写一个 $1$。在它下面写两个 $1$。从此以后，每一行都以 $1$ 开头、以 $1$ 结尾，中间的每个数都是它正上方两个数之和：

$$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$

就这么简单。一条孩子一分钟就能学会的规则，造出了数学中内容最丰富的数表之一。今天它被称为帕斯卡三角形，在中国叫作杨辉三角。而帕斯卡其实是最后一批发现它的人之一。

一个有许多主人的三角形

在印度，大约公元前 2 世纪，诗人宾伽罗在计算一行诗中长短音节的组合方式时，得到了同样的数。10 世纪，注释家哈拉尤达画出了这张表，称它为 Meru-prastara，意思是“须弥山的阶梯”。

在巴格达，大约公元 1000 年，卡拉吉用这个三角形展开像 $(a+b)^5$ 这样的乘方。他的书失传了，但一个半世纪之后，大约在 1150 年，萨马瓦尔抄录了这张表和推理过程，并注明出自卡拉吉。在波斯，这个三角形也和诗人兼数学家欧玛尔·海亚姆联系在一起。

在中国，贾宪大约在 1050 年用它来开方。杨辉在 1261 年把它收入书中，朱世杰又在 1303 年的《四元玉鉴》中画出了它，数字用算筹写成。

朱世杰 1303 年著作中的三角形。在中国，它被称为杨辉三角或贾宪三角。
朱世杰 1303 年著作中的三角形。在中国，它被称为杨辉三角或贾宪三角。朱世杰，《四元玉鉴》（1303） · Wikimedia Commons · 公有领域

在欧洲，这个三角形于 1527 年首次印在彼得鲁斯·阿皮亚努斯一本算术书的封面上。之后，米夏埃尔·施蒂费尔在 1544 年、尼科洛·塔尔塔利亚在 1556 年都用过它。直到今天，它在意大利叫塔尔塔利亚三角形，在伊朗叫海亚姆三角形，在中国叫杨辉三角。

帕斯卡的论文

1654 年，帕斯卡在和费马讨论赌注问题的同时，写成了《算术三角形论》，有法文和拉丁文两个版本。论文是这样开头的：

算术三角形这样构造：从任意一点 Z 画两条互相垂直的直线 ZL 和 ZT，在每条直线上标出任意多个相等的部分。

— 布莱兹·帕斯卡，《算术三角形》（1654）
这篇论文拉丁文版的第一页，这是已知的唯一一份，收藏在帕斯卡的故乡克莱蒙费朗。
这篇论文拉丁文版的第一页，这是已知的唯一一份，收藏在帕斯卡的故乡克莱蒙费朗。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

帕斯卡的三角形其实是一张阶梯形的方格表。他把每个小方格叫作单元格，把行叫作平行列，把列叫作垂直列，把对角线叫作底。每个单元格等于它上方的格子加上它左边的格子，这和我们今天用的规则是一样的，只是转了个方向。

这张表不是帕斯卡发现的。他做的是逐一证明了它的十九条性质，并展示了如何把它用在三个不同的问题上：计算组合数、展开乘方、分配赌注。他做得如此完整，以至于五十年后，皮埃尔·德·蒙莫尔称它为“帕斯卡先生的表”，亚伯拉罕·棣莫弗称它为 Triangulum arithmeticum Pascalianum。这个名字就此流传下来。

用记号写出规则

我们把行从 $0$ 开始编号，每行中的位置也从 $0$ 开始编号。用 $C(n,k)$ 表示第 $n$ 行第 $k$ 个位置上的数。构造规则是

$$C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k),$$

并且 $C(n,0)=C(n,n)=1$。例如在第 5 行，$C(5,2)=C(4,1)+C(4,2)=4+6=10$。

试一试：选一行和一个位置。中间的每个数都是它上方两个邻居之和。

选择第 n 行和位置 k。高亮的数是它上方两个数之和。

把水一分为二的喷泉

想象一座由碗一层层叠起来的喷泉。水落进最上面的碗，向两边各溢出一半，落进下一层的两个碗里。这两个碗也各向两边溢出一半，依此类推。

每个碗从上方一个或两个碗接水，再平均分成两份流下去。分子组成了帕斯卡三角形。
每个碗从上方一个或两个碗接水，再平均分成两份流下去。分子组成了帕斯卡三角形。本博客原创插图。

第三层中间的碗，从左边的碗得到 $\frac14$，从右边的碗也得到 $\frac14$：一共 $\frac24$。第四层的碗分别得到 $\frac18,\frac38,\frac38,\frac18$。分子正好就是三角形的各行：最上面的碗是第 0 行，第 $n$ 行的分母是 $2^n$。因为水一点也没有流失，所以每一层加起来都等于 $1$。

这解释了这张表最著名的性质：第 $n$ 行的和是 $2^n$。

$$1+5+10+10+5+1=32=2^5.$$

原因是，一行中的每个数在下一行里都被用了两次：一次在它的左下方，一次在它的右下方。所以下一行的和是这一行的两倍。从 $1$ 开始，经过 $n$ 行，和就是 $2^n$。

藏在斜线里的数

沿着斜线读这个三角形。第一条斜线全是 $1$。第二条是 $1,2,3,4,5,\dots$，即自然数。第三条是 $1,3,6,10,15,\dots$，即三角形数：能摆成三角形的小球个数。第四条是 $1,4,10,20,35,\dots$，即摆成三角锥的小球个数。

帕斯卡知道所有这些斜线，还专门用拉丁文写了一篇关于它们的文章：Numeri figurati，即“形数”。

练习：写出第 6 行并验证它的和

把第 $1,5,10,10,5,1$ 行中相邻的数相加，得到 $1,6,15,20,15,6,1$。和是 $64=2^6$。

练习：在碗的喷泉中，第七层的第三个碗能接到多少水？

最上面的碗是第 $0$ 行，所以第七层是第 $6$ 行，第三个碗是位置 $2$。比例是 $\dfrac{C(6,2)}{2^6}=\dfrac{15}{64}$，大约是全部水量的 23%。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 卡拉吉，MacTutor · 杨辉，MacTutor。

帕斯卡的全部主题 · ← 布莱兹·帕斯卡的一生 · 组合：不用列举也能计数 →

图片来源.