これはデモ演習が最も多い章です。ソリューションを開く前に、加算、乗算、除算、積への変換など、どの数式を使用するかを決定します。 加算式 131 次の値を計算します。 a) $\cos 15^\circ$; b) $\operatorname{sen} 105^\circ$; c) $\operatorname{tg} 75^\circ$; d) $\sec 285^\circ$。 解像度を参照してくださいa) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ b) $\operatorname{sen} 105^\circ = \operatorname{sen}(60^\circ + 45^\circ) = \operatorname{sen} 60^\circ \cos 45^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ c) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ $\left(= 2 + \sqrt{3}\right)$ d) $\sec 285^\circ = \sec 75^\circ = \dfrac{1}{\cos 75^\circ} = \dfrac{1}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ $\left(= \sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$
任意の 2 つの実数 $a$ と $b$ の和 $(a + b)$ と差 $(a - b)$ の三角関数 ($a$ と $b$ の円関数として知られています) を計算する式を導いてみましょう。 歴史 アルマゲストでプトレマイオスは、内接四角形において対角線の積は対辺の積の和に等しいことを証明しました――プトレマイオスの定理です。これを直径と等しい辺を持つ四角形に適用すると、プトレマイオスが 2 分の 1 度表を作成するために使用した 2 つの円弧の和と差の弦の公式が正確に得られます。この公式は正弦の形で、第 II 章ですでに登場したペルシャの天文学者アブ・アル・ ワファ (10 世紀) とともに登場します。私たちが行うデモンストレーションは、2 点間の距離に基づいており、デカルトの解析幾何学を使用しており、はるかに最近のものです。 プトレマイオスが 1° の弦を計算した方法 正多角形と和、差、半数の公式を使えば、プトレマイオスは $72^\circ$、$60^\circ$、$12^\circ$、$6^\circ$、$3^\circ$、$1\frac{1}{2}^\circ$、$\frac{3}{4}^\circ$ の弦には到達できましたが、$1^\circ$ の弦には到達できません。なぜなら、角度を 3 つの部分に分割することは不可能だからです。定規とコンパス。その結果、不平等が生じました。小さな弓の場合、弦の伸びは弓よりも少し遅くなります。 $$\tfrac{2}{3}\,\text{crd}\,1\tfrac{1}{2}^\circ < \text{crd}\,1^\circ < \tfrac{4}{3}\,\text{crd}\,\tfrac{3}{4}^\circ.$$60 に基づいて計算すると、半径 60 の円内で、2 つの極値はテーブルの精度まで一致します: $1;2,50$、つまり $1 + \frac{2}{60} + \frac{50}{3600} \approx 1{,}04722$。現在の値は $120\operatorname{sen} 0{,}5^\circ \approx 1{,}04718$ です。 クラウディウス プトレマイオス (c. 100 – 170)、後の芸術的表現、天球儀を持つ。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン プトレマイオスの定理: 内接四角形では、対角線の積は反対側の辺の積の和になります。頂点をドラッグします。次に、直径上に $AD$ を置きます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。