Euler's Eyes
2026-10-19
基本关系：各个部分组合在一起
在互动书中： 完成第三章，包含所有演示和练习.
两项措施相结合
在第一象限中用坐标 $(3/5,4/5)$ 标记一个点。它的水平和垂直位移形成直角三角形的腿。到中心的距离是1。这是循环中的一个点，因为 $(3/5)^2+(4/5)^2=9/25+16/25=1$。
示范：基本身份
毕达哥拉斯定理指出，在直角三角形中，斜边的平方是直角边的平方和。对于循环中的一点，边的长度为 $|\cos\theta|$ 和 $|\operatorname{sen}\theta|$，斜边的长度为 1。平方消除了符号。因此，在任意象限：
$$\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1.$$书写$\operatorname{sen}^2\theta$表示$(\operatorname{sen}\theta)^2$。在轴点处，等式也直接适用：一个坐标为零，另一个坐标为 1 或 -1。
我们将这种等式称为恒等式：它适用于其域的每个角度。 $\operatorname{sen}\theta=1/2$ 是一个仅适用于某些角度的方程。
两个新身份
如果 $\cos\theta\ne0$，则将每个恒等项除以 $\cos^2\theta$：
$$\frac{\operatorname{sen}^2\theta}{\cos^2\theta}+1 =\frac1{\cos^2\theta}.$$根据定义，$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$。如果 $\operatorname{sen}\theta\ne0$，除以 $\operatorname{sen}^2\theta$ 得到 $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$。
条件遵循公式。分数等式只能在所有分数都存在的情况下使用。
示例：正方形隐藏的标志
我们知道$\operatorname{sen}\theta=3/5$。然后：
$$\cos^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.$$因此，$\cos\theta=4/5$ 或 $-4/5$。如果该点位于第二象限，我们选择 $-4/5$，因为它位于中心左侧。在这种情况下，$\tan\theta=(3/5)/(-4/5)=-3/4$。
如何证明身份
从一侧开始，使用已知的等式，直到到达另一侧。测试一个角度是不够的：关于所有角度的主张需要一般性论证。
例如，对于 $\cos\theta\ne0$：
$$\begin{aligned} (1-\operatorname{sen}\theta)(1+\operatorname{sen}\theta) &=1-\operatorname{sen}^2\theta\\ &=\cos^2\theta. \end{aligned}$$即使余弦为零，所获得的等式也是有效的，因为没有进行除法。如果我们两边除以$\cos^2\theta$得到1，我们现在需要$\cos\theta\ne0$。简化表达式不会返回开始时禁止的点。
错误实验室
有人写为$\operatorname{sen}\theta+\cos\theta=1$，因为平方和是1。尝试$\theta=45°$：总和是$\sqrt2$，与1不同。一个反例就推翻了一个普遍的主张。保持这种差异有助于所有数学。
在日常生活中
- 坡道上的推车。 倾斜坡道 $\alpha$ 上的推车的重量 $P$ 分为 $P\operatorname{sen}\alpha$（使其下降）和 $P\cos\alpha$（将其压在坡道上）；和$(P\operatorname{sen}\alpha)^2 + (P\cos\alpha)^2 = P^2$。
- **屏幕尺寸。**屏幕的宽度和高度是对角线的余弦和正弦，因此为 $\text{largura}^2 + \text{altura}^2 = \text{diagonal}^2$。
- **能源费用。**当“功率因数”$\cos\varphi$ 较低时，行业将支付罚款；相应的正弦留下基本关系。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
1。 如果 $\cos\theta=5/13$ 和 $\theta$ 在第一象限，求正弦值。
参见分辨率 1
$\operatorname{sen}^2\theta=1-25/169=144/169$。因为它是积极的，$\operatorname{sen}\theta=12/13$。
2。 如果 $\tan\theta=2$，$\sec^2\theta$ 值多少钱？
参见分辨率 2
$1+2^2=5$。这确定了割线的平方，但没有确定其符号。
3。 演示 $\operatorname{sen}\theta\,\csc\theta=1$。条件是什么？
参见分辨率 3
根据定义，$\operatorname{sen}\theta\cdot(1/\operatorname{sen}\theta)=1$只要$\operatorname{sen}\theta\ne0$即可。
**4。**简化$(1-\cos^2\theta)/\operatorname{sen}\theta$。
参见分辨率 4
分子是$\operatorname{sen}^2\theta$。结果为$\operatorname{sen}\theta$，原始条件为$\operatorname{sen}\theta\ne0$。
5。 如果 $\operatorname{sen}\theta=-8/17$ 并且该点位于第三象限，则求余弦。
参见分辨率 5
$\cos^2\theta=225/289$ 且余弦为负：$-15/17$。
6。 相等 $\tan\theta=\operatorname{sen}\theta$ 是一个恒等式吗？
参见分辨率 6
否：在$45°$中，正切为1，正弦为$\sqrt2/2$。这个反例就够了。