Euler's Eyes
2026-10-26
生活中满分，学校里零分：纸面之外的数学
20 世纪 80 年代初，巴西伯南布哥联邦大学的三位研究者——特雷济尼娅·努内斯·卡拉赫、戴维·卡拉赫和阿纳卢西亚·施利曼——来到累西腓的集市，和卖椰子、玉米和爆米花的 9 到 15 岁的孩子们交谈。他们装成顾客，在买东西时出算术题。之后，他们又带着同样的题目回来，按学校的方式写在纸上。
研究结果于 1985 年以《街头与学校里的数学》（Mathematics in the streets and in schools）为题发表，从此出名。在集市上，孩子们答对了约 98% 的题目。同样的题目写成应用题时，约答对 74%。写成没有情境的竖式计算时，约 37%。作者们后来在巴西出版的书，用书名概括了这一情形：Na vida dez, na escola zero（1988），“生活中满分，学校里零分”。
两种计算方式
变的不是算术，而是记号。在研究记录的一段对话中，一位顾客问四个椰子多少钱，每个 35 克鲁塞罗。男孩回答大致是：“三个是一百零五；再加三十，一百三十五；再加五，一百四十。”他从一个已经背熟的价格（三个椰子）出发，一块一块地加，每一步都知道每个数是什么：钱，椰子。
在纸上，同样的计算变成 $35 \times 4$，按列竖写，还要进位。书面算法之所以强大，恰恰因为它忘掉了意义：它对椰子、米或年同样适用。但意义一忘，学生也就失去了掌控：如果某一位算错了，他不会察觉四个椰子卖 $1400$ 克鲁塞罗是荒谬的。在街头，这种掌控从不丧失。
民族数学
巴西数学家乌比拉坦·丹布罗西奥（1932–2021）从 20 世纪 70 年代起，为研究这些存在于学校之外的数学的领域起了名字：民族数学（etnomatemática），即在每个文化环境（ethno）中解释和应对（mathema）现实的方式（tica）。集市小贩、泥瓦匠、裁缝、渔民、原住民：他们都在计数、度量、比较和计算，用的是自己的记号和程序，而且往往是口头的。
在莫桑比克，数学家保卢斯·格尔德斯研究了 sona，这是安哥拉乔奎人在沙地上画的图案：一条连续的线绕着点阵而行，手指不离开地面。它们背后有一些可以用最大公约数和对称性写出来的规律。民族数学并不是说这些实践是换了衣服的学校数学；它是说，这些是真正的知识，而学校从它们出发而不是无视它们，就会有所收获。
民族数学是由文化群体所实践的数学，例如城市和农村社区、工人群体、职业阶层、某一年龄段的儿童、原住民社会，以及许许多多以共同的目标和传统相认同的其他群体。
— 乌比拉坦·丹布罗西奥《民族数学：传统与现代之间的纽带》（2001）
桥梁
对记号而言，这个教训是双重的。学校的书写并不是数学思维的唯一方式，在纸上失败的学生在生活中可能是熟练的计算者。但学校的书写提供了口头计算所没有的东西：一般性、记录，以及检验和传承的可能。好的教学在两者之间架起桥梁：从“三个是一百零五”出发，说明 $4 \times 35 = 3 \times 35 + 35$ 是同一件事的另一种写法。
练习：十个椰子
按小贩的方式，从“三个 105”出发，算出十个椰子的价钱，每个 35 克鲁塞罗。
三个 $105$；六个 $210$；九个 $315$；再加一个，$350$。在学校的书写中，$10 \times 35 = 350$ 来自一条规则（添一个零）。小贩的路更长，但每一步都是一个真实的价格，他会立刻知道 $3500$ 是错的。
练习：找零
一位顾客买了三份 1.50 的爆米花，付了一张 10 元的钞票。用两种方式算找零：“街头的方式”往上补，以及竖式计算。
街头的方式：三份爆米花，$4.50$；从 $4.50$ 到 $5$，差 $0.50$；从 $5$ 到 $10$，再差 $5$；找零 $5.50$。竖式计算：$3 \times 1.50 = 4.50$，$10.00 - 4.50 = 5.50$。第一种方法从价格往上加到所付的钱数，是收银机出现之前收银员的做法，它避免了需要借位的减法。