Combinatória

A vida de Blaise Pascal

Linha do tempo 1623Nasce em 19 de junho, em Clermont, na região de Auvergne, na França. 1626Morre a mãe, Antoinette Begon. Blaise tem 3 anos. 1631O pai, Étienne Pascal, muda-se com os três filhos para Paris. 1635Aos 12 anos, redescobre sozinho que os ângulos de um triângulo somam dois ângulos retos. 1640Aos 16, publica o Ensaio sobre as cônicas, com o teorema do hexágono. 1642Começa a construir a máquina de calcular para ajudar o pai, coletor de impostos em Rouen. 1647Publica as Novas experiências sobre o vazio. Recebe a visita de Descartes. 1648Florin Périer, seu cunhado, mede o peso do ar subindo o Puy de Dôme. 1654Troca cartas com Fermat sobre jogos de azar e escreve o Tratado do triângulo aritmético. Em 23 de novembro, tem a “noite de fogo”. 1656Começa a publicar as Cartas provinciais, sob pseudônimo. 1658Resolve os problemas da cicloide e lança um concurso sobre eles. 1662Inaugura em Paris uma linha de carruagens públicas. Morre em 19 de agosto, aos 39 anos. 1670Os amigos publicam os Pensamentos, organizados a partir das suas anotações. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1623–1631 ClermontNasce em Clermont, na Auvergne. A mãe morre quando ele tem 3 anos. 1631–1639 ParisO pai o educa em casa e o leva às reuniões de Mersenne. Aos 16 anos escreve o Ensaio sobre as cônicas. 1640–1647 RouenO pai é coletor de impostos na Normandia. Para ajudá-lo, Blaise constrói a pascalina e faz as experiências com o vazio. 1648 Puy de DômeA pedido de Pascal, o cunhado Florin Périer sobe a montanha com um barômetro e mostra que o ar pesa menos lá em cima. 1647–1662 ParisAs cartas a Fermat sobre os jogos de azar, a noite de fogo, as Provinciais, a cicloide e as carruagens públicas. Morre em 1662, aos 39 anos. 1655 Port-Royal-des-ChampsDepois da noite de fogo, passa temporadas no mosteiro onde vive a irmã Jacqueline e defende Port-Royal contra os jesuítas. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Pascal entre Clermont, Paris e Rouen, e a montanha que pesou o ar. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 11, 2026 Iniciar leitura

O triângulo de Pascal: somar para construir

Escreva um $1$. Embaixo, dois $1$. A partir daí, cada linha começa e termina com $1$, e cada número do meio é a soma dos dois que estão logo acima: $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$É só isso. Uma regra que uma criança aprende em um minuto produz uma das tabelas mais ricas da matemática. Hoje ela se chama triângulo de Pascal, mas Pascal foi um dos últimos a encontrá-la.

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Combinações: contar sem listar

Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como. Escolher sem ordem Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão? Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

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Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

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A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

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O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

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A cicloide: a curva da dor de dente

Pinte um ponto no pneu de uma bicicleta e empurre-a em linha reta. O ponto sobe, faz um arco e desce de novo até tocar o chão, uma vez a cada volta da roda. A curva que ele desenha se chama cicloide. No século XVII, ela era a curva da moda. Os franceses a chamavam de roulette. Tantos matemáticos brigaram pelas descobertas sobre ela que ganhou um apelido: a Helena dos geômetras, por causa da Helena de Troia, que provocou uma guerra.

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O princípio de Pascal: multiplicar forças com água

Um elefante e uma mulher de salto alto: quem afunda mais num chão de terra mole? Pode ser a mulher. O elefante pesa cinquenta vezes mais, mas o peso dele se espalha por quatro patas largas. O da mulher se concentra na ponta fina do salto. O que afunda o chão não é a força, e sim a pressão: a força dividida pela área em que ela se apoia. $$p=\frac FA.$$A unidade de pressão é o pascal: $1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$, uma força de um newton espalhada num metro quadrado. É uma pressão minúscula; a atmosfera, ao nível do mar, exerce cerca de $100\,000$ Pa.

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O peso do ar: a experiência do Puy de Dôme

Durante dois mil anos, os sábios repetiram uma frase de Aristóteles: a natureza tem horror ao vazio. Se você chupa o ar de um canudo, o líquido sobe porque a natureza não deixa o espaço ficar vazio. Parecia explicar tudo. Mas os construtores de poços de Florença tinham um problema. As bombas de sucção não conseguiam levantar água a mais de uns 10 metros, por mais que se esforçassem. Por que o horror da natureza ao vazio teria um limite de 10 metros?

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O legado de Pascal

O coração tem razões que a razão desconhece. — Blaise Pascal, Pensamentos Pascal deixou poucos livros terminados. Quase tudo o que escreveu de matemática foi publicado em folhas avulsas, em cartas ou depois da sua morte. Mesmo assim, poucos autores aparecem em tantos lugares diferentes: no triângulo da escola, na previsão do tempo, no freio do carro, no cálculo de um seguro e até no nome de uma linguagem de programação.

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Créditos das imagens de Pascal

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Blaise Pascal, autor desconhecido, por volta de 1690, Versailles: página de origem · domínio público. Triângulo de Yang Hui, no livro de Zhu Shijie, 1303: página de origem · domínio público. Primeira página do Triangulus arithmeticus, exemplar de Clermont Auvergne Métropole: página de origem · CC BY-SA 4.0. Pascalina do Musée des Arts et Métiers, foto de David Monniaux, 2005: página de origem · CC BY-SA 3.0. Marco da experiência no Puy de Dôme, Agence Rol, 1923, Bibliothèque nationale de France: página de origem · domínio público. Placa do túmulo em Saint-Étienne-du-Mont, Agence Meurisse, 1923, Bibliothèque nationale de France: página de origem · domínio público. Manuscrito autógrafo dos Pensamentos, exposição da Bibliothèque nationale de France, foto de ActuaLitté, 2016: página de origem · CC BY-SA 2.0. Primeira página dos Pensamentos, contrafação da edição de 1670, exemplar de Clermont Auvergne Métropole: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, a fonte de taças, o esquema do “vai um” e o arco de cicloide são ilustrações originais. Os controles do triângulo, da partilha e da prensa hidráulica foram feitos para esta trilha. São recursos didáticos, não reproduções de manuscritos nem do mecanismo interno da Pascalina.

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