通过上一主题的简化，了解第一象限的函数就足够了。最终的对称性（在第一象限的 角平分线 中）进一步减少了工作量：知道从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$（即从 $0^\circ$ 到 $45^\circ$）的弧就足够了。

故事

第一个三角表是弦：喜帕恰斯和托勒密将每张弓的弦制成表格，半度乘半。印度人开始将半弦（正弦）制成表格，阿拉伯天文学家添加了正切和余切，与日晷上阴影的长度相关。在 15 世纪，Regiomontanus 用 7 位数字计算正弦，而在 1596 中，由 Valentin Otho 完成的 Rheticus 的遗作，在 10 角秒内带来了 10 的六个函数，最多具有 10 个数字——这项长达数十年的工作虽然被计算器变得不必要，但却支撑了几个世纪的导航和天文学。这个题目的对称性是组装板的第一招：计算正弦到$45^\circ$，剩下的就免费了。

  1. c. 140 a.C.
    Hiparchus 制造了第一个已知的弦板。
  2. c. 150
    托勒密：半度和弦，底数为 60。
  3. 499
    Aryabhata：24 半弦（正弦），从 $3^\circ 45'$ 到 $3^\circ 45'$。
  4. 世纪。 X
    Abu al-Wafa：从 $15'$ 到 $15'$ 的正弦，有八个位置。
  5. c. 1464
    Regiomontanus：具有 7 位的正弦。
  6. 1596
    Rheticus和Otho：从$10''$到$10''$的六个函数，最多10位。
  7. 1614
    Napier 发布了正弦对数表。
  8. 1972
    袖珍科学计算器使主板退役。

来源： Regiomontanus (MacTutor) · Rheticus (MacTutor)。

在日常生活中

  • **打印表格。**旧的导航表格只有从 $0^\circ$ 到 $45^\circ$ 的角度：对于这些角度，它们是从上到下读取的；对于从 $45^\circ$ 到 $90^\circ$ 的角度，它们是从下到上读取的，名称已更改（正弦 ↔ 余弦）。
  • 墙上的梯子。 如果梯子与地板形成角度 $\alpha$，则它与墙壁形成角度 $90^\circ - \alpha$；到达的高度是$L\operatorname{sen}\alpha = L\cos(90^\circ - \alpha)$。
  • **太阳的高度。**天文学家使用太阳距地平线的高度和到天顶的距离作为其补充；一个的正弦是另一个的余弦。
楼梯与墙壁形成的角度与地板的角度互补：一个角度的正弦是另一个角度的余弦。

理论

从 [π/4, π/2] 减少到 [0, π/4]

给定 $x$ 和 $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$，令 $P$ 为其图像，$P'$ 为第一象限的 $P$ 相对于 角平分线 的对称循环点。逆时针方向，$\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PB} = \frac{\pi}{2}$；如 $\overset{\frown}{PB} = \overset{\frown}{AP'}$，接下来是 $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = \frac{\pi}{2}$，然后是 $\overset{\frown}{AP'} = \frac{\pi}{2} - x$。

拖动$P$：点$P'$相对于第一象限的角平分线对称。一个的正弦是另一个的余弦。

由于三角形 $OPP_2$ 和 $OP'P_1'$ 全等（相对于 角平分线 对称），我们有 $\overline{OP_2} = \overline{OP_1'}$ 和 $\overline{P_2P} = \overline{P_1'P'}$，即：

Propriedade互补弧

$$\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$

因此，

$$\operatorname{tg} x = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \operatorname{cotg} x = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$$$\sec x = \operatorname{cossec}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \operatorname{cossec} x = \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right).$$

这就是为什么余弦、余切和余割被称为余函数：每一个都是补的函数。

Exemplo示例

$$\operatorname{sen} 71^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \cos 19^\circ \qquad \cos 60^\circ = \operatorname{sen}(90^\circ - 60^\circ) = \operatorname{sen} 30^\circ \qquad \operatorname{tg} 50^\circ = \operatorname{cotg} 40^\circ$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{6} \qquad \cos\frac{5\pi}{12} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{12} \qquad \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8} = \operatorname{cotg}\frac{\pi}{8}$$

三角函数值表

借助协函数，从 $0^\circ$ 到 $45^\circ$ 的单个表格可用于 $0^\circ$ 到 $90^\circ$：对于从 $0^\circ$ 到 $45^\circ$ 的角度，使用顶部标题从上到下读取各列；对于 $45^\circ$ 到 $90^\circ$，请使用底部标题从下到上读取。例如，$\operatorname{sen} 60^\circ$位于$30^\circ$行，底部标签为“sine”的列中：$0{,}8660$。

打开电路板（0°至90°）
度 弧度 正弦 切线 余切 余弦 弧度 度
0° 0,0000 0,0000 0,0000 — 1,0000 1,5708 90°
1° 0,0175 0,0175 0,0175 57,290 0,9998 1,5533 89°
2° 0,0349 0,0349 0,0349 28,636 0,9994 1,5359 88°
3° 0,0524 0,0523 0,0524 19,081 0,9986 1,5184 87°
4° 0,0698 0,0698 0,0699 14,301 0,9976 1,5010 86°
5° 0,0873 0,0872 0,0875 11,430 0,9962 1,4835 85°
6° 0,1047 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 1,4661 84°
7° 0,1222 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 1,4486 83°
8° 0,1396 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 1,4312 82°
9° 0,1571 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 1,4137 81°
10° 0,1745 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 1,3963 80°
11° 0,1920 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 1,3788 79°
12° 0,2094 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 1,3614 78°
13° 0,2269 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 1,3439 77°
14° 0,2443 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 1,3265 76°
15° 0,2618 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 1,3090 75°
16° 0,2793 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 1,2915 74°
17° 0,2967 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 1,2741 73°
18° 0,3142 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 1,2566 72°
19° 0,3316 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 1,2392 71°
20° 0,3491 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 1,2217 70°
21° 0,3665 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 1,2043 69°
22° 0,3840 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 1,1868 68°
23° 0,4014 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 1,1694 67°
24° 0,4189 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 1,1519 66°
25° 0,4363 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 1,1345 65°
26° 0,4538 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 1,1170 64°
27° 0,4712 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 1,0996 63°
28° 0,4887 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 1,0821 62°
29° 0,5061 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 1,0647 61°
30° 0,5236 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 1,0472 60°
31° 0,5411 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 1,0297 59°
32° 0,5585 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 1,0123 58°
33° 0,5760 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 0,9948 57°
34° 0,5934 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 0,9774 56°
35° 0,6109 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 0,9599 55°
36° 0,6283 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 0,9425 54°
37° 0,6458 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 0,9250 53°
38° 0,6632 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 0,9076 52°
39° 0,6807 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 0,8901 51°
40° 0,6981 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 0,8727 50°
41° 0,7156 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 0,8552 49°
42° 0,7330 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 0,8378 48°
43° 0,7505 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 0,8203 47°
44° 0,7679 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 0,8029 46°
45° 0,7854 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 0,7854 45°
余弦 余切 切线 正弦 弧度 度

Atenção使用减速板

计算$\cos 2861^\circ$：$2861^\circ - 7 \cdot 360^\circ = 341^\circ$（第四象限）、$\cos 341^\circ = \cos(360^\circ - 341^\circ) = \cos 19^\circ \approx 0{,}9455$。

本节中的练习编号为[章节列表]中的118(/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap04-reducao-ao-primeiro-quadrante/04-exercicios/).