以下是 M01 至 M06 的解决方案，以及每项的推理和结果验证。使用官方笔记本，第二天查阅报表和图纸；下面我们只返回计算所需的数据。

解释是版权。检查答案使用官方 FUVEST 指南，第 40 至 48 页，可在2024 集合中找到。 M02需要注意：打印数据不一致，指南接受不同方法。

模板

问题 主题 答案
M01 手机和系统 a）顶部64；空圆圈：从左到右：4、11、8、8、16； b）27； c) $5/4$、$35/12$、$7/4$、$7/6$
M02 条件概率 不兼容的数据：偏好加起来达到110%；查看以明确假设为条件的讨论和计算
M03 直线和抛物线 a) $(-1,1)$ e $(3,9)$; b) $(28/25,21/25)$; c) $B=(5/2,25/4)$, $C=(3/2,9/4)$
M04 指数 a) $2$ m; b) $9\sqrt2/4$ m; c) $2\log_2(2+\sqrt3)$ m
M05 旋转固体 a) $16$ 面积单位； b) $128\pi/3$ 体积单位； c) $32\sqrt2\pi/3$ 体积单位
M06 楼层功能 a) $10/3$; b) $[5/2,3)$; c) $[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})$

M01：如何阅读数学移动

请参阅测试 PDF 的第 3 页上的三张图。规则为$ac=bd$和$x=ac+bd$；没有编号的分支具有系数 1。在计算中，子结构的值包括它所支撑的圆。

a) 移动一号

从左下端开始。空白圆平衡了 4 圆，因此 4 也有效。悬挂在圆圈 3 下方的套装价值 $4+4=8$。包括3本身，这个分支的价值是$3+8=11$；因此，其右侧的圆圈接收 11。

现在上升一个层次。圆圈10下方的结构值为$11+11=22$。左侧主要支持总数

$$10+22=32.$$

右侧的值也必须为 32。它的第一个除法有两个相等的分支，值为 16：右侧的圆圈接收 16，左侧的对添加 16。该对中的每个圆圈都会收到 8。

因此，顶部的三角形接收 $32+32=\boxed{64}$。直接会议包括将所有圆圈相加：

$$10+3+4+4+11+8+8+16=64.$$

**注意：**圆圈 3 并不单独代表整个分支；上面还挂着两个圆圈。

b) 移动二号

每个分叉将值分成相等的两部分。从912开始，连续分支的值为

$$912\longrightarrow456\longrightarrow228\longrightarrow114\longrightarrow57.$$

圆圈 $2n+3$ 位于最后一层。所以，

$$2n+3=57\quad\Rightarrow\quad n=\boxed{27}.$$

替换：$2\cdot27+3=57$，四次重复恢复912。

c) 移动 III

从左到右将四个圆圈命名为 $x,y,z,w$。平衡条件是

$$7x=3y,\qquad2z=3w.$$

通过$L=7x+3y$和$R=2z+3w$设置下组的值。在顶部支撑上，

$$2L=5R,\qquad2L+5R=70.$$

由于分期金额相等，因此每期价值 35。然后是$L=35/2$和$R=7$。再次将每组分成两个相等的贡献，

$$7x=3y=\frac{35}{4},\qquad2z=3w=\frac72.$$

像这样，

$$\boxed{x=\frac54,\quad y=\frac{35}{12},\quad z=\frac74,\quad w=\frac76}.$$

这些系数是移动规则的一部分：仅添加四个圆圈不应产生 70。

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M02：计算前检查数据

试剂盒 A、B 和 C 已表明偏好为 40%、30% 和 40%。根据所选套件，服务机会为 80%、90% 和 70%。

声明的不一致之处

每个客户都会表明一个偏好。因此，偏好A、B或C的事件是互斥的，并且涵盖了所有客户。你的概率加起来应该是 1，但是

$$0{,}4+0{,}3+0{,}4=1{,}1.$$

**不存在同时满足这些数据的概率分布。**这个理由是该问题的官方指南中公认的答案之一。

对于 a 项，可以通过两种方式来看待问题。未出席捐款的直接总和产生

$$0{,}4\cdot0{,}2+0{,}3\cdot0{,}1+0{,}4\cdot0{,}3=0{,}23.$$

服务贡献的总和产生 $0{,}87$，其补数将是 $0{,}13$。分歧并非来自补码规则：而是来自使用加起来为 1,1 的权重，就好像它们是概率一样。

研究这三个项目的连贯模型

为了实践，我们可以采用一个额外的假设：将 $40:30:40$ 视为比例并将其标准化。这改变了打印的模型，并不构成一次性的官方更正。在这个假设中，

$$P(A)=\frac4{11},\qquad P(B)=\frac3{11},\qquad P(C)=\frac4{11}.$$

令 $T$ 为满足偏好的事件。

a) 没有服务。 将客户分成三组，并将每组的比例乘以其中失败的机会：

$$P(T^c)=\frac4{11}\cdot\frac2{10}+\frac3{11}\cdot\frac1{10}+\frac4{11}\cdot\frac3{10}=\boxed{\frac{23}{110}}.$$

服务机会为$87/110$；现在这两个概率加起来正好是 1。

b) 两个具有不同偏好的朋友。 假设给定偏好的独立选择和独立帮助。在知道朋友的顺序之前，AB、AC 和 BC 对的权重与

$$4\cdot3:4\cdot4:3\cdot4=12:16:12.$$

根据不同的偏好，这些权重变为$3/10$、$4/10$和$3/10$。两者相遇的机会是

$$\frac3{10}(0{,}8\cdot0{,}9)+\frac4{10}(0{,}8\cdot0{,}7)+\frac3{10}(0{,}9\cdot0{,}7)=\boxed{0{,}629}.$$

对三个乘积进行简单平均是错误的：AC 对在此模型中更为常见。

c) 在被服务者中对 B 的偏好。 选择 B 和被服务的联合概率是 $(3/11)(9/10)=27/110$。将其除以服务概率：

$$P(B\mid T)=\frac{27/110}{87/110}=\boxed{\frac9{29}}\approx31{,}03\%.$$

这三个结果属于归一化假设。在打印的测试中，基本结论是数据不兼容；官方指南详细说明了其他方法的接受标准。

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M03: 直线和抛物线

我们使用 $P:y=x^2$、$r:ax+by+c=0$ 和 $O=(0,0)$。

a) $(a,b,c)=(2,-1,3)$ 的交集

在直线上，$y=2x+3$。公共点必须满足 $y$ 的两个表达式：

$$x^2=2x+3\quad\Rightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.$$

对于 $x=-1$，我们有 $y=1$；对于 $x=3$，我们有 $y=9$。

响应： $\boxed{(-1,1)\text{ e }(3,9)}$。

b) $4x+3y=7$最接近原点的点

从一点到直线的最短距离是通过垂直线段测量的。给定直线的角度系数为$-4/3$；通过 $O$ 的垂线有方程 $y=3x/4$。

更换，

$$4x+3\cdot\frac{3x}{4}=7\quad\Rightarrow\quad25x=28.$$

然后，

$$\boxed{\left(\frac{28}{25},\frac{21}{25}\right)}.$$

会议：$4(28/25)+3(21/25)=7$。到此为止的矢量与垂直于直线的 $(4,3)$ 成比例，从而确认了垂直度。

c) 平行度$A=(-1,1)$和距离$BC=\sqrt{17}$

写入$B=(u,u^2)$和$C=(v,v^2)$。由于 B 位于第一象限，$u>0$。 OC 段必须是非简并的，因此 $v\ne0$。

AB 和 OC 的斜率是

$$\frac{u^2-1}{u+1}=u-1,\qquad\frac{v^2}{v}=v.$$

并行性给出$v=u-1$。使用距离平方，

$$17=(u-v)^2+(u^2-v^2)^2=1+(u+v)^2.$$

因此，$u+v=\pm4$。与$u-v=1$结合，我们得到$u=5/2$或$u=-3/2$。第一象限条件选择

$$\boxed{B=\left(\frac52,\frac{25}{4}\right),\qquad C=\left(\frac32,\frac94\right)}.$$

坐标之间的差异为 1 和 4，因此为 $BC=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$。

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M04：字符串的高度

绳索型号为 $f(x)=2^x+2^{-x}$，测量单位为米。

a) 最小高度

执行 $t=2^x>0$。作为 $(t-1)^2\ge0$，除以 $t$ 我们有

$$t+\frac1t\ge2.$$

相等需要$t=1$，即$x=0$。因此，最小高度为$\boxed{2\text{ m}}$。该不等式证明它是全局最小值，而不仅仅取决于图的外观。

b) 间隔 3 m 的杆

该函数为偶数：$f(-x)=f(x)$。 $x\ge0$ 严格递增：如果 $1\le s0$。因此，相同高度的两个不同点处于相反的位置。

茎位于 $x=-3/2$ 和 $x=3/2$。高度是

$$f\left(\frac32\right)=2\sqrt2+\frac1{2\sqrt2}=2\sqrt2+\frac{\sqrt2}{4}=\boxed{\frac{9\sqrt2}{4}\text{ m}}.$$

c) 高度为4米的点之间的距离

求解 $t+1/t=4$ 等价于求解

$$t^2-4t+1=0\quad\Rightarrow\quad t=2\pm\sqrt3.$$

数值为正且倒数，如$(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$。因此，横坐标相反：

$$x=\pm\log_2(2+\sqrt3).$$

这些点具有相同的纵坐标。它们的距离是横坐标之间的差，而不是弦的弧长：

$$\boxed{d=2\log_2(2+\sqrt3)\text{ m}}.$$

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M05：一个三角形，三个旋转轴

该区域是由顶点 $O=(0,0)$、$A=(4,0)$ 和 $B=(0,4)$ 组成的三角形，以 $x+y=4$ 和坐标轴为界。

a) 绕 Oy 旋转：截面面积

旋转产生一个半径为 4、高度为 4 的圆锥体。穿过 Oxy 平面的截面与其轴相交，并包含原始三角形及其在 Oy 左侧的反射。它是一个底边为 8、高为 4 的三角形：

$$\boxed{A=\frac{8\cdot4}{2}=16}.$$

注意要求的是什么：立体的平坦部分的面积，而不是圆锥体的侧面面积。

b) 绕$x=4$旋转：音量

在高度 $y\in[0,4]$ 处，三角形占据 $0\le x\le4-y$。从这些端部到$x=4$轴的距离是4和$y$。旋转时，表带会生成一个外半径为 4 、内半径为 $y$ 的圆冠。

这将实体识别为半径为 4 和高度为 4 的圆柱体，具有相同尺寸的圆锥形空腔。所以，

$$V=\pi\cdot4^2\cdot4-\frac13\pi\cdot4^2\cdot4=\boxed{\frac{128\pi}{3}}.$$

c) 绕$x+y=4$旋转：音量

轴为斜边AB。从 O 到 AB 的垂线的底脚是 $H=(2,2)$。相关距离为

$$OH=AH=BH=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.$$

将三角形除以线段 OH。旋转时，OAH 和 OBH 会生成两个圆锥体，它们共享圆形底座并位于其相对两侧。每个圆锥体的半径为 $OH$，高度为 $AH$ 或 $BH$。

$$V=2\cdot\frac13\pi(2\sqrt2)^2(2\sqrt2)=\boxed{\frac{32\sqrt2\pi}{3}}.$$

每个圆锥体的高度是原来斜边的一半；使用 4 作为高度会使边与旋转轴混淆。

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M06：带有下限函数的方程

我们将使用的定义是

$$\lfloor x\rfloor=n\quad\Longleftrightarrow\quad n\le xa) $x\lfloor x\rfloor=10$

首先，检查负数。如果 $-3\le x<0$，则 $-\lfloor x\rfloor\le3$ 和 $-x\le3$，然后 $x\lfloor x\rfloor\le9$。如果 $x<-3$，我们有 $\lfloor x\rfloor\le-4$ 并且乘积大于 12。没有消极的解决方案。

对于$0\le x<3$，乘积小于6；对于$x\ge4$，它至少是16。剩下$3\le x<4$，楼层为3的范围：

$$3x=10\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=\frac{10}{3}}.$$

作为 $3\le10/3<4$，解决方案遵循所使用的范围。

b) $\lfloor2x\rfloor+\lfloor x\rfloor=7$

写入$x=n+r$，以及$n\in\mathbb Z$和$0\le r<1$。然后

$$\lfloor2x\rfloor+\lfloor x\rfloor=3n+\lfloor2r\rfloor.$$

顶层只能是0或1。如果是 0，我们就会得到 $3n=7$，这对于整数来说是不可能的。如果是 1，则有 $3n+1=7$，因此有 $n=2$ 和 $1/2\le r<1$。

然后，

$$\boxed{x\in\left[\frac52,3\right)}.$$

极端的$5/2$进入是因为$5+2=7$。极端的 3 被排除，因为 $6+3=9$。

c) $\lfloor x^2\rfloor-4\lfloor x\rfloor+3=0$

重新整理方程：

$$\lfloor x^2\rfloor=4\lfloor x\rfloor-3.$$

如果$x<1$，则右侧为负，左侧为非负。因此$x\ge1$。

设置$n=\lfloor x\rfloor\ge1$。作为 $x\ge n$，我们有 $\lfloor x^2\rfloor\ge n^2$。一个必要条件是

$$n^2\le4n-3\quad\Rightarrow\quad(n-1)(n-3)\le0.$$

因此，只需检查 $n=1,2,3$。在每种情况下，我们都需要施加 $x$ 和 $x^2$ 下限：

$n$ $x^2$ 中的条件 与 $n\le x
1 $1\le x^2<2$ $[1,\sqrt2)$
2 $5\le x^2<6$ $[\sqrt5,\sqrt6)$
3 $9\le x^2<10$ $[3,\sqrt{10})$

所以，

$$\boxed{[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})}.$$

排除了上限，因为在其中，$x^2$ 的下限增加了一个单位。不能将 $\lfloor x^2\rfloor$ 替换为 $\lfloor x\rfloor^2$：例如，在 $x=\sqrt5$ 中，这些值为 5 和 4。

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