帕斯卡原理：用水放大力

一头大象和一位穿高跟鞋的女士：谁会在松软的泥地上陷得更深？可能是那位女士。大象比她重五十倍，但它的重量分散在四只宽大的脚掌上；而她的重量集中在细细的鞋跟尖上。

让地面下陷的不是力，而是压强：力除以它所作用的面积。

$$p=\frac FA.$$

压强的单位是帕斯卡：$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$，即一牛顿的力分布在一平方米上。这是很小的压强；在海平面，大气压强大约是 $100\,000$ Pa。

关于液体的论著

大约在 1653 年，帕斯卡写成了《论液体的平衡》，这本书在他去世后的 1663 年才出版。书中有一条我们今天称为帕斯卡原理的规律：

在密闭容器内静止的液体中，任一点所增加的压强，会等值地传递到液体的各个部分和容器壁上。

在中间捏一管牙膏，牙膏会从管口挤出来：你手指的压强传到了那里。把一个气球灌满水，在几个地方扎上小孔再一挤：水会从每一个孔向各个方向喷出来。

据说帕斯卡做过一个著名的演示。他拿来一个装满水、封得很严的木桶，在桶盖上插了一根又细又高、约 10 米长的管子。他登上阳台，往管子里倒水。只倒了一升多一点，木桶就破裂了。

我们不知道这一幕是否完全如此发生，但计算表明它是可能的。高度为 $h$ 的液柱底部的压强是

$$p=\rho gh,$$

其中 $\rho$ 是液体的密度，$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$。对于 10 米高的水柱，$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$，

$$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$

起作用的是水柱的高度，而不是水的多少。如果管子的横截面是 $1\ \text{cm}^2$，10 米高的水只有 $1$ 升。但这 $98\,000$ Pa 会传到整个桶盖上。如果桶盖的面积是 $0.2\ \text{m}^2$，它受到的力就是

$$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$

相当于两吨重的物体。细管里的一升水推着桶盖，就像有一辆汽车压在上面。

帕斯卡意识到，他可以利用这条原理来放大力。设想两个装满水的圆筒，底部相连，各用一个活塞封住，一个细，一个粗。用力 $F_1$ 推细活塞，压强增加 $F_1/A_1$，同样的增量传到粗活塞上：

$$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$

一个人推动小活塞，就能抵得上一百个人推动大一百倍的活塞的力量。
— 布莱兹·帕斯卡，《论液体的平衡》

如果小活塞的面积是 $2\ \text{cm}^2$，大活塞是 $8\ \text{cm}^2$，比值就是 $4$。在小活塞上施加 $50$ N 的力，大活塞上就得到 $200$ N。抬起汽车的液压千斤顶、用一只脚的力就能让汽车停下的刹车，还有挖掘机，都是这样工作的。

小活塞上的力（N）：面积之比 A₂/A₁：

理想模型：两个活塞高度相同，小活塞面积 2 cm²，流体不可压缩。

改变力的大小和两个面积之比。大活塞上的力变大了，但它移动的距离按同样的比例变小。

如果水压机把力放大了 4 倍，它是不是创造了能量？不是。小活塞下降距离 $d_1$ 时，推开了体积为 $A_1d_1$ 的水。同样体积的水进入粗圆筒，粗活塞只上升 $d_2$：

$$A_1d_1=A_2d_2\quad\Longrightarrow\quad d_2=d_1\cdot\frac{A_1}{A_2}.$$

力大了 4 倍，但大活塞移动的距离只有四分之一。功，即力乘以距离，在两边是相同的：

$$F_1d_1=F_2d_2.$$

用千斤顶把汽车抬高 10 厘米，你要压很多下，每次用力不大，但总的行程很长。帕斯卡早就注意到了这一点：水压机就是一根用水做成的杠杆。

练习：面积之比为 5，小活塞下降 10 厘米。大活塞上升多少？

两边的体积相等，所以 $d_2=\dfrac{10}{5}=2$ 厘米。作为交换，大活塞上的力是小活塞的 5 倍。

练习：游泳池水下 3 米处的水压是多少？

水产生的压强增量是 $\rho gh=1000\cdot9.8\cdot3=29\,400$ Pa，约为大气压的 30%。加上大气压，总压强接近 $130\,000$ Pa。潜水时耳朵感到的压力就来自这里。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 《论液体的平衡》，维基文库（法文）。