内切多边形和中心半角的正弦

两根辐条之间的绳子

在半径为 $R$ 的圆内接一个边长为 $n\ge3$ 的正多边形。将两个相邻顶点连接到中心 O。所形成的三角形具有等于多边形 $R$ 的两条边和等于多边形边 $\ell$ 的底边。

$n$ 相等的圆心角完成一圈。每个测量值都是 $360°/n$。从 O 处画出这个三角形的高度。为了对称，它将底角和圆心角切成两半。

其中一半出现一个直角三角形。它在 O 处的角度为 $180°/n$，其斜边为 $R$，对边为 $\ell/2$。

我们将锐角的正弦定义为对边与斜边的比值。所以：

$$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$

绝缘边长：

$$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$

在半径为 1 的圆周上，关系简化为 $\sin(180°/n)=\ell/2$。在高中，相同的角度测量将写为 $\pi/n$ 弧度。

正六边形可以按其半径分为六个等边三角形：每个圆心角的尺寸为 $360°/6=60°$。因此，六边形的边长为 $R$。

替换 $n=6$ 和 $\ell=R$：

$$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$

正弦没有单位：它是以同一单位测量的长度之间的比率。半径加倍会使边加倍，但不会改变商。

日常多边形：边长为 8，即 STOP 标志；带有 6，六角螺母。该字符串是$2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$。

1。正内接六边形的半径为 7 厘米。计算它的边长和周长。

检查分辨率 1

侧面尺寸为 7 厘米。周长为 $6\cdot7=42$ 厘米。

2。内切正方形的边长为 $R\sqrt2$。使用和弦关系查找 $\sin45°$。

检查分辨率 2

与$n=4$、$\sin45°=\ell/(2R)=R\sqrt2/(2R)=\sqrt2/2$。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。