本文对一个经典的经济问题给出了新的处理，这个问题以多种形式出现，如讨价还价、双边垄断等。

— 约翰·纳什，《讨价还价问题》（1950）

1948 年，还是卡内基理工学院本科生的纳什上了一门国际经济学课，这是他一生中唯一的经济学课。他从课上带走了一个问题：两个人谈判时，怎样分配协议带来的收益？经济学家们认为，答案取决于双方的心理、技巧和虚张声势，一般而言无话可说。纳什证明：如果协议必须满足几条合理的要求，那么可能的答案只有一个。这篇论文在他到普林斯顿之前就已写成，1950 年发表在《计量经济学》（Econometrica）杂志上。

问题

两个人 1 和 2 可以达成协议。每个可能的协议都给每人带来一份收益，用效用衡量：$u_1$ 和 $u_2$。如果达不成协议，每人保留原有的东西，即谈判破裂点 $(d_1,d_2)$。只有当协议给每人的至少不少于没有协议时的所得，它才有意义。

四个要求

纳什要求解具有四条性质：

  1. 有效性。 不应存在另一个对双方同时都更好的协议。
  2. 对称性。 如果局面是对称的，双方的可能性和破裂点都相同，那么双方所得相等。
  3. 不变性。 如果把某人的效用换一种尺度来衡量，就像把摄氏度换成华氏度，解不变。
  4. 无关选项的独立性。 如果一个问题的解在一个更小的问题中仍然可行，它仍然是解。去掉没人会选的选项，不改变协议。

纳什定理说：同时具有这四条性质的规则只有一个：选择使相对于破裂点的收益之积

$$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$

最大的协议。

分 10 元钱

两个人要分 10 元钱。如果谈不拢，谁也拿不到：$d=(0,0)$。为简单起见，设效用就是钱本身。若 1 号拿 $x$，2 号就拿 $10-x$，乘积是

$$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$

最大值在 $x=5$：每人 5 元。在对称情形下，这并不意外。

有好退路的人分得更多

现在设 1 号有一条退路：谈不拢时，她能在别处拿到 4 元，而 2 号仍然一无所有。破裂点是 $(4,0)$。相对于破裂点的收益是 $x-4$ 和 $10-x$，乘积为

$$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$
相对于破裂点的收益之积 (x − 4)(10 − x)。x = 4 时它为零，因为 1 号从协议中一无所得；x = 10 时也为零，因为 2 号一无所得。最大值 9 在 x = 7 处。
相对于破裂点的收益之积 (x − 4)(10 − x)。x = 4 时它为零，因为 1 号从协议中一无所得；x = 10 时也为零，因为 2 号一无所得。最大值 9 在 x = 7 处。Euler’s Eyes 绘图

最大值在 $x=7$：1 号分 7 元，2 号分 3 元。每人都比没有协议时多得 3 元。纳什解平分剩余，即协议在每人已有保障之外所创造的价值。所以有好退路的人分得更多：退路不是白送的，而是谈判的起点。

效用不同时的计算

钱对两个人的价值并不总是一样。设 2 号比较穷，对他来说 $y$ 元的效用是 $\sqrt y$：最初的几元很值钱，之后的每一元越来越不值钱。破裂点为 $(0,0)$，我们求 $x\sqrt{10-x}$ 的最大值。求导，

$$\sqrt{10-x}-\frac{x}{2\sqrt{10-x}}=0\quad\Longrightarrow\quad2(10-x)=x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{20}3\approx6.67.$$

1 号拿 6.67 元，2 号拿 3.33 元。越急于达成任何协议的人，因为每一元对他都更重要，最后分得越少。纳什的数学并不说这是否公平：它说的是四个要求推出的结果。

练习：总额为 12，破裂点为 (2, 0)，效用等于钱，纳什分配是什么？

求 $(x-2)(12-x)=-x^2+14x-24=25-(x-7)^2$ 的最大值。最大值在 $x=7$：分配是 (7, 5)。剩余是 $12-2=10$，每人相对于破裂点多得 5。

练习：证明当效用等于钱、总额为 T、破裂点为 (d₁, d₂) 时，1 号得到 d₁ + (T − d₁ − d₂)/2。

乘积是 $(x-d_1)(T-x-d_2)$。它是关于 $x$ 的抛物线，根为 $x=d_1$ 和 $x=T-d_2$，最大值位于两根中点：$x=\frac{d_1+T-d_2}2=d_1+\frac{T-d_1-d_2}2$。每人得到自己的破裂点收益加上剩余 $T-d_1-d_2$ 的一半。

来源： John F. Nash，“The bargaining problem”，Econometrica 18（1950）· Ken Binmore，Game Theory: A Very Short Introduction（Oxford，2007）· 1994 年诺贝尔经济学奖，诺贝尔基金会。

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