在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。

在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。

车轮的方程

一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于

$$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$

从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。

一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。
一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。

伽利略称曲线的重量

大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。

它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。

用微积分求面积

曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$，

$$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$

把平方展开，得到三部分：

$$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$

最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得

$$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$

一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。

1658 年的那个夜晚

到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。

随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。

有两位数学家寄来了答案：英国人约翰·沃利斯和耶稣会士安托万·德·拉卢韦尔。评审在两份答案中都发现了错误，奖金没有颁出。帕斯卡把自己的结果发表在《A. 德通维尔书信集》中。其中一篇讲四分之一圆的正弦，多年后被年轻的莱布尼茨读到，他说自己在其中看到了引领他走向微积分的一道光。

最快的曲线

摆线还藏着惊喜。1659 年，克里斯蒂安·惠更斯发现：一个小球在开口向上的摆线槽里滑下，不管从多高的地方出发，到达底部所用的时间都相同。他用这一点造出了更精确的摆钟。1696 年，约翰·伯努利证明了摆线也是两点之间下降最快的曲线：甚至比直线还快。

练习：半径为 2 的轮子画出的一道拱，下面的面积是多少？

$A=3\pi\cdot2^2=12\pi\approx37.7$。半径加倍，面积变成四倍。

练习：证明一道摆线拱的长度是 8r

长度是 $\int_0^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$。因为 $x'=r(1-\cos t)$，$y'=r\sin t$，根号的值是 $r\sqrt{2-2\cos t}=2r\sin\frac t2$。所以长度是 $\int_0^{2\pi}2r\sin\frac t2\,dt=2r\Big[-2\cos\frac t2\Big]_0^{2\pi}=8r$。1658 年得出这个结果的，是英国人克里斯托弗·雷恩，也就是伦敦圣保罗大教堂的建筑师。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 吉尔贝特·佩里耶，《帕斯卡传》，维基文库（法文）。

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