2021 年 12 月 25 日，一枚火箭从法属圭亚那起飞，载着詹姆斯·韦伯空间望远镜。它没有像哈勃那样被送入绕地球的轨道，而是飞行了一个月，到达离我们 150 万千米、始终位于背向太阳一侧的一个空无一物的点，然后停在那里。这个点的位置来自拉格朗日 1772 年的一篇获奖论文。它叫作 L2。

三个天体

牛顿完全解决了两个相互吸引的天体的运动，比如太阳和一颗行星：每个都画出一个椭圆。换成三个天体，比如太阳、地球和月球，一切就复杂了。每个天体都在拉另外两个，运动可能变得混乱。18 世纪的数学家知道这不容易，巴黎科学院多次把这个问题定为悬赏题目。

1772 年，这项奖由欧拉和拉格朗日分享。拉格朗日的论文《论三体问题》没有找到一般解。事实上，这样的公式解并不存在，庞加莱在 1890 年证明了这一点。但他找到了令人惊讶的东西：一些特殊解，在这些解中三个天体像一个刚体一样一起转动，它们构成的图形形状始终不变。

有两种方式可以做到这一点。三个天体可以排成一直线，欧拉在 1767 年已经找到了这种解。也可以位于一个等边三角形的三个顶点上，三角形大小不限，绕质心旋转。第二种是拉格朗日的发现。

五个点

当三个天体中有一个非常小时，比如太阳和地球附近的一艘飞船，这些解就变成空间中的五个位置。放在其中任意一处的飞船会和地球一起绕太阳转动，相对于两者的位置始终不变。

日地系统的五个拉格朗日点。L1、L2 和 L3 位于连接两个天体的直线上；L4 和 L5 与它们构成等边三角形，分别在地球前方 60° 和后方 60°。
日地系统的五个拉格朗日点。L1、L2 和 L3 位于连接两个天体的直线上；L4 和 L5 与它们构成等边三角形，分别在地球前方 60° 和后方 60°。Euler’s Eyes 绘图
  • L1 在地球和太阳之间，那里地球的引力抵消了太阳引力的一小部分。
  • L2 在地球的另一侧，那里两者的引力相加。
  • L3 在太阳的另一侧，比地球稍远一点。
  • L4 和 L5 是等边三角形的顶点。

L2 的计算

为什么 L2 在 150 万千米之外，而不是别处？一个物体位于地球外侧距离 $r$ 处，它到太阳的距离是 $R+r$，其中 $R$ 是日地距离。要和地球一起转动，它必须用同样的时间，也就是一年，绕太阳一周。离太阳更远时，单靠太阳的引力不足以做到这一点；地球的引力朝同一方向拉，补上了缺少的部分。

写出总引力与沿曲线运动所需的力相等的关系，并利用 $r$ 远小于 $R$，就得到一个简单的公式：

$$r\approx R\,\sqrt[3]{\frac{m}{3M}},$$

其中 $m$ 是地球的质量，$M$ 是太阳的质量。地球的质量约为太阳的 $3\times10^{-6}$，于是

$$\begin{aligned}r&\approx R\,\sqrt[3]{10^{-6}}=\frac{R}{100}\\&\approx\frac{1.5\ \text{亿千米}}{100}\\&=150\ \text{万千米}.\end{aligned}$$

L1 在地球这一侧，距离相同。这是拉格朗日的一项计算，今天用纸笔就能算出来，用来决定把望远镜停在哪里。

特洛伊小行星

L4 和 L5 不一样。19 世纪，英国人爱德华·劳斯证明，只要较大天体的质量至少是第二个天体的约 25 倍，这两个点就是稳定的，就像谷底的球。太阳的质量约为木星的 1047 倍，所以那里应该聚集着一些东西，被困了数十亿年。

1906 年，德国海德堡的天文学家马克斯·沃尔夫在木星轨道上、恰好位于木星前方 60° 处发现了一颗小行星。他以《伊利亚特》中的希腊英雄为它命名：阿喀琉斯。之后发现的几颗也以特洛伊战争中其他英雄的名字命名，这一群小行星因此被称为特洛伊小行星。今天已知的超过一万颗。按照惯例，L4 的用希腊人命名，L5 的用特洛伊人命名，但有两个例外，因为它们在规则确立之前就已命名：特洛伊人赫克托耳在希腊阵营，希腊人帕特洛克罗斯在特洛伊阵营。

2021 年，美国国家航空航天局（NASA）发射了露西号探测器，去探访木星的几颗特洛伊小行星。这个名字是为了纪念那具著名的人类化石，而那具化石又是以一首披头士乐队的歌命名的。特洛伊小行星是行星形成时代留下的残余，保存在拉格朗日用纸和墨水找到的一个点上。

练习：地月系统的 L1 点离月球多远？

月球的质量约为地球的 $0.0123$，距离 $R\approx384\,400$ 千米。按公式，

$$r\approx384\,400\cdot\sqrt[3]{\frac{0.0123}{3}}\approx384\,400\cdot0.160\approx61\,500\ \text{千米}.$$

精确值约为 $58\,000$ 千米。差别来自近似 $r\ll R$，在这里它不太准确，因为相对于地球来说，月球太重了。

练习：地球的特洛伊小行星离太阳和地球各有多远？

在 L4 和 L5，三个天体构成等边三角形，所以两条边都等于日地距离：约 1.5 亿千米，即 1 个天文单位。地球确实至少有两颗已知的特洛伊小行星：2010 TK7 和 2020 XL5，都在 L4。

资料来源： Joseph-Louis Lagrange，Essai sur le problème des trois corps（1772），收于《拉格朗日全集》第 6 卷 · 拉格朗日传记，MacTutor · What is a Lagrange Point?，NASA。

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