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読書: ユークリッドと演繹幾何学

補足資料 補足資料 ユークリッドと演繹幾何学 紀元前 338 年、ギリシャはマケドニアの支配下に入りました。アレキサンダー大王はギリシャ文化を東方に持ち込み、数十の都市を設立しました。そのうちの 1 つ、 エジプトのアレクサンドリア は、数学の歴史において特別な役割を果たすことになります。アレクサンダーの後にエジプトを統治したプトレマイオスは、 国家が管理する研究教育センターである博物館をそこに設立しました。彼の図書館には700千巻近いパピルスがあった。 クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 博物館の最初で最も著名な数学者の一人はユークリッド (紀元前 300 年頃) でしたが、彼の生涯についてはほとんど何も知られていません。プトレマイオスが幾何学を学ぶためのより簡単な方法はないか尋ねたとき、彼は次のように答えたと言われています。「幾何学に本当の方法はない。」 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 彼の名声は、13 冊の本の 原論 にあります。これは、私たちに届くギリシャ数学の最古の完全なテキストです。 1482 で最初の印刷版が発行されて以来、1,000 を超える版が発行されています。 5 つの一般的な概念、5 つの公準、およびいくつかの定義から、ユークリッドは 467 定理を推定しました。 2000 年にわたり、原論 は優れた数学のモデルでした。時間が経つにつれて、論理的な欠陥が発見されましたが（たとえば、明言されていない連続性仮説の使用など）、それらは作品の偉大さと影響力をほとんど損ないません。

October 11, 2026 読んだ
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4 章の演習 — 三角形

演習と解決策 演習 80 — true (V) または false (F) として分類します。 二等辺三角形はすべて等辺です。 正誤 誤り。 二等辺三角形の底辺は他の辺とは異なる場合があります。 正三角形 はすべて二等辺です。 正誤 正しい。 (少なくとも) 2 つの合同な辺があります。 不等辺三角形 は二等辺になります。 正誤 誤り。 不等辺角には合同な 2 つの辺がありません。 すべての 二等辺三角形 は鋭角三角形です。 正誤 誤り。 二等辺長方形と鈍角があります。 すべての直角三角形は 不等辺三角形 です。 正誤 誤り。 二等辺長方形 (45°、45°、90°) は反例です。 直角三角形と二等辺三角形があります。 正誤 正しい。 一致する脚。 二等辺三角形の鈍角があります。 正誤 正しい。 120°、30°、30°などの鈍角の頂角。 すべての鋭角三角形は二等辺または 等辺 のいずれかです。 正誤 誤り。 50°、60°、70°などの不等辺角角があります。 ↻ 最初からやり直す

October 11, 2026 読んだ
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三角形の不等式

どの三角形でも、各辺は他の 2 つの辺の合計より小さくなります。古代人はすでに「ロバでもそれを知っている」と冗談を言いました。 発見者 三角不等式はユークリッドの原論の命題I.20です（紀元前300頃）。最大辺と最大角の関係は命題I.18とI.19にあります。セグメントが 2 点間の最短経路であるという考えは、ずっと前から直感的でした。ユークリデスのメリットは、 過去の結果に基づいてそれを実証したことです。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 プロクロス (西暦 5 世紀) は、エピクロス人は三角不等式を証明したユークリッドを嘲笑したと述べています。ロバですら、干し草に向かうまっすぐな道のほうが、周囲を回るよりも短いことを知っている、と彼らは言いました。プロクロス氏は、事実を認識することと、それがなぜ真実であるかを知ることは同じではないと答えた。このデモンストレーションは、結果が平面の特性に依存するため、地球の表面などの他の幾何学形状では有効ではなくなる可能性があることを示しています。 20 世紀には、三角不等式は数学における「距離」を定義する 3 つの規則の 1 つになりました。それは三角形どころか、分析、統計、コンピューティングにも現れます。 日常生活での応用 草の中の近道。 広場や庭園を通って形成される小道は、実際には対角線が両側よりも短いことを人々が知っていることを示しています。 3 本の棒は三角形を形成しますか? 最大の棒が他の 2 本の合計より小さい場合に限ります。 2 cm、3 cm、6 cm のロッドが閉じません。 配送ルート。 物流アルゴリズムは三角不等式を使用して、決して短くなり得ない逸脱を排除します。 屋根。 ハサミの場合、最も大きな角度の反対側が最も長いビームです。まさに命題 I.18 と I.19 が示し​​ているとおりです。 出典: 要素、命題 I.20 · 要素、命題 I.18 · Proclus (MacTutor)。 理論と作図 定理 · 最大の角度は最大の辺の反対側にあります 三角形の 2 つの辺が合同ではない場合、それらの向かい側の角度も合同ではなく、最大の角度は最大の辺の反対側になります: $BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。 逆数: 最大の角度は最大の辺と対向します: $\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。

October 11, 2026 読んだ
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三角形の合同

2 つの三角形がお互いの「コピー」になるのはどのような場合ですか? 6 つの要素をチェックする必要はなく、適切に選択された 3 つだけで十分です。 発見者 著者名のある最も古い基準は、 アッラー (片側と隣接する 2 つの角)。 プロクロスロードス島のエウデモスを引用して、次のように述べています。 ミレトスのタレス （紀元前 6 世紀）海上の船の距離を計算するために使用されました。事例のデモンストレーション LAL (提案 I.4)、 LLL (I.8) および アッラー (I.26) はあります 要素 の ユークリッド (紀元前300年頃)。 1899年に、 デヴィッド・ヒルベルト LAL の場合を公理として受け入れる必要があることを示しました。 ロードス島のエウデモスの作とされるアテナイの学堂の人物。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン デヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 LAL の場合を証明するために、Euclid は 1 つの三角形を「移動」し、別の三角形の上に置きます、 いわゆる重ね合わせ法です。古代以来、解説者たちは、この運動を承認する公準は存在しないと指摘してきた。多くの人がその証拠を受け入れました。ルネサンス期の数学者ジャック・ ペルティエ (1557) など他の人はこれを批判した。

October 11, 2026 読んだ
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コンセプト、要素、分類

三角形は最も単純で最も便利な多角形です。他の多角形はすべて三角形に分割できます。 発見者 三角形は、エジプトとメソポタミア以来、装飾品、建築物、面積計算に登場します。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) には、すでに三角形の土地の面積に関する問題が提示されています。現在まで使用されている分類はユークリッド (紀元前 300 頃) に基づいています。 原論の定義 I.20 と I.21 では、彼は三角形を辺 — 等辺、二等辺、 不等辺によって、そして角度 — 長方形、鈍角、 鋭角によって分割しています。 ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 名前はギリシャ語で説明的です。二等辺は「等しい脚」を意味し、斜角は「足が不自由」または「不均等」を意味します。 正三角形 には名誉ある地位があります。それは、2 つの円と定規で作られた 原論 (命題 I.1) の最初の構築です。 1570 でヘンリー ビリングスリーによって翻訳された、Elements の最初の英語版のタイトル ページ。この版は、作品のその後の流通を例示しています。ヘンリー・ビリングスリーによる編集。 Charles Thomas-Stanford · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメインで複製。 原論 は 1,000 年以上にわたって手書きでコピーされ、アラビア語、ラテン語、英語に翻訳され、ヴェネツィアで最初に 1482 で印刷されました。これは聖書に次いで、歴史上最も多くの版が発行された本の一つです。 日常生活での応用 トラステ 屋根、金属橋、クレーンなどに三角形が使われるのは、側面を固定しても変形しないためです。 自転車 伝統的なフレームは 2 つの三角形で形成されており、軽量かつ高剛性です。 標識 「道を譲ってください」標識は逆さまの 正三角形 で、車両の安全三角マークは 等辺 です。 3D グラフィックス ゲームやアニメ映画のキャラクターやシナリオは、何千もの三角形のメッシュです。 出典: 要素、定義 I.20 · 要素、命題 I.1 · Euclid (MacTutor)。

October 11, 2026 読んだ