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アルベルト・アインシュタインの生涯

年表 18793 月 14 日、南ドイツのウルムに生まれる。一家はまもなくミュンヘンに移る。 189112 歳でユークリッド幾何学の本をもらい、のちに「聖なる小冊子」と呼ぶ。 1895数学と物理学は高得点だったが、チューリッヒ工科大学の入学試験に落ちる。 1900チューリッヒで卒業。二年間、定職がない。 1902ベルンの特許局で「三級技術専門職」として働きはじめる。 1905奇跡の年。物理学を変える四つの論文と博士論文。 1909特許局を辞め、チューリッヒで教授になる。 1914プロイセン科学アカデミーの会員としてベルリンに移る。 1915一般相対性理論の方程式を発表する。 19195 月 29 日の日食がソブラルとプリンシペ島で観測され、理論が確かめられる。アインシュタインは世界的に有名になる。 1922光電効果により、1921 年のノーベル物理学賞が発表される。 19255 月 4 日から 12 日まで、リオデジャネイロを訪れる。 1933ナチスが政権をとり、ドイツを去る。アメリカのプリンストンに落ちつく。 1939原子爆弾の可能性についてローズヴェルト大統領への手紙に署名する。 19554 月 18 日、プリンストンで亡くなる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1879 ウルム3 月 14 日に生まれる。一家はまもなく引っ越す。 1880–1894 ミュンヘン幾何学の「聖なる小冊子」を手にし、暗記ばかりの学校を嫌う。 1894–1895 イタリア15 歳で学校をやめ、イタリアに移った家族のもとへ行く。 1895–1896 アーラウチューリッヒの試験に落ち、より自由なスイスの学校で中等教育を終える。 1896–1902 チューリッヒ工科大学で学び、1900 年に卒業する。その後二年間、定職がない。 1902–1909 ベルン特許局の三級技術専門職。1905 年、奇跡の年に物理学を変える四本の論文を書く。 1911–1912 プラハ二度のチューリッヒ時代のあいだに、プラハ大学の教授をつとめる。 1914–1932 ベルリンプロイセン科学アカデミーの会員。一般相対性理論（1915）を発表し、1919 年の日食のあと世界的に有名になる。 1925 リオデジャネイロ5 月 4 日から 12 日までの八日間をリオで過ごし、植物園に魅了される。 1933–1955 プリンストンナチスが政権をとるとドイツを去る。1955 年に亡くなるまで高等研究所で働く。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ウルムからプリンストンへ。リオデジャネイロにも立ち寄って。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 14, 2026 読んだ
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ジェームズ・クラーク・マクスウェルの生涯

年表 18316 月 13 日、スコットランドのエディンバラに生まれる。子ども時代を一家の領地グレンレアで過ごす。 18398 歳のとき、母ががんで亡くなる。 184614 歳で、卵形の曲線についての論文がエディンバラ王立協会で読まれる。 1850ケンブリッジ大学に入る。 1855色の理論と論文「ファラデーの力線について」を発表する。 185625 歳でアバディーンの教授になる。 1859アダムズ賞を受けた土星の環についての論文を出版する。分子の速さの分布を発表する。 1860二つのカレッジの合併で職を失う。ロンドンのキングズ・カレッジに移る。 1861王立研究所で最初のカラー写真を見せる。 1862電磁波が光の速さで進むことを計算する。 1865「電磁場の動力学的理論」を発表し、グレンレアに戻る。 1871ケンブリッジで最初のキャヴェンディッシュ実験物理学教授になる。 1873『電気磁気論』を出版する。 187911 月 5 日、48 歳でケンブリッジに没する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1831 エディンバラ6 月 13 日に生まれる。のちにエディンバラのアカデミーと大学で学び、14 歳で卵形線の論文がエディンバラ王立協会で読まれる。 1831–1841 グレンレア家族の領地で「それはどういうしかけ？」と尋ねながら子ども時代を過ごす。八歳で母を亡くす。 1850–1856 ケンブリッジトリニティ・カレッジで学ぶ。色の理論と、ファラデーの力線についての論文を発表する。 1856–1860 アバディーン25 歳で教授になる。土星の環の論文でアダムズ賞を得るが、大学の合併で職を失う。 1860–1865 ロンドンキングス・カレッジで最初のカラー写真を見せ、光が電磁波であることを発見する。 1865–1871 グレンレア田舎に戻り、『電気磁気論』を書く。 1871–1879 ケンブリッジ初代キャヴェンディッシュ教授としてキャヴェンディッシュ研究所を創設する。1879 年、48 歳で亡くなる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 スコットランドとイングランドを行き来し、いつもグレンレアに戻ったマクスウェル。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1831 · エディンバラ1831–1841 · グレンレア1850–1856 · ケンブリッジ1856–1860 · アバディーン1860–1865 · ロンドン1865–1871 · グレンレア1871–1879 · ケンブリッジ スコットランドとイングランドを行き来し、いつもグレンレアに戻ったマクスウェル。 「それはどういうしかけ？」 ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、小さな地主の家にエディンバラで生まれ、スコットランド南西部の領地グレンレアで子ども時代を過ごしました。何でもしくみを知りたがる子でした。錠前や鐘や小川を前にすると、スコットランドなまりで “What’s the go o’ that?"、それはどういうしかけ？とたずね、答えに満足しないと、「でも、その ほんとうの しかけは？」 と食いさがりました。

October 14, 2026 読んだ
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ブレーズ・パスカルの生涯

年表 16236 月 19 日、フランスのオーヴェルニュ地方のクレルモンに生まれる。 1626母アントワネット・ベゴンが亡くなる。ブレーズは 3 歳。 1631父エティエンヌ・パスカルが三人の子どもを連れてパリへ移る。 163512 歳で、三角形の内角の和が二直角に等しいことを独力で再発見する。 164016 歳で『円錐曲線試論』を発表。六角形の定理が含まれていた。 1642ルーアンで徴税官をしていた父を助けるため、計算機の製作を始める。 1647『真空に関する新実験』を発表。デカルトが訪ねてくる。 1648義兄フロラン・ペリエがピュイ・ド・ドームに登り、空気の重さを測る。 1654賭けの問題についてフェルマーと手紙を交わし、『算術三角形論』を書く。11 月 23 日に「火の夜」を体験する。 1656偽名で『プロヴァンシアル』の刊行を始める。 1658サイクロイドの問題を解き、それについての懸賞を出す。 1662パリで乗合馬車の路線を開く。8 月 19 日、39 歳で亡くなる。 1670友人たちが、彼のメモをまとめた『パンセ』を出版する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1623–1631 クレルモンオーヴェルニュのクレルモンに生まれる。三歳で母を亡くす。 1631–1639 パリ父が家で教育し、メルセンヌの集まりに連れて行く。16 歳で『円錐曲線試論』を書く。 1640–1647 ルーアン父はノルマンディーの徴税官。父を助けるためにブレーズはパスカリーヌを作り、真空の実験を行う。 1648 ピュイ・ド・ドームパスカルに頼まれ、義兄フロラン・ペリエが気圧計を持って山に登り、山頂では空気が軽いことを示す。 1647–1662 パリ賭けについてのフェルマーとの往復書簡、火の夜、『プロヴァンシアル』、サイクロイド、乗合馬車。1662 年、39 歳で亡くなる。 1655 ポール・ロワイヤル・デ・シャン火の夜のあと、妹ジャクリーヌのいる修道院にたびたび滞在し、イエズス会に対してポール・ロワイヤルを擁護する。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1623–1631 · クレルモン1631–1639 · パリ1640–1647 · ルーアン1648 · ピュイ・ド・ドーム1647–1662 · パリ1655 · ポール・ロワイヤル・デ・シャン クレルモン、パリ、ルーアンを行き来したパスカルと、空気の重さを量った山。 ブレーズ・パスカルの肖像。作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ所蔵。彼の死後に描かれた複製です。作者不詳 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 幾何学の本を隠した父 ブレーズ・パスカルは 1623 年、フランス中部のクレルモンで生まれました。3 歳のときに母が亡くなり、数学好きの裁判官だった父エティエンヌは、ジルベルト、ブレーズ、ジャクリーヌの三人の子どもを自分で教育することにしました。1631 年、一家はパリに移ります。

October 11, 2026 読んだ
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アイザック・ニュートンの生涯

年表 16431 月 4 日、イングランドのウールスソープに生まれる。当時のイギリスの記録では 1642 年 12 月 25 日。 1661貧しい学生としてケンブリッジ大学トリニティ・カレッジに入学。 1665–1667ペストで大学が閉鎖され、故郷に戻る。級数、流率、色の理論、重力についての最初の着想を得る。 166926 歳で、アイザック・バローの後任としてルーカス教授職に就く。 1672反射望遠鏡を披露し、光と色の理論を発表。 1687『プリンキピア』を出版。印刷費はエドモンド・ハレーが自腹で負担。 1696ロンドンの王立造幣局に移り、まず監事、1699 年に長官となる。 1703王立協会の会長に就任。 1704『光学』を出版。 17273 月 31 日、ロンドンで死去。ウェストミンスター寺院に葬られる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1643–1661 ウールスソープ農場で、農夫の死後に生まれた子として誕生する。近くのグランサムの学校に通う。 1661–1665 ケンブリッジ同級生の世話をして学費をまかなう貧しい学生として、トリニティ・カレッジに入る。 1665–1667 ウールスソープペストで大学が閉鎖され、帰郷する。級数、流率、色の理論、重力についての最初の考えを生み出す。 1667–1696 ケンブリッジルーカス教授職につき、反射望遠鏡を作り、『プリンキピア』（1687）を書く。 1696–1727 ロンドンロンドン塔の造幣局を率い、王立協会の会長をつとめる。1727 年に亡くなり、ウェストミンスター寺院に葬られる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ウールスソープからケンブリッジ、ロンドンへ。ニュートンの三つの場所。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1643–1661 · ウールスソープ1661–1665 · ケンブリッジ1665–1667 · ウールスソープ1667–1696 · ケンブリッジ1696–1727 · ロンドン ウールスソープからケンブリッジ、ロンドンへ。ニュートンの三つの場所。 1642 年生まれ？ 1643 年生まれ？ どちらも正しいのです。1642 年のイギリスはまだユリウス暦を使っており、ヨーロッパの多くの地域で採用されていたグレゴリオ暦より 10 日遅れていました。イギリスの暦ではニュートンは 1642 年のクリスマスに、私たちの暦では 1643 年 1 月 4 日に生まれたことになります。

October 11, 2026 読んだ
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光電効果：光はかたまりでやってくる

それは放射と光のエネルギー的性質を扱っていて、とても革命的です。 — アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙（1905 年 5 月） 1905 年 5 月、アインシュタインは友人コンラート・ハビヒトに手紙を書き、四つの論文を予告しました。四つのうち彼が革命的と呼んだのはひとつだけで、それは相対性理論ではなく、3 月に『物理学年報』に送った光の論文でした。アインシュタインがノーベル賞を受けたのは、この論文によってです。 光と金属のなぞ 十九世紀の終わり、物理学者たちは光が電磁波であることを知っていました。また、光がある種の金属に当たると、表面から電子をたたき出すことも知っていました。これが 光電効果 で、1902 年にフィリップ・レーナルトがくわしく調べました。ところがこの効果には、波の理論では説明できない三つの特徴がありました。 色が大事で、明るさは関係ない。 紫外線は亜鉛から電子をたたき出すが、赤い光はどれほど強くてもひとつも出さない。 電子一つひとつのエネルギーは色だけで決まる。 強い光は より多くの 電子をたたき出すが、どの電子も同じ最大エネルギーで飛び出す。 待ち時間がない。 ごく弱い光でも、最初の電子はすぐに飛び出す。 波では、エネルギーは波面になめらかに広がります。強い波なら、色に関係なく電子を激しくゆさぶるはずですし、弱い波なら十分なエネルギーをためるのに時間がかかるはずです。そのどれも起こりませんでした。 エネルギーのかたまり 1900 年、マックス・プランクは、熱い物体が出す光の正しい式を、自分でもあやしいと思っていた数学的なこつで見つけていました。エネルギーは 量子 という単位でやりとりされ、ひとつの量子のエネルギーは $$E=hf$$だと仮定したのです。$f$ は光の振動数、$h\approx6.626\times10^{-34}$ J·s は プランク定数 です。プランクにとって、それは計算上の工夫にすぎませんでした。 アインシュタインはこの考えを本気で受けとりました。光そのものが、エネルギー $hf$ のかたまりでできている。のちにそれは 光子 と呼ばれます。これで三つのなぞが一度に解けます。電子は光子を ひとつ 吸収するとたたき出されます。金属から出るには、仕事関数 と呼ばれる金属ごとに決まった最小のエネルギー $\phi$ を使います。残りが運動のエネルギーになります。 $$\boxed{K_{\max}=hf-\phi.}$$ $hf<\phi$ なら、光子一つでは電子をたたき出すエネルギーが足りず、光子を増やしてもむだです。振動数の低い赤い光ではだめなのです。 電子一つひとつのエネルギーは $f$、つまり色で決まります。強さが変えるのは光子の 数 であり、したがって電子の数です。 光子一つで足りるので、待ち時間はありません。 電子ボルトで計算する 原子にとって、ジュールは大きすぎる単位です。そこで 電子ボルト（eV）を使います。電子が 1 ボルトの電圧を通りぬけるときに得るエネルギーで、$1\ \text{eV}\approx1.602\times10^{-19}$ J です。振動数を波長 $\lambda$ で $f=c/\lambda$ と書くと、便利な目安があります。 $$E=\frac{hc}{\lambda}\approx\frac{1240\ \text{eV·nm}}{\lambda}.$$$\phi=2.0$ eV の金属では、$\lambda=400$ nm の紫の光の光子は $\frac{1240}{400}=3.1$ eV で、電子は最大 $3.1-2.0=1.1$ eV で飛び出します。$700$ nm の赤い光の光子は $\frac{1240}{700}\approx1.77$ eV で 2.0 eV に届かず、投光器を使っても電子はひとつも出ません。

October 14, 2026 読んだ
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色：こまとタータンのリボン

したがって、色の科学は本質的に心の科学とみなされなければならない。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル「色の実験」（1855） ニュートン以来、白い光が虹のすべての色の混ざったものであることは知られていました。けれども私たちが 見る 色は別のものです。それは目と脳によって決まります。イギリスの医師トマス・ヤングは 1802 年に、目には 三種類 の感覚器しかなく、私たちが感じる色はすべてその三つの反応の組みあわせだと唱えました。証拠のない大胆な仮説でした。24 歳のマクスウェルは、それを数学に変えたのです。 色のこま マクスウェルは、色紙の円盤をたがいに差しこんだこまを使いました。赤をいくら、緑をいくら、青をいくら、というように、それぞれの色の見える割合を調節できるのです。こまが速く回ると、目は扇形を区別できず、ひとつの色、つまり混ぜた色を見ます。中央では、別の色の小さな円盤もいっしょに回っていました。 割合を調節しながら、マクスウェルは外側の輪と内側の円盤が 同じに 見える組みあわせを探しました。たとえば、ある割合の赤、緑、青は、白と黒を混ぜたのと同じ灰色になります。扇形の角度を記録して、彼は代数の方程式のような 色の方程式 を得ました。 $$0.37\,\text{赤}+0.27\,\text{緑}+0.36\,\text{青}=0.28\,\text{白}+0.72\,\text{黒}.$$この例の数は説明のためのものですが、形はマクスウェルの表のとおりです。大きな発見は、こうした方程式が代数の方程式と同じようにふるまうことでした。足したり、数をかけたり、組みあわせたりでき、その予測は目に見えるものと一致したのです。 色はベクトルである つまり、色のついた光は 三つの数、足しあわせるとその光をまねられる三つの原色の光の量で表せる、ということです。 $$\mathbf C=(R,G,B).$$二つの光を重ねることは、ベクトルを成分ごとに足すことです。赤と緑なら、 $$(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)$$で、混ぜたもののなかに黄色の光はないのに、目には 黄色 に見えます。赤と緑と青、$(1,1,1)$ は白になります。明るさを二倍にするのは、ベクトルに 2 をかけることです。マクスウェルはこうした色を、頂点に三つの原色を置いた三角形に描きました。三角形の各点はひとつの混色で、虹の純粋な色はそのまわりの曲線上に並びます。これが、今日ディスプレイやカメラの調整に使われる色度図の先祖です。 その背景には、網膜にある三種類の錐体がそれぞれ広い範囲の波長に反応することがあります。スペクトル $I(\lambda)$ の光に対する錐体 $i$ の反応は $$C_i=\int I(\lambda)\,s_i(\lambda)\,d\lambda$$で、$s_i(\lambda)$ はその錐体の感度です。無数の振動数を含むどんな光も、脳に届くときには三つの数にまとめられてしまいます。まったくちがうスペクトルをもつ二つの光が、同じ三つの数を与えて まったく同じ に見えることがあります。こうした光を メタメリズム（条件等色）の関係にあるといいます。三種類の画素しかない画面がほとんどすべての色を表示できるのは、そのおかげです。 最初のカラー写真。1861 年 5 月 17 日にマクスウェルが見せたタータンのリボン。赤、緑、青のフィルターを通して撮った三枚の白黒写真を投影して重ねたもの。ジェームズ・クラーク・マクスウェル、トマス・サットン、1861 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 最初のカラー写真 三つの数で足りるなら、三枚の写真でも足りるはずです。1861 年 5 月 17 日、ロンドンの王立研究所での講演で、マクスウェルはこの考えを示しました。写真家トマス・サットンが、スコットランドの格子柄の布、タータンのリボンを、赤、緑、青のフィルターを一枚ずつ通して三回撮影していました。三枚の白黒の乾板が、それぞれ対応するフィルターをつけた三台の幻灯機で幕に映され、重ねられました。聴衆は色のついたリボンを見たのです。 これが歴史上最初のカラー写真で、その原理は、赤、緑、青のフィルターをつけたセンサーをもつ今日のデジタルカメラと同じです。 フィルムに見えなかった赤 百年後の 1961 年、コダックの科学者たちがこの実験をくり返そうとして、なぞにぶつかりました。1861 年の写真乾板は 赤い光に感じなかった のです。それなのに、なぜマクスウェルの写真に赤が出たのでしょう。答えはこうです。リボンの赤い布は紫外線も反射しており、赤いフィルターがそれを通し、乾板がそれを記録したのです。運よく、紫外線が赤の役を演じてくれたわけです。

October 14, 2026 読んだ
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パスカルの三角形：足し算で組み立てる

$1$ を一つ書きます。その下に $1$ を二つ。そこから先は、どの行も $1$ で始まり $1$ で終わり、あいだの数はそれぞれすぐ上にある二つの数の和です。 $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$これだけです。子どもが一分で覚えられる規則から、数学で最も豊かな表の一つが生まれます。今日これはパスカルの三角形と呼ばれていますが、パスカルはこれを見つけた最後の一人のようなものでした。 持ち主がたくさんいる三角形 インドでは紀元前 2 世紀ごろ、詩人ピンガラが詩の一行で長い音節と短い音節を組み合わせる方法の数を数え、同じ数にたどり着きました。10 世紀には注釈者ハラーユダがこの表を描き、メール・プラスターラ、「メール山の階段」と呼びました。 バグダードでは西暦 1000 年ごろ、カラジーがこの三角形を使って $(a+b)^5$ のような累乗を展開しました。彼の本は失われましたが、一世紀半後の 1150 年ごろ、サマウアルが表と推論を書き写し、カラジーの功績だと記しました。ペルシアでは、この三角形は詩人で数学者のウマル・ハイヤームとも結びつけられています。 中国では、賈憲が 1050 年ごろ、これを開平・開立に使っていました。楊輝が 1261 年に書物に載せ、朱世傑は 1303 年の『四元玉鑑』に算木で数を記した図を描きました。 朱世傑の 1303 年の書物にある三角形。中国では楊輝の三角形と呼ばれます。朱世傑『四元玉鑑』（1303） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ヨーロッパでは、1527 年にペトルス・アピアヌスの算術書の表紙に印刷されたのが最初です。その後、1544 年にミヒャエル・シュティーフェル、1556 年にニコロ・タルタリアが使いました。今でもイタリアではタルタリアの三角形、イランではハイヤームの三角形、中国では楊輝の三角形と呼ばれています。 パスカルの論文 1654 年、フェルマーと賭けについて議論していたころ、パスカルは『算術三角形論』を書きました。フランス語版とラテン語版があり、次のように始まります。 算術三角形は次のように作る。任意の点 Z から、互いに垂直な二本の直線 ZL と ZT を引き、それぞれの上に好きなだけ等しい部分を印す。 — ブレーズ・パスカル『算術三角形』（1654） 論文のラテン語版の最初のページ。知られている唯一の一冊で、パスカルの故郷クレルモン＝フェランに保管されています。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 パスカルの三角形は、実は階段の形をしたマス目の表でした。彼は一つひとつのマスをセル、行を平行列、列を垂直列、斜めの並びを底と呼びました。各セルは、上のセルと左のセルの和になっています。今日私たちが使う規則と同じで、ただ向きが回っているだけです。

October 11, 2026 読んだ
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ブラウン運動：原子を数える

ここで論じた運動が実際に観察できるなら、古典熱力学は顕微鏡で見分けられる空間についてはもはや厳密に成り立つとはみなせず、原子の実際の大きさを正確に決めることが可能になる。 — アルベルト・アインシュタイン『物理学年報』（1905 年 5 月） 1905 年になっても、多くの物理学者や化学者は原子が存在するのかを疑っていました。化学はこの仮説のもとでとてもうまくいっていましたが、原子を見た人はいませんでした。オーストリアの物理学者エルンスト・マッハやドイツの化学者ヴィルヘルム・オストヴァルトのような重要な科学者たちは、原子は計算に便利な言い方にすぎないと考えていました。アインシュタインはそれを見る方法を、いや、ほとんど見る方法を見つけました。顕微鏡で見えるほど大きなものへの、原子の影響を通して見るのです。 止まらない花粉 1827 年、スコットランドの植物学者ロバート・ブラウンは、ある植物の花粉から出た小さな粒が水に浮いているのを顕微鏡で観察しました。粒は止まることなく、あてもなくジグザグに動いていました。ブラウンははじめ生命のしわざだと思いましたが、ガラスや石の粉でも同じことが起こりました。どちらも生きているはずがありません。動きは決してやみませんでした。だれにも説明できませんでした。 アインシュタインは説明を示しました。粒は四方八方から、たえず水の分子にぶつかられているのです。衝突は一秒に何兆回もあって、ほとんどつりあっています。けれども完全にではありません。ある瞬間、たまたま片側からの衝突が多くなると、粒は小さく跳びます。見えない群衆に押しまわされるビーチボールのようなものです。 ランダムウォーク 話を単純にしましょう。粒が時間 $\delta t$ ごとに、右か左に大きさ $a$ の一歩を進むとします。どちらに進む確率も半分で、一歩一歩はそれまでの歩みと無関係です。$N$ 歩のあとの位置は和 $$x_N=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_N,\qquad \xi_i=\pm a$$です。平均すると、粒はどこにも行きません。右への歩みと左への歩みが打ち消しあい、$\langle x_N\rangle=0$ です。でも、それは粒が止まっているという意味ではありません！正しい問いは、粒がふつう どれくらい遠く まで行くかであり、そのためには位置の二乗を見ます。 $$x_N^2=\sum_i\xi_i^2+\sum_{i\neq j}\xi_i\xi_j.$$$\xi_i^2$ はどれも $a^2$ です。ちがう歩みの積 $\xi_i\xi_j$ は同じ確率で $+a^2$ か $-a^2$ なので、平均は 0 です。残るのは $$\langle x_N^2\rangle=Na^2.$$典型的な距離、つまりこの値の平方根は $a\sqrt N$ です。100 歩のあと、粒はふつう出発点から 10 歩のところに、10 000 歩のあとは 100 歩のところにいます。$N=t/\delta t$ と書き、$D=\frac{a^2}{2\,\delta t}$ を 拡散係数 と呼ぶと、 $$\boxed{\langle x^2\rangle=2Dt.}$$距離は 時間の平方根 で増えます。二倍遠くまで行くには、四倍待たなければなりません。かきまぜない紅茶では、角砂糖が全体を甘くするのにとても時間がかかるのはこのためです。 平面上のランダムウォーク。大きさ 1 の歩みを、でたらめな方向に 2 000 歩。これだけ歩いても、粒子は出発点から約 45 歩、2 000 の平方根ほどしか離れていない。Euler’s Eyes 作図 アインシュタインの式 アインシュタインの決定的な一歩は、顕微鏡で測れる $D$ を、液体と分子の性質に結びつけたことでした。粘性 $\eta$、絶対温度 $T$ の液体のなかの半径 $r$ の球について、彼は

October 14, 2026 読んだ
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土星の環は固体ではありえない

したがって、存在しうる唯一の環の系は、たがいにつながっていない無数の粒子からなり、それぞれの距離に応じた異なる速さで惑星のまわりを回るものである。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル『土星の環の運動の安定性について』（1859） 1610 年、ガリレオは望遠鏡で土星を見て、この惑星には「耳」があると思いました。1655 年、ホイヘンスはそれが惑星にふれない薄く平らな環であることに気づきました。それから二百年たっても、環が 何で できているのかはわかりませんでした。レコード盤のような固い円盤なのか。液体なのか。石の雲なのか。 1855 年、ケンブリッジ大学はこの問いを アダムズ賞 の題にしました。海王星の存在を予言した天文学者ジョン・クーチ・アダムズをたたえてつくられた賞です。応募者は、どんな環なら安定していられるかを明らかにしなければなりませんでした。当時 24 歳のマクスウェルはこの問いに二年を費やしました。応募したのは彼ひとりでした。 環の上のケプラー 円軌道を回るどんな物体についてもわかっていることから始めましょう。質量 $M$ の惑星の重力が向心力になります。 $$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$遠いほど遅いのです。これはケプラーの第三法則で、惑星は太陽のまわりでこれにしたがっています。土星では $GM\approx3.79\times10^{16}$ m³/s² です。主な環は、惑星の中心から約 74 600 km から約 136 800 km まで広がっています。すると、 土星の中心からの距離 軌道速度 一周の時間 74 600 km（内側のふち） 22.5 km/s 5.8 時間 92 000 km 20.3 km/s 7.9 時間 117 600 km 18.0 km/s 11.4 時間 136 800 km（外側のふち） 16.7 km/s 14.3 時間 内側のふちは 6 時間たらずで一周し、外側のふちは 14 時間以上かかります。 固体の環ではだめな理由 かたい円盤では、どの点も同じ時間で一周します。円盤は車輪のように全体で回るのです。だから各点の速さは距離とともに 大きくなり、$v=\omega r$ となります。ところが重力は速さが 小さくなる こと、$v=\sqrt{GM/r}$ を求めます。すべての点で両方を同時に満たす方法はありません。

October 14, 2026 読んだ
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組合せ：書き出さずに数える

ブラジルの宝くじ「メガセナ」では、60 個の数から 6 個を選びます。異なる選び方は何通りあるでしょうか。全部書き出していたら一生かかります。五千万通り以上あるのです。でも書き出さずに数えることはできますし、パスカルがその方法を示しました。 順番を気にせずに選ぶ 小さな例から始めましょう。5 人のグループから委員を 2 人選ぶ方法は何通りでしょうか。 順番が問題になるなら、1 人目は $5$ 通り、2 人目は $4$ 通りで、$5\cdot4=20$ 通りです。でも委員会では「アナとブルーノ」も「ブルーノとアナ」も同じなので、どの組も二回ずつ数えられています。委員会は $20/2=10$ 通りです。 一般に、$n$ 個のものから順番を気にせず $k$ 個を選ぶ方法の数は $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$です。ここで $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$ です。「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数」と読みます。委員会の場合は $\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$ です。 なぜ三角形の数になるのか パスカルは、$\binom nk$ がちょうど算術三角形の数 $C(n,k)$ であることに気づきました。理由は同じ足し算の規則です。 グループの中から一人、たとえばアナを選んでおきます。$n$ 人から選んだ $k$ 人の委員会は、アナを含むか、含まないかのどちらかです。含むなら、残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選べばよく、含まないなら、$k$ 人全員が残りの $n-1$ 人から選ばれます。したがって $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$これはまさに三角形の規則です。どちらも端は同じ $1$ で始まり、同じ規則に従うので、同じ表になります。 メガセナ これで大きな計算も簡単です。 $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$一口の当選確率は五千万分の一あまりです。毎週一口ずつ買っても、当たるまでに平均で百万年近く待つことになります。 和の累乗 同じ考え方で、三角形のもう一つの登場の仕方も説明できます。 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$を展開すると、結果の各項は、三つのかっこのそれぞれから $a$ か $b$ を一つずつ選んでできます。$a^2b$ を得るには、三つのうちちょうど一つのかっこで $b$ を選べばよく、その選び方は $\binom31=3$ 通りです。だから $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$となり、一般には $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$です。$a=b=1$ とすると左辺は $2^n$ になり、またしても $n$ 行目の和です。この公式は指数が整数のときに成り立ちます。十年後、ニュートンは指数が分数のときどうなるかを発見しました。一般化された二項式を見てください。

October 11, 2026 読んだ
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分子の速さ：マクスウェル分布

最近、力学の練習として、完全弾性球の運動と衝突についてのいくつかの問題に取り組んでいます。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ジョージ・ストークス宛の手紙（1859 年 5 月 30 日） 1 リットルの空気には約 $2.5\times10^{22}$ 個の分子があり、どれも動きまわり、一秒に何十億回も衝突しています。一つひとつを追いかけるのは不可能です。1859 年、マクスウェルは物理学を変える考えを思いつきました。それぞれの 分子が何をしているかではなく、それぞれの速さをもつ分子が どれだけの割合 いるかを問うのです。物理法則に確率が使われたのは、これが初めてでした。彼は 1859 年にアバディーンでの学会でこの結果を発表し、1860 年に出版しました。 対称性の議論 マクスウェルの推論は短く巧妙です。分子の速度の $x$ 成分の確率密度を $p(v_x)$ とし、$y$ と $z$ についても同じとします。彼は二つのことを仮定しました。 三つの成分は独立である。 $v_x$ がわかっても $v_y$ については何もわからない。したがって同時密度は積 $p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)$ になる。 特別な方向はない。 同時密度は速度の大きさ $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$ だけで決まり、向きにはよらない。 二つをあわせると、次のような関数が必要になります。 $$p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)=\Phi(v_x^2+v_y^2+v_z^2).$$積が 和 の関数になる。これは指数関数の性質、$e^ae^be^c=e^{a+b+c}$ です。妥当な解はただひとつ、 $$p(v_x)=A\,e^{-\beta v_x^2}$$で、これは 釣鐘形の曲線、ガウスの正規曲線です。定数 $\beta$ は温度と分子の質量で決まり、今日では $\beta=\frac{m}{2k_BT}$ と書きます。$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度です。 速さの分布 釣鐘形の曲線は、正にも負にもなる各成分について成り立ちます。では 速さ、つまり速度の大きさ $v$ はどうでしょう。大きさが $v$ と $v+dv$ のあいだにある速度は、半径 $v$、厚さ $dv$、体積 $4\pi v^2\,dv$ の球殻をつくります。かけあわせると、 $$\boxed{f(v)=4\pi\left(\frac m{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2\,e^{-mv^2/(2k_BT)}.}$$これが マクスウェル分布 です。因子 $v^2$ のために曲線は 0 から始まります。止まっている分子はほとんどありません。指数関数のために曲線はすぐに下がります。とても速い分子もほとんどありません。そのあいだに山があります。

October 14, 2026 読んだ
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特殊相対性理論：光でできた時計

もし私が光の速さ c、真空中の光速で光線を追いかけるなら、その光線は、空間的には振動しているが静止した電磁場として見えるはずだ。しかし、そんなものはないように思われる。 — アルベルト・アインシュタイン『自伝ノート』（1949） 16 歳のとき、アーラウの学校で、アインシュタインは自分に問いかけました。光線と同じ速さでその横を走ったら、何が見えるだろう。ニュートンの物理学によれば、光は止まって見えるはずです。高速道路でとなりを走る車のように。ところが マクスウェル の方程式は、止まった光を許しません。そこでは光はいつも $c\approx300\,000$ km/s で進むのです。どちらかがまちがっている。どちらなのかを見きわめるのに、アインシュタインは十年かかりました。 二つの原理 1905 年 6 月、アインシュタインは論文「運動物体の電気力学について」を『物理学年報』に送りました。彼は二つの仮定から出発しました。 一定の速さで動くすべての観測者にとって、物理法則は同じである。 がたつかずに走る列車のなかでは、なかで行うどんな実験でも、列車が止まっているのか動いているのかはわからない。 真空中の光の速さは、こうしたすべての観測者にとって同じ $c$ である。 光源や観測者がどう動いていても変わらない。 二つ目は無害に見えますが、じつはとんでもないことです。秒速 100 000 km で光線を追いかけても、光線はやはり秒速 300 000 km で遠ざかっていくと測れるのです。それが可能になるには、何かがゆずらなければなりません。アインシュタインは、ゆずるのは 時間 だと示しました。 光時計 距離 $L$ だけ離れた二枚の平行な鏡のあいだを、光のパルスが往復する時計を考えます。一往復が一刻みです。時計のそばにいる人にとって、一刻みは $$\Delta\tau=\frac{2L}{c}$$です。今度は、この時計を速さ $v$ であなたの前を通りすぎる列車に乗せます。ホームにいるあなたから見ると、光はまっすぐ上下するのではありません。光が一方の鏡からもう一方へ進むあいだに列車は前に進むので、光の道すじは斜めになり、長くなります。 ホームから見た光時計。光が下の鏡から上の鏡へ進むあいだに、時計は v Δt/2 進む。光は L より長い斜めの道 c Δt/2 を進む。Euler’s Eyes 作図 あなたが測った一刻みを $\Delta t$ とすると、半刻みのあいだに光は $c\frac{\Delta t}2$ 進み、列車は $v\frac{\Delta t}2$ 進みます。高さは $L$ のままです。ピタゴラスの定理 より、

October 14, 2026 読んだ