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テスト — 逆循環関数

逆サイン、逆余弦、逆正接 (第 VII 章)。 Teste 158MACK-74 $f$、$g$、$h$ を $A$ の $A$ の関数とします。$A = [-1, 1]$ は、$f(x) = \operatorname{sen} x$、$g(x) = \operatorname{sen}\pi x$、$h(x) = \frac{\pi}{2}x$ のように定義されます。次のように言えます。 a) それらはすべて反転可能ですb) それらはすべて超主観的ですc) 注射できるのは1本だけd) 1つだけが全射的ですe) 単射と全射は1つだけ $f$ ($[-1, 1]$ の正弦) は単射的で、イメージは $[-\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen} 1]$ です。 $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$ にはイメージ $[-1, 1]$ (全射的) がありますが、単射的 ($g(0) = g(1) = 0$) ではありません。 $h$ は単射的であり、そのイメージ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ は $A$ にも当てはまりません。 $g$のみ全射的です。印刷されたテンプレートは (e) を示していますが、3 つのどれも $A$ 内の $A$ のインジェクターとサージェクターの両方ではありません。本当の記述は (d) です。 Teste 159MACK-73 $y = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{2x - 3}$ で定義される関数の定義域は次のとおりです。 a) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ge \frac{3}{2}\right\}$b) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \frac{3}{2} \le x \le 2\right\}$c) $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 2\}$d) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; -2 \le x \le 0 \text{ ou } \frac{5}{2} \le x \le 4\right\}$e) 以前の回答はどれもありません ルートには $2x - 3 \ge 0$ が必要で、アークサインには $\sqrt{2x - 3} \le 1$: $0 \le 2x - 3 \le 1$、つまり $\frac{3}{2} \le x \le 2$ が必要です。

October 25, 2026 読んだ
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第 VII 章の演習 — 方程式

各方程式について、まず次のことを考えてください。それはどのような基本方程式に帰着しますか?解の族を書いた後、元の方程式の分母を相殺するものがないことを確認してください。 方程式 sin α = sin β 193 方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$; c) $\operatorname{sen} x = 0$; d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$; e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。 解像度を参照してくださいa) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。 b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$、次に $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。 c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ または $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。 d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$. e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$、次に $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。 f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$ (2 つのファミリーは一致します)。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。 h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.

October 24, 2026 読んだ
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逆循環関数

方程式 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ には無限に多くの解がありますが、それらのどれも注目に値する弧ではありません。解決策をどのように書くか? 「正弦が$\frac{1}{3}$である円弧」 の名前が必要です。問題は、このような円弧が無数に存在することです。名前がa 数値を指定するように、正弦が繰り返されない間隔を選択します。この選択により逆循環関数が定義されます。 歴史 $\operatorname{arc\,sen} x$ — 「正弦が $x$ である弧」という表記は、1729 ではダニエル ベルヌーイによって、1772 ではオーストリアの数学者ヨーゼフ シェルファーによって使用され、ラグランジュと他の作家は18世紀末。電卓で一般的な $\operatorname{sen}^{-1} x$ という表記は、イギリスの天文学者ジョン・ ハーシェルによって、関数の逆関数との類推により 1813 で提案されました。 $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$ と混同されるという欠点があるため、本書では $\operatorname{arc\,sen}$ を使用します。 ジョン・ハーシェルとは何者だったのか ジョン ハーシェル (1792 – 1871) は、天王星を発見した天文学者ウィリアム ハーシェルの息子です。まだケンブリッジの学生だった頃、 彼はチャールズ バベッジとジョージ ピーコックとともに分析協会 (1812) を設立しました。この団体は、ニュートンの点 $\dot{y}$ の代わりにライプニッツの微積分表記 $dy/dx$ をイギリスに持ち込もうとしていました。彼らは冗談を言いました。 「大学のドットエイジに対する純粋なD主義の原則」を擁護した（ドットエイジは「老衰」を意味する）。この表記法への取り組みの中で、彼の $\operatorname{sen}^{-1}$ が誕生しました。ハーシェルはケープタウンで 4 年間を過ごし、南半球の空の星の地図を作成し、写真の先駆者の 1 人でした。彼は古代工学植物の青色プロセスであるシアノタイプを発明し、写真、ネガティブ、ポジティブという言葉を広めました。彼はウェストミンスター寺院のニュートンの隣に埋葬されている。 1729ダニエル・ ベルヌーイは「A S」と書きます。サインが与えられた円弧の場合。 1772ジョセフ・ シャーファーはアークを使用します。罪 世紀末。 XVIIIラグランジュらはアークシンを広めました。 1813ジョン・ ハーシェルは$\sin^{-1} x$を提案します。 今日電卓では $\sin^{-1}$ を使用します。ブラジルの本、$\operatorname{arc\,sen}$。 出典: John Herschel (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)、§§ 532 – 535 · 関数記号の初期の使用法 (Jeff Miller)。

October 24, 2026 読んだ