圆弧半除法和正切公式

隔离正方形

我们从身份 $\cos2u=1-2\sin^2u$ 和 $\cos2u=2\cos^2u-1$ 开始。制作 $u=x/2$ 并隔离：

$$\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.$$

最后：

$$\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

这些符号不是自由选择的：它们是由图像象限$x/2$决定的。如果 $0

如果 $x=300°$，我们就有 $x/2=150°$。然后：

$$\sin150°=\sqrt{\frac{1-1/2}{2}}=\frac12,$$

$$\cos150°=-\sqrt{\frac{1+1/2}{2}}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

余弦的负号来自第二象限。

使用 $\sin x=2\sin(x/2)\cos(x/2)$ 和 $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$：

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac x2,$$

只要$\cos(x/2)\ne0$。该条件相当于$1+\cos x\ne0$。

另一种方法是：

$$\tan\frac x2=\frac{1-\cos x}{\sin x},$$

但它也需要$\sin x\ne0$。对于$x=0$，第一个表单有效0，第二个表单不存在。这些表达式在公共域中重合，但没有完全相同的域。

平方：

$$\tan^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.$$

如果 $t=\tan(x/2)$ 存在，则先前的身份给出：

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

对于切线，$\tan x=2t/(1-t^2)$ 还需要 $t^2\ne1$。这种代入可以将三角方程转化为代数方程；必须单独检查$t$不存在的点。

斜接：为了形成 $90^\circ$ 角，每块板都以一半角度 $45^\circ$ 切割。

**1。**计算$\cos22{,}5°$。

检查分辨率 1

该角度位于第一象限：$\cos22{,}5°=\sqrt{(1+\sqrt2/2)/2}=\sqrt{2+\sqrt2}/2$。

2。使用 $30°$ 一半的公式计算 $\tan15°$。

检查分辨率 2

$\tan15°=(1/2)/(1+\sqrt3/2)=1/(2+\sqrt3)=2-\sqrt3$.

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。