Teoria Dos Jogos

A vida de John Nash

Linha do tempo 1928Nasce em 13 de junho, em Bluefield, na Virgínia Ocidental, nos Estados Unidos. 1945Entra no Carnegie Institute of Technology, em Pittsburgh, para estudar engenharia química. Muda para a matemática. 1948Chega a Princeton. Inventa o jogo que os colegas chamam de “Nash”, hoje conhecido como Hex. 1950Defende a tese “Jogos não cooperativos”, com o equilíbrio de Nash. Publica “O problema da barganha”. 1951Torna-se professor no MIT. 1956Publica o teorema da imersão isométrica. 1957Casa-se com Alicia Lardé, estudante de física do MIT. 1958Publica o resultado sobre a regularidade das equações parabólicas. 1959Primeira internação psiquiátrica. Começam três décadas de doença. 1994Recebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2001Casa-se de novo com Alicia. Estreia o filme Uma Mente Brilhante. 2015Recebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Morre num acidente de carro em 23 de maio, com Alicia. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1928–1945 BluefieldCresce numa cidade de ferrovias e carvão. Lê Men of Mathematics e prova sozinho o pequeno teorema de Fermat. 1945–1948 PittsburghNo Carnegie Institute of Technology, troca a engenharia química pela matemática e tem a ideia da barganha. 1948–1951 PrincetonInventa o Hex e defende a tese de 28 páginas com o equilíbrio de Nash. 1951–1959 MITProfessor no MIT. Prova o teorema da imersão e o resultado sobre equações parabólicas. Em 1959 começa a doença. 1970–2015 PrincetonVaga pelos corredores como “o fantasma de Fine Hall” e, no fim dos anos 1980, se recupera. 1994 EstocolmoRecebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2015 OsloRecebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Na volta, em 23 de maio, morre com Alicia num acidente de táxi em Nova Jersey. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os lugares de John Nash, de Bluefield a Princeton, e as viagens para receber o Nobel e o Abel. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

O jogo de Hex: por que o primeiro jogador ganha

Em 1948, na sala comum do prédio de matemática de Princeton, onde professores e alunos jogavam xadrez e Go durante a tarde, John Nash apresentou um jogo novo. O tabuleiro é um losango coberto de casas hexagonais, como um favo de mel. Dois jogadores, vermelho e azul, colocam peças alternadamente, uma por vez, em casas vazias. As peças nunca se movem. O vermelho quer formar uma corrente de peças vermelhas ligando a borda de cima à de baixo; o azul, uma corrente azul ligando a esquerda à direita.

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O equilíbrio de Nash: ninguém melhora sozinho

Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas. — John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950) Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

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Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar

Todo jogo finito tem um ponto de equilíbrio. — John Nash, Non-Cooperative Games, tese de doutorado (1950) Alguns jogos não têm equilíbrio nenhum se cada jogador escolher uma jogada fixa. O mais simples é o par ou ímpar. Ana escolhe “par”, Bruno escolhe “ímpar”, e cada um mostra um ou dois dedos. Se a soma for par, Ana ganha um ponto; se for ímpar, ganha Bruno. Reduzindo cada escolha a “um” ou “dois” dedos, os ganhos são:

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A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

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Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

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A equação do calor e a regularidade de De Giorgi e Nash

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que, para ele, guiariam a matemática do século XX. O problema 19 perguntava, em linguagem simples: as soluções dos problemas “bem comportados” do cálculo das variações são sempre funções suaves? Meio século depois, a pergunta continuava aberta para uma classe importante de equações. Em 1956, Nash ouviu falar dela por um colega e decidiu atacá-la.

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O legado de John Nash

Estatisticamente, pareceria improvável que um matemático ou cientista, aos 66 anos, pudesse, por meio de esforços continuados de pesquisa, acrescentar muito às suas realizações anteriores. Mas eu ainda estou fazendo o esforço. — John Nash, nota autobiográfica para a Fundação Nobel (1994) John Nash é a única pessoa a ter recebido o Prêmio Nobel e o Prêmio Abel, os dois maiores reconhecimentos em economia e em matemática. As duas metades da sua obra parecem não ter nada em comum: uma é sobre decisões humanas, a outra sobre superfícies e equações. O que as une é o estilo: atacar problemas que todos achavam impossíveis com ideias que ninguém tinha tido.

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Créditos das imagens

Fotografias e imagens Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Nash, foto de Peter Badge: página de origem · CC BY-SA 3.0. John Nash em 2006, em Colônia, foto de Elke Wetzig: página de origem · CC BY-SA 3.0. Imersão isométrica do toro plano, projeto Hevea, enviada por Romainbehar: página de origem · CC0. Figuras do blog A capa, o tabuleiro de Hex e o gráfico do produto dos ganhos na barganha são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O tabuleiro mostra uma partida inventada, em que o vermelho completou a sua corrente.

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