帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的：

$$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$

把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位：

结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。

会计数的轮子

帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。

难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

$$999+1=1000.$$

这里个位轮转一下，就要同时带动四个轮子。如果所有的力都来自转动轮子的手指，齿轮就会卡住。

帕斯卡的解决办法是一个叫作跳跃器的零件：在相邻两个轮子之间的一根带重物的小杠杆。轮子从 $0$ 转到 $9$ 的过程中，两根销子把跳跃器一点点抬起来。从 $9$ 转到 $0$ 的那一刻，跳跃器被松开，靠自身的重量落下，把下一个轮子向前推一格。

进位的力来自重力，是在计数过程中一点点储存起来的。所以进位可以连续穿过许多个轮子而不卡住。在加法 $278+145$ 中：

跳跃器也有代价：轮子只能朝一个方向转。那么怎么做减法呢？帕斯卡用的是补九法。每个窗口里有两个数：这一位的数字，以及它距离 $9$ 还差多少。对于三位数，$x$ 的补数是 $999-x$。

计算 $423-145$：

确实，$423-145=278$。原因是 $999-\big((999-a)+b\big)=a-b$。只用加法，机器就能做减法。

帕斯卡计算器并不是第一台计算机器：1623 年，德国人威廉·席卡德就设计过一台“计算钟”，但它在战争中遗失了，当时没有人知道它。帕斯卡的机器是第一台被制造、出售和仿制的计算机。三十年后，莱布尼茨在巴黎见到了一台，决定更进一步：他想要一台也能做乘法的机器。

练习：计算 596 加 407，并跟踪每一次进位

个位：$6+7=13$，写 $3$ 进一。十位：$9+0+1=10$，写 $0$ 进一。百位：$5+4+1=10$，写 $0$，向千位进一。结果是 $1003$：三个跳跃器接连落下。

练习：用帕斯卡计算器的方法计算 500 − 137

$500$ 的补数是 $499$。相加，$499+137=636$。$636$ 的补数是 $363$。确实，$500-137=363$。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 帕斯卡计算器，巴黎工艺博物馆。