令$f$和$g$为变量$x$的两个三角函数。求解方程$f(x) = g(x)$就是确定数字$r$的集合$S$，其中$f(r) = g(r)$是一个真实的句子。该集合是方程的解集（或真值集）。

故事

三角方程早在三角方程这个名字出现之前就已经出现了：希腊、印度和阿拉伯天文学家需要找到具有给定正弦的弧，以将观测结果转换为天空中的位置。其中最著名的是开普勒方程，发表于Astronomia nova (1609)：

$$M = E - e\operatorname{sen} E,$$

根据经过的时间 ($M$) 和轨道偏心率 $e$ 给出行星在其椭圆轨道上的位置 $E$。这个问题无法用代数运算来解决，开普勒经过多次尝试，向几何学家发起挑战，要求他们找到一种方法。他自己暂时解决了。在 18 世纪欧拉开始将正弦和余弦视为实数的函数之后，用整数 $k$ 将方程的所有解写在一个公式中的想法才变得自然，定义为任何弧 - 正、负或大于一圈。

约翰内斯·开普勒 (1571–1630)。
约翰内斯·开普勒 (1571–1630)。奥古斯特·科勒 · 维基共享资源 · 公共领域
开普勒方程。给定时间 $M$，我们寻找给出行星在椭圆中位置的角度 $E$（绿色）；太阳保持焦点。
  1. Nasce numa família pobre. A varíola, na infância, lhe deixa a vista fraca.
  2. Estuda teologia na universidade, onde o professor Michael Mästlin lhe apresenta, em aulas particulares, a teoria de Copérnico.
  3. Professor de matemática. Publica o Mysterium cosmographicum (1596).
  4. Assistente e depois sucessor de Tycho Brahe. Na Astronomia nova (1609) publica as duas primeiras leis e a equação $M = E - e\operatorname{sen}E$.
  5. Matemático da província. Publica a terceira lei (1619) e defende a mãe, acusada de bruxaria em Leonberg.
  6. Morre durante uma viagem para cobrar salários atrasados.
As cidades de Johannes Kepler. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地图：© OpenStreetMap 贡献者

来源： 开普勒 (MacTutor) · 欧拉 (MacTutor) · L. Euler，无限分析简介 (1748)。

在日常生活中

  • **摩天轮。**在一个中心高度为20米、半径为18米、每10分钟转一圈的摩天轮上，当$20 + 18\operatorname{sen}\theta = 29$，即$\operatorname{sen}\theta = \frac{1}{2}$：在$\frac{1}{12}$和$\frac{5}{12}$时，从中心上升高度开始到达29米的摩天轮。转，在 50 秒和 4 分钟 10 秒。
  • 出口。 电网电压每秒 60 个周期，每秒经过零 120 次 — $\operatorname{sen}(2\pi \cdot 60\,t) = 0$ 的解。
  • **潮汐。**知道潮汐何时达到一定高度就是求解三角方程；海军潮汐表提供了这些计算解决方案。
机舱何时超过所选高度？方程的解是绿点。

理论

基本方程

几乎所有的三角方程，在用前面章节中的关系和公式进行变换后，都可以简化为三个基本方程之一：

$$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta \qquad \cos\alpha = \cos\beta \qquad \operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta.$$

这里$\alpha$和$\beta$是$x$中的表达式（例如$\alpha = 2x$和$\beta = \frac{\pi}{3}$）。具有余切、正割和余割的方程通过反转可简化为：$\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec} a \iff \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} a$，依此类推。

求解 sin α = sin β

如果为 $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta = \overline{OP_1}$，则循环中的 $\alpha$ 和 $\beta$ 的图像位于通过 $P_1$ 的正弦轴垂直线上：或者都在 $P$ 中，或者都在 $P'$ 中，或者这些点中的每一点中都有一个。

Teorema方程 sin α = sin β

$$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi \;\;\text{ou}\;\; \alpha = \pi - \beta + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

即：$\alpha$ 和 $\beta$ 是一致或补充（小于整圈）。

查看演示

(⇐) 如果 $\alpha = \beta + 2k\pi$，则按周期 $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta$。如果 $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$，则 $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}(\pi - \beta) = \operatorname{sen}\beta$（第二象限减少）。

(⇒) 使用乘积变换公式，

$$\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = 0.$$

因此$\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$，即$\frac{\alpha - \beta}{2} = k\pi$和$\alpha = \beta + 2k\pi$；或$\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = 0$，即$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$和$\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$。

Exemplosin x = √2/2

作为$\frac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$：

$$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \;\;\text{ou}\;\; x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi.$$

$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right\}$.

cos α 的分辨率 = cos β

如果$\cos\alpha = \cos\beta = \overline{OP_2}$，$\alpha$和$\beta$的图像在通过$P_2$垂直于余弦轴的线上：在$P$或$P'$中，相对于$u$轴对称。

Teorema方程 cos α = cos β

$$\cos\alpha = \cos\beta \iff \alpha = \pm\beta + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

即：$\alpha$ 和 $\beta$ 是一致或互补 ($\alpha + \beta = 2k\pi$)。

查看演示

(⇐) $\cos(\pm\beta + 2k\pi) = \cos(\pm\beta) = \cos\beta$，因为余弦是偶数且周期性的。

(⇒) $\cos\alpha - \cos\beta = -2\operatorname{sen}\frac{\alpha + \beta}{2}\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$。然后是$\frac{\alpha + \beta}{2} = k\pi$，即$\alpha = -\beta + 2k\pi$；或$\frac{\alpha - \beta}{2} = k\pi$，即$\alpha = \beta + 2k\pi$。

Exemplocos 2x = cos x

$2x = \pm x + 2k\pi$。带有符号$+$：$x = 2k\pi$。带有符号$-$：$3x = 2k\pi$、$x = \frac{2k\pi}{3}$。由于第一个族包含在第二个族中（$k$ 3 的倍数），$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{2k\pi}{3}\right\}$。

tan α 的分辨率 = tan β

如果为$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta = \overline{AT}$，则$\alpha$和$\beta$的图像在直线$OT$上：在$P$处或在直径相对的点$P'$处。

Teorema方程 tg α = tg β

$$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta \iff \alpha = \beta + k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z};\ \alpha, \beta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi)$$

即：$\alpha$和$\beta$一致或补充（它们相差半圈）。

查看演示

(⇐) 切线的周期为 $\pi$。

(⇒) $\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \dfrac{\operatorname{sen}(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = 0 \Rightarrow \operatorname{sen}(\alpha - \beta) = 0 \Rightarrow \alpha - \beta = k\pi$.

Atenção警惕存在

当用正切、余切、正割或余割求解方程时，请检查找到的解是否不会抵消原方程的任何分母。例如，通过将两个成员乘以 $\cos x$，我们可以引入不适合的解决方案 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。

本节中的练习是[章节列表]中的编号193到214（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap07-equacoes/04-exercicios/).