来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天 （笔记本上有当天的所有问题），问题 M01 到 M06。 FUVEST没有发布第二阶段的模板；决议是我们的。

在 FUVEST 第二阶段的第二天 2022 每位考生都收到了 12 条推理题 您职业生涯的具体学科。数学有 6 个问题（M01 到 M06）。 只做4数学题的人获得M01至M04；谁只做了3，M01到M03。 下面的每个解决方案均通过第二条路径（另一种方法或帐户 在计算机上）。

模板

问题 主题 答案
M01 由递归定义的序列 (Collat​​z) a) 17; b) 12, 13 e 80; c) 4
M02 由零件和区域定义的功能 a）$[0, 2]$和$[5, 9]$； b) $\frac{9}{4}$、4 和 $\frac{11}{2}$； c) 参见分辨率
M03 笛卡尔平面中的计数和概率 a) 6 点； b）$\frac{19}{49}$； c) $\frac{10}{147}$
M04 截棱锥体：周长、体积和距离 a) $\frac{4 + 4\sqrt{2}}{3}$; b) $\frac{4\sqrt{2}}{27}$; c) $\frac{\sqrt{6}}{3}$
M05 圆与抛物线的交点 a) $(0, 1)$; b) $(0, 1)$, $(\pm\sqrt{3}, 4)$; c) $a > \frac{1}{4}$
M06 包裹数量（整数解） a) 101; b) 10 201; c) 506

问题 M01：序列“3n + 1”（重复）

陈述

自然数序列的构造如下：其第一项 $t_1$被选择为任意自然数。如果 $t_1$ 是偶数，则 $t_2 = \frac{t_1}{2}$，如果 $t_1$ 是奇数，则 $t_2 = 3t_1 + 1$。条款 根据同样的规则获得以下$t_n$。例如，如果 $t_1 = 3$，然后是 $t_2 = 10$、$t_3 = 5$、$t_4 = 16$ 等等。

这样，从$t_1 \in \mathbb{N}$开始，对于每个$n \in \mathbb{N}$， $n \ge 2$，序列$t_n$定义为

$$ t_n = \begin{cases} \dfrac{t_{n-1}}{2}, & \text{se } t_{n-1} \text{ for par} \\ 3t_{n-1} + 1, & \text{se } t_{n-1} \text{ for ímpar} \end{cases} $$

a) 对于$t_1 = 22$，确定$t_4$。

b) 确定 $t_4 = 10$ 的所有可能的 $t_1$。

c) 对于$t_1 = 26$，确定$t_{2022}$。

解决

a) 只需应用该规则 3 次：

  • $t_1 = 22$是偶数，所以$t_2 = 11$；
  • $t_2 = 11$是奇数，所以$t_3 = 3 \cdot 11 + 1 = 34$；
  • $t_3 = 34$ 是偶数，因此 $t_4 = 17$。

响应 (a)： $t_4 = 17$。

b) 让我们向后。如果一项的值为 $k$，则前一项可以是：

  • $2k$（如果前一个是偶数，则除以2），或
  • $\frac{k-1}{3}$，但前提是该数字是自然数并且是奇数（如果前一个数字是奇数，则它变为 $3 \cdot (\text{anterior}) + 1$）。

1. 来自 $t_4 = 10$ 到 $t_3$: $2 \cdot 10 = 20$， 或者 $\frac{10-1}{3} = 3$ （奇数， 值得）。然后 $t_3 \in$ {20, 3}.

2。从 $t_3$ 到 $t_2$：

  • $t_3 = 20$：$t_2 = 40$或$\frac{19}{3}$（非整数）。只有$t_2 = 40$。
  • $t_3 = 3$：$t_2 = 6$或$\frac{2}{3}$（非整数）。只有$t_2 = 6$。

3。从 $t_2$ 到 $t_1$：

  • $t_2 = 40$：$t_1 = 80$或$\frac{39}{3} = 13$（奇数，有效）。
  • $t_2 = 6$：$t_1 = 12$或$\frac{5}{3}$（非整数）。

向前检查：$13 \to 40 \to 20 \to 10$； $80 \to 40 \to 20 \to 10$； $12 \to 6 \to 3 \to 10$。 ✓

答案 (b)： $t_1 = 12$、$t_1 = 13$ 或 $t_1 = 80$。

c) 计算 $t_1 = 26$ 的第一项：

$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
$t_n$ 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 4 2 1

从$n = 9$开始，序列进入循环$4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$， 重复每个 3 项。如$t_9 = 4$、$t_{12} = 4$、$t_{15} = 4$、…，它是有效的 当 $n \ge 9$ 和 $n$ 是 3 的倍数时，$t_n = 4$。

由于$2022 = 3 \cdot 674$是3的倍数（各位数字之和为6），

响应 (c)： $t_{2022} = 4$。

*会议：*我们通过计算机计算 26 中的 2022 第一项， 我们得到$t_{2022} = 4$；我们还测试从 1 到 10 000 的所有 $t_1$，并且仅测试 12、13 80 给出 $t_4 = 10$。

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问题M02：由矩形的部分和面积定义的函数

陈述

函数 $f$ 在 $[-2, 9]$ 范围内定义如下： $x \in [-2, 2]$，$f$将$x$带入$x^2$，在域的其余部分，其图为 如图所示，由两条直线段组成。

a) 呈现函数 $f$ 域中其递增的所有区间。

b) 确定点$x = -\frac{3}{2}$、$x = \frac{7}{2}$和$x = 8$处的$f$值。

c) 对于 $x \in \left]0, 9\right[$ 的每个值，考虑矩形 $R_x$ 点 $A = (x, 0)$、$B = (9, 0)$、$C = (9, f(x))$ 和 $D = (x, f(x))$ 处的顶点。 将$R_x$面积的表达式作为$x$的函数写入区间内的$x$ $\left]0, 9\right[$.

解决

**$f$法则。**从图中，第一段从$(2, 4)$到$(5, 4)$ （水平）第二个从 $(5, 4)$ 到 $(9, 6)$，有倾斜度 $\frac{6-4}{9-5} = \frac{1}{2}$，即$y = 4 + \frac{x-5}{2} = \frac{x+3}{2}$。 然后

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 2 \\ 4, & 2 \le x \le 5 \\ \dfrac{x+3}{2}, & 5 \le x \le 9 \end{cases} $$

a) 抛物线 $y = x^2$ 在 $[-2, 0]$ 处减小，在 $[0, 2]$ 处增大。在 $[2, 5]$ 该函数是常数，在$[5, 9]$ 中它是一条正斜率的直线。

答案(a)：$f$在$[0, 2]$和$[5, 9]$中增加。 （在 $[2, 5]$ 范围内 她是不变的。如果“增加”理解为广义的“不增加” 降序”，范围将是整个 $[0, 9]$。）

b)

  • $x = -\frac{3}{2} \in [-2, 2]$: $f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
  • $x = \frac{7}{2} = 3{,}5 \in [2, 5]$: $f\left(\frac{7}{2}\right) = 4$.
  • $x = 8 \in [5, 9]$: $f(8) = \frac{8+3}{2} = \frac{11}{2}$.

答案 (b)： $\frac{9}{4}$、$4$ 和 $\frac{11}{2}$。

c) 矩形 $R_x$ 的底边为 $AB = 9 - x$（在轴 $x$ 上）和高度 $AD = f(x)$（始终为 $\ge 0$）。因此，面积为$(9 - x) \cdot f(x)$，并且 表达式根据$f$的摘录而变化：

$$ \text{Área}(R_x) = \begin{cases} (9-x)\thinspace x^2 = 9x^2 - x^3, & 0 < x \le 2 \\ 4(9-x) = 36 - 4x, & 2 \le x \le 5 \\ \dfrac{(9-x)(x+3)}{2} = \dfrac{-x^2 + 6x + 27}{2}, & 5 \le x < 9 \end{cases} $$

**答案(c)：**上述表达式。

会议： 在拼接点，公式给出相同的值，因为它们应该： $x = 2$，$9 \cdot 4 - 8 = 28 = 36 - 8$；在$x = 5$、$36 - 20 = 16 = \frac{-25 + 30 + 27}{2}$中。 我们还通过计算机将公式与$(9 - x) \cdot f(x)$进行了比较 直接从图表的各个点。

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问题 M03：坐标从 3 到 9 的点（计数和概率）

陈述

考虑笛卡尔平面上 $(m, n)$ 形式的点集 $C$，其中 $m$ 和 $n$属于{3、4、5、6、7、8、9}。

a) 显示 $C$ 的所有点 $(m, n)$，其乘积 $m \cdot n$ 为 大于 60。

b) 通过从 $C$ 绘制一个点 $(m, n)$，所有点的概率相等 点，分数 $\frac{m}{n}$ 可约的概率是多少？

c) 以相同的概率从 $C$ 绘制两个不同的点，即 它们之间的距离等于$\sqrt{13}$的概率？

注意并采用： 当 $m$ 和 $n$ 有除数时，分数 $\frac{m}{n}$ 可约 自然的共同点，除了1。

解决

集合$C$有$7 \cdot 7 = 49$点。

a) 对于 $m \cdot n > 60$，两个数字都需要很大。对于 $m = 7$： $7 \cdot 9 = 63$ 有效，但 $7 \cdot 8 = 56$ 无效。对于 $m = 8$：$8 \cdot 8 = 64$ 和 $8 \cdot 9 = 72$ 有效，$8 \cdot 7 = 56$ 无效。对于 $m = 9$：$9 \cdot 7 = 63$， $9 \cdot 8 = 72$ 和 $9 \cdot 9 = 81$ 有效，$9 \cdot 6 = 54$ 无效。与$m \le 6$， 最大的产品是$6 \cdot 9 = 54$。

答案(a)：$(7, 9)$、$(8, 8)$、$(8, 9)$、$(9, 7)$、$(9, 8)$和$(9, 9)$。

b) 当 $m$ 和 $n$ 有一个共同质因数时，分数可约化。表兄弟姐妹 可能是 2、3、5 和 7：

  • 两对 ({4, 6, 8}): $3 \cdot 3 = 9$ 点；
  • 3 的倍数（{3, 6, 9}）：$3 \cdot 3 = 9$ 点；
  • 5的两个倍数：仅$(5, 5)$、1点；
  • 7的两个倍数：仅$(7, 7)$、1点。

点$(6, 6)$被计算了两次（它是偶数并且是3的倍数）；没有其他如果 重复。总计：$9 + 9 + 1 + 1 - 1 = 19$ 分。

$$P = \frac{19}{49}$$

响应 (b)： $\frac{19}{49}$。

补码会议： 与 $\text{mdc}(m, n) = 1$ 的对是 30（计数 每台计算机）和 $49 - 30 = 19$。 ✓

c) 1。不同点的总对数：

$$\binom{49}{2} = \frac{49 \cdot 48}{2} = 1176$$

**2。当距离为$\sqrt{13}$时？**如果坐标差为 $\Delta m$和$\Delta n$（整数），我们需要$(\Delta m)^2 + (\Delta n)^2 = 13$。 将 13 写为两个平方和的唯一方法是 $4 + 9$，所以 $\lbrace |\Delta m|, |\Delta n| \rbrace = \lbrace 2, 3 \rbrace$。

3。计算对数。 坐标范围从 3 到 9（7 值）。

  • $|\Delta m| = 2$、$|\Delta n| = 3$，具有“向上和向下”偏移。 右”：起点有 $m$ 3 到 7 之间（5 个选项）并且 $n$ 3 到 6 之间 （4 选项）：20 对。 “向下和向右”滚动：更多 20。
  • $|\Delta m| = 3$、$|\Delta n| = 2$：同样，$20 + 20 = 40$。

总数：80 对。

$$P = \frac{80}{1176} = \frac{10}{147}$$

响应 (c)： $\frac{10}{147}$。

*会议：*所有 1176 对的计算机计数准确地给出了 80 距离同行$\sqrt{13}$。

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问题 M04：通过切割金字塔的角获得固体

陈述

金字塔 $\mathbf{P}$ 具有方形底面 $A_0B_0C_0D_0$ 和边长 1 微米， 支撑在平面 $\Pi$ 和四个面 等边三角形 上，连接 底部到 $\mathbf{P}$ 的顶点 $E_0$。十六个点$A_1$、$A_2$、$A_3$、$B_1$、 $B_2$、$B_3$、$C_1$、$C_2$、$C_3$、$D_1$、$D_2$、$D_3$、$E_1$、$E_2$、$E_3$ 和 $E_4$、 如图所示，将金字塔的每条边均等分为三段 测量。

图中突出显示的新实体 $\mathbf{S}$ 是通过从 $\mathbf{P}$ 五座金字塔 $A_0A_1A_2A_3$、$B_0B_1B_2B_3$、$C_0C_1C_2C_3$、 $D_0D_1D_2D_3$ 和 $E_0E_1E_2E_3E_4$。决定：

a) $\mathbf{S}$ 位于 $\Pi$ 上的面的周长，其顶点为 $A_1$, $A_3$, $B_1$, $B_3$, $C_1$, $C_3$, $D_1$ e $D_3$.

b) $\mathbf{S}$ 的音量。

c) $A_1$ 和 $E_2$ 之间的距离。

解决

$\mathbf{P}$ 的所有 8 边的尺寸为 1（底边是边长为 1 的正方形， 侧面为等边三角形），每个侧面都分为三部分 $\frac{1}{3}$。

a) 平面 $\Pi$ 中 $\mathbf{S}$ 的面是底面与 4 角的正方形 切：八边形。

  • 正方形的每一边都有中间三分之一，例如 $A_3B_1 = \frac{1}{3}$ （4 边像这样）。
  • 每个切角都是等腰直角三角形腿的斜边 $\frac{1}{3}$，例如$A_1A_3 = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ （4 边像这样）。
$$\text{Perímetro} = 4 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{3} \text{ u.m.}$$

响应 (a)： $\frac{4 + 4\sqrt{2}}{3}$ 嗯。 $\approx 3{,}22$ 嗯。

b) 1。 $\mathbf{P}$ 的体积。 高度的脚是正方形的中心，即 是每个顶点的半对角线 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。与侧边缘1， 毕达哥拉斯：

$$h = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$$V_{\mathbf{P}} = \frac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$

**2。顶部金字塔，$E_0E_1E_2E_3E_4$。**它与 $\mathbf{P}$ 类似，这是有充分理由的 $\frac{1}{3}$，则其音量为$\left(\frac{1}{3}\right)^3 V_{\mathbf{P}} = \frac{V_{\mathbf{P}}}{27}$。

3。底角金字塔，例如 $A_0A_1A_2A_3$。 穿过的平面 $B_0$、$D_0$和$E_0$将$\mathbf{P}$切成两半；四面体 $A_0B_0D_0E_0$ 有 卷 $\frac{V_{\mathbf{P}}}{2}$。四面体 $A_0A_1A_2A_3$ 有三个边 来自 $A_0$ 的结果等于 $A_0B_0D_0E_0$ 中的 $\frac{1}{3}$（在相同的情况下） 方向），那么它与它类似，原因是$\frac{1}{3}$：

$$V_{A_0A_1A_2A_3} = \frac{1}{27} \cdot \frac{V_{\mathbf{P}}}{2}$$

它们是 4 个相等的角：它们加起来是 $\frac{4}{27} \cdot \frac{V_{\mathbf{P}}}{2} = \frac{2V_{\mathbf{P}}}{27}$。

4。 $\mathbf{S}$ 的音量。

$$V_{\mathbf{S}} = V_{\mathbf{P}} - \frac{V_{\mathbf{P}}}{27} - \frac{2V_{\mathbf{P}}}{27} = \frac{24}{27} V_{\mathbf{P}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{27}$$

答案 (b)： $V_{\mathbf{S}} = \frac{4\sqrt{2}}{27}$ u.v. $\approx 0{,}210$ 紫外线

c) 让我们使用坐标。从图中，$A_1$在边缘$A_0D_0$上，$E_2$在边缘上 边缘 $E_0B_0$。服用

$$A_0 = (0, 0, 0), \quad B_0 = (1, 0, 0), \quad D_0 = (0, 1, 0), \quad E_0 = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right),$$

我们有：

  • $A_1$到$\frac{1}{3}$从$A_0$到$D_0$：$A_1 = \left(0, \frac{1}{3}, 0\right)$；
  • $E_2$ 到 $\frac{1}{3}$ 从 $E_0$ 到 $B_0$： $E_2 = E_0 + \frac{1}{3}(B_0 - E_0) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

然后

$$A_1E_2 = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

响应 (c)： $A_1E_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 嗯。 $\approx 0{,}816$ 嗯。

*会议：*使用相同的坐标，我们计算了 四面体（通过行列式），我们再次获得 $V_{\mathbf{S}} = \frac{4\sqrt{2}}{27} \approx 0{,}2095$ 和周长 $\approx 3{,}2190$。对于项目 c，另一种查看方式：$A_1$ 和 $E_2$ 位于同一垂直平面 $y = \frac{1}{3}$ 中。在这个平面上，水平距离 它们之间的高度差是$\frac{2}{3}$，高度差是$\frac{2}{3} h = \frac{\sqrt{2}}{3}$ （$E_2$ 是从底部到顶点之间的路径的 $\frac{2}{3}$）。毕达哥拉斯， $\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。 ✓

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问题 M05：有 3 点公共点的周长和抛物线

陈述

考虑在笛卡尔平面中，以点 $(0, 3)$ 为圆心且 半径 2 以及对于每个 $a \in \mathbb{R}$、$a \ne 0$ 的抛物线，其方程为 $y = ax^2 + 1$。

a) 对于 $a = -1$，找到圆和抛物线之间的公共点。

b) 对于 $a = 1$，给出圆和抛物线之间的公共点 3。

c) 查找 $a$ 的圆和抛物线的所有值 恰好有 3 个共同点。

解决

一般方程。 周长为 $x^2 + (y - 3)^2 = 4$，抛物线给出 $x^2 = \frac{y - 1}{a}$。替换圆圈中的$x^2$：

$$\frac{y - 1}{a} + (y - 3)^2 - 4 = 0$$

作为 $(y-3)^2 - 4 = (y - 3 - 2)(y - 3 + 2) = (y - 5)(y - 1)$，方程因子：

$$(y - 1)\left[\frac{1}{a} + y - 5\right] = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 1 \quad\text{ou}\quad y = 5 - \frac{1}{a}$$

$y$ 的每个值仅在 $x^2 = \frac{y-1}{a} \ge 0$ 时生成一个点。

  • $y = 1$ 给出 $x^2 = 0$：点 $(0, 1)$，这是 所有抛物线的周长和顶点。
  • $y = 5 - \frac{1}{a}$ 给出 $x^2 = \frac{4 - \frac{1}{a}}{a} = \frac{4a - 1}{a^2}$。

a) $a = -1$：$y = 1$ 或 $y = 5 + 1 = 6$。对于 $y = 6$、$x^2 = \frac{6-1}{-1} = -5 < 0$： 没有意义。 （事实上，$y = 6$ 位于圆周之上，从 $y = 1$ 到 $y = 5$。）仍为 $y = 1$、$x = 0$。

响应 (a)： $(0, 1)$。

b) $a = 1$：$y = 1$ 或 $y = 5 - 1 = 4$。对于 $y = 4$、$x^2 = 3$、$x = \pm\sqrt{3}$。

检查$(\sqrt{3}, 4)$：在圆周上，$3 + (4-3)^2 = 4$✓；在比喻中， $1 \cdot 3 + 1 = 4$ ✓。

答案 (b)： $(0, 1)$、$(\sqrt{3}, 4)$ 和 $(-\sqrt{3}, 4)$。

c) 点 $(0, 1)$ 始终是公共的。为了精确地获得 3 点，第二个 root 需要给出两个个新点，$(\pm x, y)$ 和 $x \ne 0$，即

$$x^2 = \frac{4a - 1}{a^2} > 0 \quad\Leftrightarrow\quad 4a - 1 > 0 \quad\Leftrightarrow\quad a > \frac{1}{4}$$

如果$a = \frac{1}{4}$，则第二个根又是$y = 5 - 4 = 1$，并且只有点 $(0, 1)$。如果$a < \frac{1}{4}$（与$a \ne 0$），$x^2 < 0$也只有点 $(0, 1)$。从来不存在 2 或 4 点。

响应 (c)： $a > \frac{1}{4}$。

*会议：*通过计算机，我们将周长参数化为 $(2\cos\theta, 3 + 2\sin\theta)$ 我们计算它穿过抛物线的点 对于 $a$ 的各种值（例如 $-1$；$0{,}1$；$0{,}2$；$0{,}3$；$1$；$5$）： 我们获得了 $a \le 0{,}2$ 的 1 点和 $a \ge 0{,}3$ 的 3 点，根据 $a > \frac{1}{4}$。

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问题 M06：豌豆和玉米罐头包装（个）

陈述

一家食品配送公司有豌豆罐头 (E) 和玉米罐头 (M)，两种重量，1千克和2千克，总计4 (四种)罐类型：E1和E2 （豌豆，重量分别为 1 公斤和 2 公斤）和 M1 和 M2（玉米，重量为 1 公斤） 和 2 公斤，分别）。这些罐子被分成包裹运往 贸易商。两包罐头如果包含以下内容，则被视为相等 每种类型的罐子数量相同，无论其质量如何 组织在包中。

a) 有多少个不同的包裹，每个包裹的重量恰好为 200 公斤（200 公斤) 只能使用类型为 E1 和 E2 的罐子组装吗？在 计数，您还必须考虑仅由 1 类型形成的数据包 这些罐头。

b) 有多少个不同的包裹，每个包裹的重量恰好为 200 公斤（200 公斤) 只能使用类型为 E1、E2 和 M1 的罐子组装吗？在 计数，您还必须考虑仅由 1 或 2 类型形成的数据包 这些罐头。

c) 有多少个不同的包裹，每个包裹的重量恰好为 20 公斤（二十公斤） 可以使用 E1、E2、M1 和 M2 类型的罐组装它们吗？计数时， 还必须考虑仅由 1、2 或 3 类型形成的包 这些罐头。

解决

包装由每种类型的罐数决定。让$e_1$， $e_2$、$m_1$ 和 $m_2$ 这些量（整数 $\ge 0$）。重量为 $e_1 + 2e_2 + m_1 + 2m_2$。

a) 我们想要 $e_1 + 2e_2 = 200$。选择$e_2$，则$e_1 = 200 - 2e_2$值为 确定，需要为$\ge 0$：$e_2$可以为$0, 1, 2, \ldots, 100$。

响应 (a)： 101 数据包。

b) 我们想要 $e_1 + m_1 + 2e_2 = 200$。固定$e_2 = k$（$0 \le k \le 100$）， 剩下 $e_1 + m_1 = 200 - 2k$，它有 $201 - 2k$ 个解（$e_1$ 从 0 到 $200 - 2k$）。添加：

$$\sum_{k=0}^{100} (201 - 2k) = 201 + 199 + 197 + \cdots + 3 + 1$$

它是前 101 个奇数的总和，其值为 $101^2$：

$$101^2 = 10\thinspace 201$$

答案 (b)： 10 201 数据包。

c) 我们想要 $(e_1 + m_1) + 2(e_2 + m_2) = 20$。令 $k = e_2 + m_2$ 为数量 2 公斤罐 ($0 \le k \le 10$)。

  • $e_2 + m_2 = k$有$k + 1$个解；
  • $e_1 + m_1 = 20 - 2k$ 有 $21 - 2k$ 个解决方案。

对于每个 $k$ 都有 $(k + 1)(21 - 2k)$ 个包：

$k$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$(k+1)(21-2k)$ 21 38 51 60 65 66 63 56 45 30 11

总和：$21 + 38 + 51 + 60 + 65 + 66 + 63 + 56 + 45 + 30 + 11 = 506$。

响应 (c)： 506 数据包。

*会议：*计算机计数，测试所有可能的数量 每种罐头的 a、b 和 c 项均给出 101、10、201 和 506 包装。

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