Euler's Eyes
2026-10-24
第七章练习——方程
对于每个方程，首先问：它简化为什么基本方程？写出解族后，检查它们是否都不能抵消原方程中的分母。
方程 sin α = sin β
解方程组： a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b）$\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$； c) $\operatorname{sen} x = 0$； d）$\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$； e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$； f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。
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a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$，然后 $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ 或 $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$.
e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$，然后是 $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。
f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$.
g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$（两个系列一致）。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。
h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.
解方程组： a) $\operatorname{sen}^2 x = \dfrac{1}{4}$; b）$\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x = 0$； c) $2\operatorname{sen}^2 x - 3\operatorname{sen} x + 1 = 0$； d) $2\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen} x$。
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a) $\operatorname{sen} x = \pm\dfrac{1}{2}$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 1) = 0 \Rightarrow \operatorname{sen} x = 0$ 或 $\operatorname{sen} x = 1$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{sen} x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \dfrac{3 \pm 1}{4} \Rightarrow \operatorname{sen} x = 1$ 或 $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$。
d) $2(1 - \operatorname{sen}^2 x) = 1 - \operatorname{sen} x \Rightarrow 2\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x - 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{sen} x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm 3}{4} = 1$ 或 $-\dfrac{1}{2}$。我们依靠基本方程：$\operatorname{sen} x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$； $\;\operatorname{sen} x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$。
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi\right\}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
解方程组： a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{7}$; b）$\operatorname{cossec} x = 2$； c) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$； d）$2\operatorname{sen}^2 x = 1$； e) $\operatorname{sen}^2 x = 1$； f) $2\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen} x - 1 = 0$; g) $2\operatorname{sen} x - \operatorname{cossec} x = 1$; h) $3\operatorname{tg} x = 2\cos x$； i) $\operatorname{sen} x + \cos 2x = 1$; j) $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen} x$。
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总共，$k \in \mathbb{Z}$。 a) $x = \dfrac{\pi}{7} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{6\pi}{7} + 2k\pi$ · b) $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · c) $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · d) $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$、$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ · e) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$ · f) $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$、$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · g) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$、$x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ · h) $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · i) $x = k\pi$、$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · j) $x = k\pi$ 或 $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
(FEFAAP-77) 确定满足方程$4\operatorname{sen}^4 x - 11\operatorname{sen}^2 x + 6 = 0$的$x$的值。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi\right\}$
(FEI-76) 求解方程 $2\operatorname{sen} x\,|\operatorname{sen} x| + 3\operatorname{sen} x = 2$。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$
解方程组： a) $\operatorname{sen} 2x = \dfrac{1}{2}$; b）$\operatorname{sen} 3x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$； c) $\operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$； d) $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x$。
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a) $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $2x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $3x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$。
c) $\operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \pi + 2k\pi\right\}$。
d) $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x \Rightarrow 2x = x + 2k\pi$ 或 $2x = \pi - x + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$。
确定 $x \in \mathbb{R}$，使得： a) $\operatorname{sen} 5x = \operatorname{sen} 3x$； b) $\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen} 2x$。
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a) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4}\right\}$ · b) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{2k\pi}{5}\right\}$
确定三角形的内角 $ABC$，已知它们是等差级数，并且最小角与平均角之和的正弦是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$（三角形为等边）
(MAPOFEI-76) 求解系统 $\begin{cases} \operatorname{sen}(x + y) = 0 \\ x - y = \pi \end{cases}$
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$x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{k\pi}{2}$, $y = -\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$)
方程 cos α = cos β
解方程组： a) $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{5}$; b）$\sec x = \sec\dfrac{2\pi}{3}$； c) $\cos x = 0$； d）$\cos x = 1$； e) $\cos x = -1$； f) $\cos x = \dfrac{1}{2}$; g) $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; h) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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a) $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{5} + 2k\pi\right\}$.
b) $\dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{1}{\cos\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \cos x = \cos\dfrac{2\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$.
c) $\cos x = 0 = \cos\dfrac{\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\} = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$.
d) $\cos x = 1 = \cos 0$. $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = 2k\pi\}$. $\qquad$ e) $\cos x = -1 = \cos\pi$. $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = \pi + 2k\pi\}$.
f) $\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. $\qquad$ g) $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{4}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$.
h) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$.
解方程组： a) $4\cos^2 x = 3$; b）$\cos^2 x + \cos x = 0$； c) $\operatorname{sen}^2 x = 1 + \cos x$； d) $\cos 2x + 3\cos x + 2 = 0$。
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a) $\cos^2 x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$。
b) $\cos x(\cos x + 1) = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ 或 $\cos x = -1$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \text{ ou } x = \pi + 2k\pi\right\}$。
c) $1 - \cos^2 x = 1 + \cos x \Rightarrow \cos^2 x + \cos x = 0$，然后我们返回到上一项。
d) $(2\cos^2 x - 1) + 3\cos x + 2 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \dfrac{-3 \pm 1}{4}$，即 $\cos x = -1$ 或 $\cos x = -\dfrac{1}{2}$。然后$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pi + 2k\pi \text{ ou } x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。
解方程组： a) $\cos x = -\dfrac{1}{2}$; b）$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$； c) $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$； d）$\sec x = 2$； e) $2\cos^2 x = \cos x$； f) $4\cos x + 3\sec x = 8$; g) $2 - 2\cos x = \operatorname{sen} x \operatorname{tg} x$; h) $2\operatorname{sen}^2 x + 6\cos x = 5 + \cos 2x$； i) $1 + 3\operatorname{tg}^2 x = 5\sec x$; j) $\left(4 - \dfrac{3}{\operatorname{sen}^2 x}\right)\left(4 - \dfrac{1}{\cos^2 x}\right) = 0$。
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a) $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ · b) $x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ · c) $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ · d) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · e) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ · f) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · g) $x = 2k\pi$ · h) $x = 2k\pi$ 或 $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · i) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · j) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ 或$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$
解方程组： a) $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; b）$\cos 2x = \cos x$； c) $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$； d) $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$。
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a) $\cos 2x = \cos\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{12} + k\pi\right\}$。
b) $\cos 2x = \cos x \Rightarrow 2x = x + 2k\pi$ 或 $2x = -x + 2k\pi$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$（第一个系列包含在第二个系列中）。
c) $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 = \cos\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x + \dfrac{\pi}{6} = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。
d) $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1 = \cos 0 \Rightarrow x - \dfrac{\pi}{4} = 2k\pi$，然后是 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。
解方程组： a) $\cos 3x - \cos x = 0$; b) $\cos 5x = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$。
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a) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{k\pi}{2}\right\}$ · b) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{18} + \dfrac{k\pi}{3}\right\}$
已知 $\cos(A + B) = \dfrac{1}{2}$ 和 $\operatorname{sen}(B + C) = \dfrac{1}{2}$，确定三角形 $ABC$ 的内角。
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$A = \dfrac{\pi}{6}$, $B = \dfrac{\pi}{6}$, $C = \dfrac{2\pi}{3}$
(MAUÁ-77) 给定方程 $(\operatorname{sen} x + \cos y)(\sec x + \operatorname{cossec} y) = 4$： a) 求解它，如果 $x = y$； b) 如果 $\operatorname{sen} x = \cos y$ 则解决它。
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a) $x = y = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ · b) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ e $y + x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
方程 tg α = tg β
解方程组： a) $\operatorname{tg} x = 1$; b）$\operatorname{cotg} x = \sqrt{3}$； c) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$； d）$\operatorname{tg} x = 0$； e) $\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$； f) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} x$; g) $\operatorname{tg} 3x = 1$; h) $\operatorname{tg} 5x = \operatorname{tg} 3x$。
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a) $\operatorname{tg} x = 1 = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{cotg} x = \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{tg} x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3} = \operatorname{tg}\dfrac{2\pi}{3}$，然后 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\right\}$。
d) $\operatorname{tg} x = 0 = \operatorname{tg} 0$，然后是 $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
e) $\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3} = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$，然后是 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}\right\}$。
f) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} x \Rightarrow 2x = x + k\pi$，然后 $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
g) $\operatorname{tg} 3x = 1 = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$，然后是 $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{3}\right\}$。
h) $\operatorname{tg} 5x = \operatorname{tg} 3x \Rightarrow 5x = 3x + k\pi \Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{2}$。若$k$为奇数，则$\operatorname{tg} 5x$和$\operatorname{tg} 3x$不存在；因此$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{k\pi}{2},\ k \text{ par}\right\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
解方程组： a) $\operatorname{sen} x - \sqrt{3}\cos x = 0$; b）$\operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$； c) $\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 2$； d) $\sec^2 x = 1 + \operatorname{tg} x$。
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a) $\operatorname{sen} x = \sqrt{3}\cos x \Rightarrow \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$（$\cos x = 0$ 没有用，因为它也可以是 $\operatorname{sen} x = 0$）。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\right\}$。
b) $\dfrac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} = 1 \Rightarrow \operatorname{tg}^2 x = 1$，然后 $\operatorname{tg} x = 1$ 或 $\operatorname{tg} x = -1$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{tg} x + \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} = 2 \Rightarrow \operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x + 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = 1$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$.
d) $1 + \operatorname{tg}^2 x = 1 + \operatorname{tg} x \Rightarrow \operatorname{tg} x(\operatorname{tg} x - 1) = 0$，然后是 $\operatorname{tg} x = 0$ 或 $\operatorname{tg} x = 1$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$。
解方程组： a) $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{5}$; b）$\operatorname{cotg} x = \operatorname{cotg}\dfrac{5\pi}{6}$； c) $3\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$； d）$\operatorname{cotg} x = 0$； e) $\operatorname{cotg} x = -1$； f) $\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} 2x = 0$; g) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$; h) $\operatorname{tg} 4x = 1$； i) $\operatorname{cotg} 2x = \operatorname{cotg}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$; j) $\operatorname{tg}^2 2x = 3$。
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a) $x = \dfrac{\pi}{5} + k\pi$ · b) $x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi$ · c) $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ · d) $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ · e) $x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$ · f) $x = k\pi$ · g) $S = \varnothing$ · h) $x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4}$ · i) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ · j) $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$ 或 $x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k\pi}{2}$
解方程组： a) $\sec^2 x = 2\operatorname{tg} x$; b）$\dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 x} = 1 - \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$； c) $\operatorname{sen} 2x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos 2x\operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$； d) $(1 - \operatorname{tg} x)(1 + \operatorname{sen} 2x) = 1 + \operatorname{tg} x$。
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a) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ · b) $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 或 $x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$ · c) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ · d) $x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$ 或 $x = k\pi$
(MAPOFEI-75) 求解方程 $\operatorname{cotg} x - \operatorname{sen} 2x = 0$。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$。确实，$\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x} - 2\operatorname{sen} x\cos x = \dfrac{\cos x(1 - 2\operatorname{sen}^2 x)}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{\cos x\cos 2x}{\operatorname{sen} x} = 0$。 （印刷版模板只有$\pm\frac{\pi}{4} + k\pi$，省略了$\cos x = 0$根。）
(FEI-77) 对于$p$的什么值，方程$\operatorname{tg} px = \operatorname{cotg} px$以$x = \dfrac{\pi}{2}$为根？
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$p = \dfrac{1}{2} + k$, $k \in \mathbb{Z}$
一系列解决方案
确定 $x \in [0, 2\pi]$ 使得 $2\operatorname{sen} x = 1$。
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方程$\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$的通解为$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$或$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$。为了得到$0 \le x \le 2\pi$，我们必须将$k$赋值为0；然后$S = \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right\}$。
闭区间 $[0, 2\pi]$ 的弧是多少，使得它们的双精度数的正弦为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$？
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我们将所寻找的弧称为 $x$：
$$\operatorname{sen} 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{3} \;\Longrightarrow\; 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\text{ ou }\; 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\Longrightarrow\; x = \frac{\pi}{6} + k\pi \;(1) \;\text{ ou }\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi \;(2)$$（即所谓的通用解决方案）。我们只想要$[0, 2\pi]$的弧；我们给$k$赋值：在(1)、$k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$和$k = 1 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}$中；在(2)、$k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$和$k = 1 \Rightarrow x = \frac{4\pi}{3}$中。 $k$ 的任何其他值都会从 $[0, 2\pi]$ 中取出 $x$。
$$S = \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}\right\}$$确定$x$，使得$0 < x < \pi$和$\operatorname{sen} 3x = \dfrac{1}{2}$。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{18}, \dfrac{5\pi}{18}, \dfrac{13\pi}{18}, \dfrac{17\pi}{18}\right\}$
闭区间 $[0, 2\pi]$ 的正弦等于其双倍正弦的弧是多少？
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在（1）中：$k = 0 \Rightarrow x = 0$； $k = 1 \Rightarrow x = 2\pi$。在（2）中：$k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$； $k = 1 \Rightarrow x = \pi$； $k = 2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{3}$。
$$S = \left\{0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\}$$求方程$\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen} 2x$属于区间$[0, \pi]$的解。
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$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{5}, \dfrac{3\pi}{5}, \pi\right\}$
确定$x$，使得$0 < x < 2\pi$和$\cos 2x = \dfrac{1}{2}$。
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来自（1）：$k = 0 \Rightarrow \frac{\pi}{6}$、$k = 1 \Rightarrow \frac{7\pi}{6}$。来自（2）：$k = 1 \Rightarrow \frac{5\pi}{6}$、$k = 2 \Rightarrow \frac{11\pi}{6}$。然后$S = \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}$。
获取 $x$，使得 $\cos 3x = \cos 2x$ 和 $0 \le x \le \pi$。
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$S = \left\{0, \dfrac{2\pi}{5}, \dfrac{4\pi}{5}\right\}$
(EECUSP-69) 求从 $4\operatorname{sen}^3 x - \operatorname{sen} x = 0$ 到 $0 \le x \le 2\pi$ 的解。
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$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}, 2\pi\right\}$
确定$x$，使得$0 \le x \le \pi$和$\operatorname{tg} 6x = \operatorname{tg} 2x$。
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$\operatorname{tg} 6x = \operatorname{tg} 2x \Rightarrow 6x = 2x + k\pi \Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{4}$。执行 $k = 0, 1, 2, 3, 4$，我们得到 $x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi$。排除$\frac{\pi}{4}$和$\frac{3\pi}{4}$，$6x$和$2x$的切线不存在：
$$S = \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi\right\}.$$(MAPOFEI-74) 计算$0 \le x \le 2\pi$范围内的$x$，使得$\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 2$。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}\right\}$
为 $0 \le x \le \pi$，求解 $\sqrt{\operatorname{sen}^2 x} - \sqrt{\cos^2 x} = 0$。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right\}$
(Itajubá-69) 已知 $x + y = \dfrac{\pi}{3}$，求解方程 $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y = 1$。
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$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $y = \dfrac{\pi}{6} - 2k\pi$
经典方程
求解方程 $\sqrt{3}\cos x + \operatorname{sen} x = 1$。
视图分辨率（三种方法）
方法 1。 执行 $\operatorname{sen} x = u$ 和 $\cos x = v$：$\begin{cases} u + \sqrt{3}\,v = 1 & (1) \\ u^2 + v^2 = 1 & (2) \end{cases}$。将(1)、$u = 1 - \sqrt{3}\,v$代入(2)得到$(1 - \sqrt{3}\,v)^2 + v^2 = 1 \Rightarrow 4v^2 - 2\sqrt{3}\,v = 0$。然后是$v = 0$（和$u = 1$）或$v = \frac{\sqrt{3}}{2}$（和$u = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$）。有两种可能：$\cos x = 0$和$\operatorname{sen} x = 1$，即$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$；或$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$和$\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$，即$x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$。
方法 2。 $\operatorname{sen} x + \sqrt{3}\cos x = 1 \Rightarrow \operatorname{sen} x + \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\cos x = 1 \Rightarrow \operatorname{sen} x + \dfrac{\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}}\cos x = 1 \Rightarrow \operatorname{sen} x\cos\frac{\pi}{3} + \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\cos x = \cos\frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow \operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ 或 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。
方法 3。 使用 $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$：$\dfrac{2t}{1 + t^2} + \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} = 1 \Rightarrow 2t + \sqrt{3} - \sqrt{3}\,t^2 = 1 + t^2 \Rightarrow (1 + \sqrt{3})t^2 - 2t + (1 - \sqrt{3}) = 0$。然后
$$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2(1 + \sqrt{3})} = 1 \;\text{ ou }\; -2 + \sqrt{3}.$$$t = \operatorname{tg}\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$; $\;t = -2 + \sqrt{3} = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{12}\right) \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$.
解方程组： a) $\operatorname{sen} x + \cos x = -1$; b) $\sqrt{3}\operatorname{sen} x - \cos x = -\sqrt{3}$。
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a) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = \pi + 2k\pi\right\}$ · b) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$
确定$x$，使得$0 \le x \le 2\pi$和$\operatorname{sen} x + \cos x = 1$。
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制作$\operatorname{sen} x = u$和$\cos x = v$：$\begin{cases} u + v = 1 & (1) \\ u^2 + v^2 = 1 & (2) \end{cases}$。 (1) 在 (2) 中：$u^2 + (1 - u)^2 = 1 \Rightarrow 2u^2 - 2u = 0$。有两种可能性：$u = 0$ 和 $v = 1$，或 $u = 1$ 和 $v = 0$。因此$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{2}, 2\pi\right\}$。
求$[0, 2\pi]$范围内方程组的解： a) $\operatorname{sen} 4x + \cos 4x = 1$; b) $|\operatorname{sen} x| + |\cos x| = 1$。
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a) $S = \left\{0, \dfrac{\pi}{8}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{8}, \pi, \dfrac{9\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{13\pi}{8}, 2\pi\right\}$ · b) $S = \left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right\}$
(MACK-70) 在实数集合中求解方程 $\operatorname{sen} 2x = 1 - \cos 2x$。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = k\pi\right\}$
讨论 $x$: $m\operatorname{sen} x + \cos x = m$ 中的方程。
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执行 $\operatorname{sen} x = \dfrac{2t}{1 + t^2}$ 和 $\cos x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$：
$$m \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = m \;\Longrightarrow\; 2mt + 1 - t^2 = m + mt^2 \;\Longrightarrow\; (m + 1)t^2 - 2mt + (m - 1) = 0.$$当且仅当 $\Delta \ge 0$: $\Delta = 4m^2 - 4(m + 1)(m - 1) = 4 > 0$ 时，该方程才有实数解，对于每个实数 $m$ 都会出现这种情况。 （当$m = -1$时，$t$中的方程为1次，$2t - 2 = 0$，仍然有解；而代入无效的$x = \pi + 2k\pi$，仅是$m = -1$的根。）因此，方程有todo$m \in \mathbb{R}$的解。
根据$m$讨论方程： a) $m\cos x - (m + 1)\operatorname{sen} x = m$; b) $\operatorname{sen} x + \cos x = m$。
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a) 所有 $m \in \mathbb{R}$ 都有解 b) 当且仅当 $-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}$ 存在解
解方程组： a) $\operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 5x = 0$; b）$\cos 6x + \cos 2x = 0$； c) $\operatorname{sen} 4x - \cos x = 0$； d) $\cos 3x + \operatorname{sen} 2x = 0$。
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a) $\operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 5x = 0 \Rightarrow 2\operatorname{sen} 6x\cos x = 0$。第一种可能性：$\operatorname{sen} 6x = 0 \Rightarrow 6x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{6}$。第二种可能性：$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{k\pi}{6} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$。
b) $\cos 6x + \cos 2x = 0 \Rightarrow 2\cos 4x\cos 2x = 0$. $\cos 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$; $\cos 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\right\}$.
c) $\operatorname{sen} 4x - \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 0 \Rightarrow 2\operatorname{sen}\left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$. 1ª: $\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4} = k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}$. 2ª: $\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$.
d) $\cos 3x + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = 0 \Rightarrow 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 0$. 1ª: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. 2ª: $\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{3\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5}\right\}$.
求解方程：a) $\operatorname{sen} mx + \operatorname{sen} nx = 0$ ($m, n \in \mathbb{N}^*$)； b）$\cos ax + \cos bx = 0$（$a, b \in \mathbb{R}^*$）； c) $\operatorname{sen} 2x = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$。
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a) $x = \dfrac{2k\pi}{m + n}$ 或 $x = \dfrac{(2k + 1)\pi}{m - n}$（后者仅当 $m \ne n$ 时） · b) $x = \dfrac{\pi}{a + b} + \dfrac{2k\pi}{a + b}$ 或 $x = -\dfrac{\pi}{a - b} + \dfrac{2k\pi}{a - b}$（分别与 $a + b \ne 0$ 和 $a - b \ne 0$ 一起） · c) $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3}$ 或 $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$
解方程组： a) $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} 4x + \operatorname{sen} 6x = 0$; b) $\cos 3x + \cos 7x = \cos 5x$。
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a) $(\operatorname{sen} 6x + \operatorname{sen} 4x) + (\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} x) = 0 \Rightarrow 2\operatorname{sen} 5x\cos x + 2\operatorname{sen} 2x\cos x = 0 \Rightarrow \cos x(\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} 2x) = 0 \Rightarrow 2\cos x\operatorname{sen}\dfrac{7x}{2}\cos\dfrac{3x}{2} = 0$.
第一种可能性：$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。第二个：$\operatorname{sen}\frac{7x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{2k\pi}{7}$。第三：$\cos\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$。
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ x = \dfrac{2k\pi}{7} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$.
b) $(\cos 7x + \cos 3x) - \cos 5x = 0 \Rightarrow 2\cos 5x\cos 2x - \cos 5x = 0 \Rightarrow 2\cos 5x\left(\cos 2x - \frac{1}{2}\right) = 0$.
1ª: $\cos 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}$. 2ª: $\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{5} \text{ ou } x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi\right\}$.
解方程组： a) $\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} 3x$; b）$\cos x + \cos(2x + a) + \cos(3x + 2a) = 0$； c) $\operatorname{sen} 7x + \cos 3x = \cos 5x - \operatorname{sen} x$。
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a) $x = k\pi$ 或 $x = \dfrac{k\pi}{3}$ · b) $x = \pm\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} + k\pi$、$x = \dfrac{2\pi}{3} - a + 2k\pi$ 或 $x = \dfrac{4\pi}{3} - a + 2k\pi$ · c) $x = \dfrac{k\pi}{4}$ 或 $x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$
确定$x$，使得$0 \le x \le \pi$和$\cos^2(x + a) + \cos^2(x - a) = 1$。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right\}$（假设$\cos 2a \ne 0$；如果$\cos 2a = 0$，则所有$x$都可以）
确定$x$，使得$\operatorname{sen} 3x + \cos 2x - \operatorname{sen} x = 1$和$0 \le x \le \pi$。
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$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi\right\}$
(MAPOFEI-74) 确定满足等式 $\operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的角度 $x$（以弧度为单位）。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$
(MAUÁ-77) 给定系统 $\begin{cases} \operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) = 2 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 2 \end{cases}$： a) 证明 $(x_0, y_0)$ 与 $x_0 = 2\pi$ 和 $y_0 = \dfrac{\pi}{2}$ 不是系统的解； b) 求解系统，确定所有解$(x, y)$。
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a) $2\operatorname{sen}(2\pi)\cos\frac{\pi}{2} = 0 \ne 2$ · b) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ e $y = 2k\pi$
(FEI-77) 使用来自第一象限的 $a$ 和 $b$ 求解系统 $\begin{cases} \operatorname{sen} a + \cos b = 1 \\ \operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2} \cdot \cos\dfrac{a - b}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$。
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$a = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $b = \dfrac{\pi}{4}$
求解方程 $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = \dfrac{3}{4}$。
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根据理论，$\operatorname{sen}^2 2x = 2\left(1 - \dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$，因此$\operatorname{sen} 2x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，然后是$2x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4}$。
$$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}\right\}$$求解方程 $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = \dfrac{7}{16}$。
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根据理论，$\operatorname{sen}^2 2x = \dfrac{4}{3}(1 - a) = \dfrac{4}{3}\left(1 - \dfrac{7}{16}\right) = \dfrac{3}{4}$，因此$\operatorname{sen} 2x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，然后是$2x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$。
$$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\right\}$$求解 $x \in [0, 2\pi]$ 的方程： a) $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = \dfrac{5}{8}$； b) $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = \dfrac{5}{8}$； c) $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = \dfrac{1}{2}$； d）$\operatorname{sen}^6\dfrac{x}{2} + \cos^6\dfrac{x}{2} = \dfrac{7}{16}$； e) $\operatorname{sen}^3 x + \cos^3 x = 1$。
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a) $S = \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}$ · b) $S = \left\{\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{8}, \dfrac{5\pi}{8}, \dfrac{7\pi}{8}, \dfrac{9\pi}{8}, \dfrac{11\pi}{8}, \dfrac{13\pi}{8}, \dfrac{15\pi}{8}\right\}$ · c) $S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right\}$ · d) $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right\}$ · e) $S = \left\{0, \dfrac{\pi}{2}, 2\pi\right\}$
反圆函数
确定 $\alpha$ 使得 $\alpha = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{2}$。
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$\alpha = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{2} \iff \operatorname{sen}\alpha = \dfrac{1}{2}$ 和 $-\dfrac{\pi}{2} \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}$。也就是说，$\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2}$ 不是任何 $\alpha$，例如 $\operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{2}$，而是 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$: $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ 范围内的（单个）$\alpha$。
确定数字：$\operatorname{arc\,sen} 0$、$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\operatorname{arc\,sen}\left(-\dfrac{1}{2}\right)$、$\operatorname{arc\,sen} 1$ 和 $\operatorname{arc\,sen}(-1)$。
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$0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{2}$ e $-\dfrac{\pi}{2}$
计算$\cos\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{3}\right)$。
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做$\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} = \alpha$，我们有$\operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{3}$和$-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$；所以余弦是正的并且
$$\cos\alpha = +\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\alpha} = +\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = +\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$计算$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{4}\right)$。
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$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
计算$\cos\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{5} + \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}\right)$。
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执行 $\operatorname{arc\,sen}\frac{3}{5} = \alpha$：$\operatorname{sen}\alpha = \frac{3}{5}$、$-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$、然后 $\cos\alpha = +\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$。执行 $\operatorname{arc\,sen}\frac{5}{13} = \beta$：$\operatorname{sen}\beta = \frac{5}{13}$，然后 $\cos\beta = +\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}$。最后，
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48 - 15}{65} = \frac{33}{65}.$$计算：a)$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\left(-\dfrac{2}{3}\right) + \operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{4}\right)$； b）$\operatorname{sen}\left(2\operatorname{arc\,sen}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$； c) $\cos\left(3\operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}\right)$。
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a) $\dfrac{\sqrt{5}(-6 + \sqrt{3})}{15 + 2\sqrt{3}}$ · b) $-\dfrac{24}{25}$ · c) $-\dfrac{2035}{2197}$
确定 $\alpha$ 使得 $\alpha = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
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$\alpha = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$和$0 \le \alpha \le \pi$；然后$\alpha = \dfrac{\pi}{6}$。
确定数字：$\operatorname{arc\,cos} 1$、$\operatorname{arc\,cos}\dfrac{1}{2}$、$\operatorname{arc\,cos}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\operatorname{arc\,cos} 0$ 和 $\operatorname{arc\,cos}(-1)$。
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$0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$ e $\pi$
计算$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{5}\right)$。
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制作$\operatorname{arc\,cos}\frac{2}{5} = \alpha$：$\cos\alpha = \frac{2}{5}$和$0 \le \alpha \le \pi$，然后$\operatorname{sen}\alpha = +\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = +\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$和$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{21}}{2}$。
计算$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$。
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$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{4}{5}$
计算$\operatorname{cotg}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{7}\right)$。
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$\dfrac{2\sqrt{5}}{15}$
(FEI-76) 根据第一象限的$A$和$\operatorname{arc\,sen} x = A$，找到$\operatorname{arc\,cos} x$。
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$\operatorname{arc\,cos} x = \dfrac{\pi}{2} - A$
计算$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{5}{13} + \operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25}\right)$。
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执行$\operatorname{arc\,cos}\frac{5}{13} = \alpha$：$\cos\alpha = \frac{5}{13}$和$0 \le \alpha \le \pi$，然后$\operatorname{sen}\alpha = +\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}$。执行$\operatorname{arc\,sen}\frac{7}{25} = \beta$：$\operatorname{sen}\beta = \frac{7}{25}$和$-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$，然后$\cos\beta = \frac{24}{25}$。最后，
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta + \operatorname{sen}\beta\cos\alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \cdot \frac{5}{13} = \frac{288 + 35}{325} = \frac{323}{325}.$$计算：a)$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{5} - \operatorname{arc\,cos}\dfrac{5}{13}\right)$； b）$\cos\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25} - \operatorname{arc\,cos}\dfrac{12}{13}\right)$； c) $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,cos}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$； d) $\cos\left(\dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,cos}\dfrac{7}{25}\right)$。
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a) $-\dfrac{16}{65}$ · b) $\dfrac{323}{325}$ · c) $\dfrac{24}{7}$ · d) $\dfrac{4}{5}$
(MAPOFEI-72) 令函数为$f(x) = \cos(2\operatorname{arc\,cos} x)$、$-1 \le x \le 1$。 a) 确定$x$的值使得$f(x) = 0$。 b) 绘制$g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$的图形。
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与$\alpha = \operatorname{arc\,cos} x$、$f(x) = \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2x^2 - 1$。
a) $2x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
b) $[-1, 1]$ 中的 $g(x) = \dfrac{1}{2x^2 - 1}$，$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ 除外：在 $x = \pm 1$ 中值 1，在 $x = 0$ 中值 $-1$，并且在 $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ 中具有垂直渐近线。
确定 $\alpha$ 使得 $\alpha = \operatorname{arc\,tg} 1$。
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$\alpha = \operatorname{arc\,tg} 1 \iff \operatorname{tg}\alpha = 1$和$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$，即$\alpha = \dfrac{\pi}{4}$。
确定数字：$\operatorname{arc\,tg} 0$、$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{3}$、$\operatorname{arc\,tg}(-1)$ 和 $\operatorname{arc\,tg}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$。
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$0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{4}$ e $-\dfrac{\pi}{6}$
计算$\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,tg}\sqrt{2})$。
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制作$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{2} = \alpha$：$\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{2}$和$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$（实际上是$\alpha > 0$）。然后
$$\operatorname{sen}^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}\alpha = +\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$计算$\cos\left(\operatorname{arc\,tg}\left(-\dfrac{4}{3}\right)\right)$。
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$\dfrac{3}{5}$
计算$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{5} - \operatorname{arc\,tg}\dfrac{5}{12}\right)$。
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执行$\operatorname{arc\,sen}\frac{3}{5} = \alpha$：$\operatorname{sen}\alpha = \frac{3}{5}$、$-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$、然后$\cos\alpha = \frac{4}{5}$和$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$。执行 $\operatorname{arc\,tg}\frac{5}{12} = \beta$：$\operatorname{tg}\beta = \frac{5}{12}$。最后，
$$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{5}{12}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{16}{48}}{\frac{63}{48}} = \frac{16}{63}.$$计算：a)$\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,tg} 2 + \operatorname{arc\,tg} 3)$； b）$\cos\left(\operatorname{arc\,tg} 2 - \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2}\right)$； c) $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{5}\right)$； d) $\cos\left(3\operatorname{arc\,tg}\dfrac{24}{7}\right)$。
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a) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · b) $\dfrac{4}{5}$ · c) $\dfrac{5}{12}$ · d) $-\dfrac{11\,753}{15\,625}$。 （在 a 和 b 中，打印模板显示 $\pm$；但弧线具有明确定义的值：在 a 中，$\operatorname{arc\,tg} 2 + \operatorname{arc\,tg} 3 = \frac{3\pi}{4}$，其正弦为正；在 b 中，差值在 $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ 中，余弦为正。）
证明平等$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{\sqrt{5}}{5} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{\sqrt{10}} = \operatorname{arc\,tg} 1$。
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I) 让我们执行 $\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{5}}{5}$、$\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{3}{\sqrt{10}}$ 和 $\gamma = \operatorname{arc\,tg} 1$。然后：
- $\operatorname{sen}\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ 和 $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$（因为 $\frac{\sqrt{5}}{5} < \frac{\sqrt{2}}{2}$）；
- $\cos\beta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ 和 $0 \le \beta \le \pi \Rightarrow 0 < \beta < \frac{\pi}{4}$（因为 $\frac{3}{\sqrt{10}} > \frac{\sqrt{2}}{2}$）；
然后$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$。以及$\operatorname{tg}\gamma = 1$、$-\frac{\pi}{2} < \gamma < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{\pi}{4}$。
II) 让我们计算 $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$。与 $\cos\alpha = \frac{\sqrt{20}}{5}$ 和 $\operatorname{sen}\beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ 一样，我们有 $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}$ 和 $\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{3}$：
$$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 = \operatorname{tg}\gamma.$$III) 结论：$\alpha + \beta$和$\gamma$都在$\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$中，其中切线一一对应，且切线相同；标志 $\alpha + \beta = \gamma$。
证明等式： a) (Itajubá-77) $\operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2} + \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{4}$; b) $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{\sqrt{5}} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{\pi}{4}$； c) $\operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{5} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{12}{13} = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{16}{65}$； d) $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{24}{25} - \operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{5} = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{3}{4}$。
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在所有项目中，我们都遵循练习指南 267：找到弧、计算和函数并使用单射性。
a) $\alpha = \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{2}$ 和 $\beta = \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3}$ 在 $\left]0, \frac{\pi}{4}\right[$ 中，因此 $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$；和$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \dfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = 1$。然后$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$。
b) $\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{\sqrt{5}}$ 与 $\frac{1}{2}$ 相切，$\operatorname{arc\,cos}\frac{3}{\sqrt{10}}$ 与 $\frac{1}{3}$ 相切，均位于第一象限：它是项目 (a)（以及练习 267）。
c) $\alpha = \operatorname{arc\,cos}\frac{3}{5}$ ($\operatorname{sen}\alpha = \frac{4}{5}$) 和 $\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{12}{13}$ ($\operatorname{sen}\beta = \frac{5}{13}$) 在 $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ 中，因此在 $\alpha + \beta \in\, ]0, \pi[$ 中，其中余弦是单射的；和$\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{16}{65}$。然后$\alpha + \beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{16}{65}$。
d) $\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{24}{25}$ ($\operatorname{tg}\alpha = \frac{24}{7}$) 和 $\beta = \operatorname{arc\,sen}\frac{3}{5}$ ($\operatorname{tg}\beta = \frac{3}{4}$)，加上 $0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}$，因此 $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$；和$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \dfrac{\frac{24}{7} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{24}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \dfrac{\frac{75}{28}}{\frac{100}{28}} = \dfrac{3}{4}$。然后$\alpha - \beta = \operatorname{arc\,tg}\frac{3}{4}$。
证明$2\operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{7} = \dfrac{\pi}{4}$。
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制作$\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} = \alpha$：$\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{3}$和$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \alpha < \frac{\pi}{4} \Rightarrow 0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$（1）。制作$\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7} = \beta$：$\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{7}$和$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$（2）。
考虑(1)和(2)，$0 < 2\alpha + \beta < \pi$，并证明$2\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$就足以证明$\operatorname{tg}(2\alpha + \beta) = 1$：
$$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4} \qquad \operatorname{tg}(2\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1.$$证明等式：a) $2\operatorname{arc\,tg}\dfrac{2}{3} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{12}{13} = \dfrac{\pi}{2}$； b) $3\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{4} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{11}{16} = \dfrac{\pi}{2}$。
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a) 令 $\alpha = \operatorname{arc\,tg}\frac{2}{3}$ 为：$0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$，然后是 $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$ 和 $\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \dfrac{12}{5}$。设$\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{12}{13}$：$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$和$\operatorname{cotg}\beta = \frac{12}{5}$。然后$\operatorname{tg} 2\alpha = \operatorname{cotg}\beta = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$，$2\alpha$和$\frac{\pi}{2} - \beta$在$\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$中；标志 $2\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$。
b) 让$\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{4}$：为$\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$、$0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$和$0 < 3\alpha < \frac{\pi}{2}$。通过三重弧线，$\operatorname{sen} 3\alpha = 3 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{64} = \frac{11}{16}$。让$\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{11}{16} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$：$\cos\beta = \frac{11}{16} = \operatorname{sen} 3\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right)$。由于$\beta$和$\frac{\pi}{2} - 3\alpha$在$\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$、$\beta = \frac{\pi}{2} - 3\alpha$中。