような実験は ベルヌーイ試行 と呼ばれます。ヤコブの問いはこうです。いつも同じ条件で、ある結果がほかの結果に影響しないようにして試行を $n$ 回くり返すとき、ちょうど $k$ 回成功する確率はいくらか。 公式を一歩ずつ 小さな例から始めましょう。サイコロを 3 回投げ、「成功」は 6 の目、$p=\frac16$ とします。6 がちょうど二回出る確率はいくらでしょうか。 ありうる並びのひとつは 6、6、ほか です。その確率は、各回の確率の積です。 $$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$けれども 6 が二回出る順番はほかにもあります。6、ほか、6 と ほか、6、6 です。同じ因数が順番を変えて現れるだけなので、どれも確率は $\frac5{216}$ です。順番は 3 通りなので、 $$P(\text{6 が二回})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$順番の数は、どの 回が成功になるかを選ぶ方法の数、つまり 3 回から 2 回を選ぶ数 $\binom32=3$ です。一般に、成功 $k$ 回、失敗 $n-k$ 回の並びはそれぞれ確率 $p^kq^{n-k}$ をもち、そうした並びは $\binom nk$ 通りあります。足し合わせると、

October 14, 2026 読んだ
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パスカリーヌ：歯車でする足し算

1640 年、エティエンヌ・パスカルはノルマンディーの徴税官に任命されました。夜遅くまで数字の列を何本も足していく仕事で、17 歳だった息子のブレーズも手伝いました。さらに厄介なことに、当時のフランスの通貨は十進法ではありませんでした。 $$1\ \text{リーヴル}=20\ \text{ソル},\qquad 1\ \text{ソル}=12\ \text{ドゥニエ}.$$$3$ リーヴル $15$ ソル $8$ ドゥニエと、$2$ リーヴル $7$ ソル $9$ ドゥニエを足すには、三種類の繰り上がりが必要です。 ドゥニエ：$8+9=17$、つまり $1$ ソル $5$ ドゥニエ。 ソル：$15+7+1=23$、つまり $1$ リーヴル $3$ ソル。 リーヴル：$3+2+1=6$。 答えは $6$ リーヴル $3$ ソル $5$ ドゥニエです。これを一晩に千回もやれば、必ず間違えます。1642 年、ブレーズは間違えない機械を作り始めました。 数を数える歯車 パスカリーヌの仕組みは単純です。数の各桁に、$0$ から $9$ までの数字がついた歯車が一つずつあります。$7$ を足すには、$7$ の穴に針を差し込み、止め金に当たるまで歯車を回します。数は小さな窓に表示されます。 パリの工芸博物館にある、六つの歯車をもつ十進法のパスカリーヌ。お金の計算用のものには、ソルとドゥニエのための 20 目盛りと 12 目盛りの歯車もありました。David Monniaux、2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 難しいのは繰り上がりです。一の位の歯車が $9$ から $0$ に変わるとき、十の位の歯車はひとりでに一目盛り進まなければなりません。しかも、それが次々に伝わることがあります。 $$999+1=1000.$$ここでは、一の位の歯車を一回回すだけで、四つの歯車を同時に動かさなければなりません。力がすべて回す人の指から来るのでは、歯車が動かなくなってしまいます。

October 11, 2026 読んだ
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黄金の定理：大数の法則

どんなに愚かな人でも、ある自然の本能によって、ひとりで、なんの教えも受けずに、観察を重ねれば重ねるほど的をはずす危険は小さくなると確信している。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第四部 サイコロなら、それぞれの目の確率は前もってわかっています。$\frac16$ です。けれども、40 歳の男性があと二十年生きる確率は？明日雨が降る確率は？薬が効く確率は？こうした場合には、数えられる同じ面がありません。ヤコブは別の道を提案しました。何度も観察し、頻度を確率の推定に使うのです。40 歳の男性のうち半分が 60 歳まで生きたなら、その確率は半分に近いはずです。 上の引用が言うとおり、だれもがすでにそう考えていました。ヤコブの問いはもっと深いものでした。それは 証明 できるのか。観察の数が増えると、頻度はほんとうに確率に近づくのか、それとも誤差はいつまでも大きいままでありうるのか。実際上の確実さを得るには、何回の観察が必要なのか。彼は答えるのに二十年かかり、その結果をたいへん誇りにして 黄金の定理 と呼びました。 壺 ヤコブは、白い石 3 000 個と黒い石 2 000 個の入った、中の見えない壺で問題を立てました。中をのぞけない人が、白い石の割合、つまり $\frac35$ を知りたいとします。そのために石をひとつ取り出し、色を記録して戻し、これをくり返します。 $n$ 回取り出して白が $S_n$ 回なら、観察された頻度は $\frac{S_n}n$ です。正確な問いはこうなります。頻度が $\frac{29}{50}$ と $\frac{31}{50}$ のあいだ、つまり $\frac35$ との差が $\frac1{50}$ 未満になることが 道徳的に確実、すなわち $\frac{1000}{1001}$ 以上の確率で成り立つには、何回取り出せばよいか。 定理が言うこと ヤコブの答えには二つの部分があります。第一は定性的なものです。どんなに小さな誤差の幅 $\varepsilon$ をとっても、頻度が $p$ から $\varepsilon$ より大きくずれる確率は、$n$ が大きくなると 0 に近づく。今日のことばでは、 $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$これが 大数の法則 の最初の形で、この名は 1837 年にポアソンがつけました。第二の部分は数値的なものです。ヤコブは、この壺なら 25 550 回 の取り出しで道徳的確実さに足りると計算しました。 硬貨投げのシミュレーション。はじめは表の割合が大きくゆれるが、数千回投げると 1/2 に近づく。横軸は対数目盛り。Euler’s Eyes 作図 今日の道具による証明 ヤコブの証明は、二項展開の項のあいだの不等式に何章も費やしています。今日では、ロシアのパフヌティ・チェビシェフが 1867 年に発表した不等式を使えば、同じ考えが数行で書けます。

October 14, 2026 読んだ
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神秘の六角形：円錐曲線上の六つの点

1640 年 2 月、片面だけに印刷された、ポスターのような一枚の紙がパリで出回りました。題は『円錐曲線試論』。証明はなく、定義と三つの補題、そして結果の一覧だけが載っていました。著者は 16 歳で、名前はブレーズ・パスカルといいました。 メルセンヌ神父がこの紙をデカルトに見せると、デカルトは疑いました。この若者は、パスカルが敬愛していた建築家で幾何学者のジラール・デザルグから、すべてを借りてきたのだろうと考えたのです。デザルグの影響は確かにあり、パスカル自身もそれを認めていました。しかし、この紙の中心にある結果は新しいものでした。 円錐曲線 円錐を平面で切ってみましょう。傾きによって、切り口のふちは楕円、放物線、双曲線のいずれかになります。円は楕円の特別な場合です。これらの曲線、円錐曲線は、紀元前 3 世紀のアポロニオスの時代から研究されてきました。 デザルグは、この分野を変える発想をもっていました。円錐曲線を円の影として見るのです。懐中電灯で円を照らすと、壁に映る影は楕円にも放物線にも双曲線にもなります。ですから、円の性質のうち、距離や角度を測らずに点と直線だけで語れるものは、影の中でも生き残り、すべての円錐曲線について成り立ちます。これが射影幾何学の考え方です。 六角形の定理 円錐曲線上に六つの点 $A,B,C,D,E,F$ をこの順にとり、結んで六角形を作ります。向かい合う辺は $AB$ と $DE$、$BC$ と $EF$、$CD$ と $FA$ です。それぞれの組を交わるまで延ばします。 $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$パスカルの定理によれば、三点 $P$、$Q$、$R$ はいつも一直線上にあります。 六つの点は曲線上でどんな順番に並んでいてもよく、六角形は自分自身と交差していてもかまいません。向かい合う二辺が平行なら、それらは「無限遠点」で交わり、直線はそれらと平行になります。パスカルはこの図形を神秘の六角形と呼びました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 四百の系 メルセンヌによれば、パスカルはこのたった一つの定理から約四百の系を導き、その中にはアポロニオスの円錐曲線論のほとんどすべてが含まれていました。彼は 1654 年ごろ、完全な論文を書き上げました。1676 年、ライプニッツはパリでその原稿を読み、すばらしいと考えて一家に出版を勧めました。しかし誰も出版せず、論文は失われてしまいました。 放物線で確かめる 計算で定理を確かめてみましょう。放物線 $y=x^2$ 上に、$x$ 座標が $0,1,2,3,4,7$ の六つの点をとります。 $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$まず近道を一つ。放物線上の $x$ 座標が $u$ と $v$ の二点を通る直線は $$y=(u+v)x-uv.$$です。実際、$x=u$ では $u^2+uv-uv=u^2$、$x=v$ では $v^2$ になります。では三つの交点を計算しましょう。

October 11, 2026 読んだ