安托万·贡博自称德·梅雷骑士，是法国宫廷里的一位作家，也是一个狂热的赌徒。大约在 1654 年，他向帕斯卡提出了两个关于赌注的问题。帕斯卡觉得这两个问题非常好，就写信给皮埃尔·德·费马，概率论就从这些信中诞生了。

谈到这位朋友，帕斯卡对费马说：

他很有头脑，但不是几何学家；而您知道，这是一个很大的缺点。

— 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1654 年 7 月 29 日）

第一个问题：一个六点和两个六点

德·梅雷知道一种有利可图的赌法：把一颗骰子掷 4 次，赌至少出现一次六点。他赢的次数比输的多。

于是他推想：用两颗骰子时，同时出现两个六点比一颗骰子出现六点要少见 6 倍。为了弥补，只要多掷 6 倍就行：$4\cdot6=24$ 次。“两颗骰子掷 24 次，至少出现一次双六”这个赌法，应该和第一个一样好。

结果并非如此。德·梅雷输了钱，却不明白为什么。

正确的算法要从反面入手。一颗骰子不出六点的概率是 $\frac56$。独立地掷 4 次，一次六点都不出现的概率是 $\left(\frac56\right)^4$。所以

$$P(\text{4 次中至少一个六点})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$

两颗骰子共有 $36$ 种结果，其中只有一种是双六。掷一次不出现双六的概率是 $\frac{35}{36}$：

$$P(\text{24 次中至少一个双六})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$

第一种赌法有 51.8% 的机会赢；第二种只有 49.1%。德·梅雷的比例法则看起来很合理，但概率不是这样相加的。掷 25 次时，机会才超过一半：$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$。

第二个问题：中断的赌局

两个玩家各押 32 枚皮斯托尔金币，共 64 枚。谁先赢 3 局，谁就拿走全部。比赛在 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局时中断了。这 64 枚金币该怎样公平地分？

费马的解法是数出所有可能的序列。帕斯卡的做法不同：他只看下一局。

  • 如果 A 赢了下一局，他就达到 3 局，拿走全部 64 枚。
  • 如果 B 赢了，比分变成 2 比 2，两人打平：每人应得 32 枚。

下一局两人赢的机会相同。所以不管发生什么，A 都稳拿 32 枚，另外 32 枚不确定，两人各有一半机会。帕斯卡的结论是 A 应该得到

$$32+\frac{32}{2}=48\ \text{枚},$$

B 得到剩下的 16 枚。这正是他信中的数字。

倒着推

这个思路适用于任何比分：先解决简单的情况，再一步步往回推。现在假设 A 赢了 2 局，B 一局也没赢。如果 A 赢下一局，他拿走 64 枚；如果输了，比分变成 2 比 1，我们已经知道这对 A 值 48 枚。平均是

$$\frac{64+48}{2}=56.$$

如果 A 赢了 1 局，B 一局也没赢呢？如果 A 赢，比分变成 2 比 0，值 56 枚；如果输了，就是 1 比 1，值 32 枚。平均是

$$\frac{56+32}{2}=44.$$

帕斯卡寄给费马的，正是这一串数：48、56 和 44 枚。

一般规则

设 $P(a,b)$ 是 A 还差 $a$ 局、B 还差 $b$ 局时 A 赢得整场比赛的概率。如果 $a=0$，A 已经赢了：$P(0,b)=1$。如果 $b=0$，B 已经赢了：$P(a,0)=0$。其他情况下，由下一局可得

$$P(a,b)=\frac12P(a-1,b)+\frac12P(a,b-1).$$

A 的公平份额是奖金乘以 $P(a,b)$。在 3 局制中比分 2 比 1 的例子里，A 还差 $a=1$ 局，B 还差 $b=2$ 局，$P(1,2)=\frac34$；64 的 $\frac34$ 就是 48 枚。

注意，这条规则和算术三角形的形状一样：每个值都是两个邻居的平均。这不是巧合，帕斯卡正是用这个三角形，一次性地解决了任意比分的问题。

选择每位玩家还差几局。控件用帕斯卡的规则算出 A 获胜的概率，并分配 80 枚金币的奖金。

一门新的数学

1654 年以前，机遇是赌徒的事，不是数学家的事。帕斯卡的信引入了我们今天称为期望值的概念：每个玩家应得的，是奖金乘以他赢得奖金的概率。1657 年，荷兰人克里斯蒂安·惠更斯在巴黎听说了这些通信，出版了这一主题的第一本书。保险公司、彩票和银行开始做这种计算，直到今天。

练习：在 64 枚金币、3 局制的比赛中，比分是 1 比 1，怎么分？如果是 0 比 0 呢？

1 比 1 时，两人处境相同：每人 32 枚。0 比 0 也一样：谁都没有优势，每人拿回自己的 32 枚。

练习：P(2,1) 等于多少？

$P(2,1)=\frac12P(1,1)+\frac12P(2,0)=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot0=\frac14$。奖金为 80 枚金币时，A 得 20 枚，B 得 60 枚。

资料来源： 帕斯卡与费马 1654 年的通信，英译本 · 帕斯卡传记，MacTutor。

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