ある記法は、すべての数学者に同じように属しているわけではない。分野ごとに、ときには学派ごとに近道があり、外から来た人はそこでつまずく。これは欠陥ではない。生きた言語ならどれでもそうであるように、なまりや専門用語に分かれていくのである。だが、それは読み手や学ぶ人に影響を与える。 アインシュタインは和の記号を消す 1916 年、一般相対性理論を発表した論文で、アルベルト・アインシュタインは次のような式を何百も書かなければならなかった。 $$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$彼は、自分の式では、添字が下と上に一度ずつ、二度くり返されるとかならず和が現れることに気づいた。そこで読み手と取り決めをした。添字が二度現れたら和をとることにし、$\Sigma$ は書かなくてよい、と。上の式は $a_\mu b^\mu$ とだけ書かれる。 1921 年、ウィーンで講演するアルベルト・アインシュタイン。フェルディナント・シュムッツァー画。Ferdinand Schmutzer · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン アインシュタインは友人に冗談を言ったと伝えられている。「数学で大発見をした。二度現れる添字について和をとるときは、いつも和の記号を省くことにしたのだ。」冗談には真剣な中身がある。アインシュタインの規約は、いまでは相対性理論と微分幾何学の共通語である。物理学者は $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ を読むとき、そこに十六項の二重和が隠れているとは考えもしない。ほかの分野の学生には、二つの文字が見えるだけで、和はまったく見えない。 ブルバキの記号 1935 年から数学の基礎を書き直したフランスの集団数学者ニコラ・ブルバキのグループは、いまでは普遍的に見える跡を記法に残した。空集合の記号 $\varnothing$ は、ノルウェー語のアルファベットの文字 Ø を知っていたアンドレ・ヴェイユが、1939 年の『数学原論』第一巻のために選んだものである。そしてブルバキの本の余白には、交通標識の危険なカーブ ☡ があり、その部分には特別な注意がいることを読み手に知らせている。 ひとつの文字、いくつもの部族 $i$ か $j$ か。 数学者にとって $\sqrt{-1}$ は $i$ である。電気技術者にとっては $j$ である。$i$ はもう電流に使われていたからだ。両者は同じものを $3 + 4i$ と $3 + 4j$ と書く。 $\log$。 多くの数学者にとって $\log x$ は底 $e$ の自然対数である。技術者や電卓にとっては底 10、計算機科学者にとっては、ほとんどいつも底 2 である。三つの意味が、同じ年に出版された本の中に共存している。 $\langle \psi |$。 量子物理学者は、ポール・ディラックのかっこ（1939）で状態を書く。ブラ $\langle \phi |$ とケット $| \psi \rangle$ で、合わせてブラケット $\langle \phi | \psi \rangle$ になる。この記法は英語のかっこ（bracket）をもじったしゃれであり、同時に、ある種の計算をほとんどひとりでに書かせてしまう。 合言葉と境界 共同体の記法は、すでに中にいる人のインクを節約し、外にいる人に通行料を払わせる。それは合言葉である。和の記号なしに $a_\mu b^\mu$ と書く人は、自分が部族の一員であることを示す。よい啓蒙書やよい先生は逆の道をたどる。部族が言わずにすませていることを、少なくとも一度はすべて書き出すのである。