翻开牛顿 1687 年的《原理》，几乎每一页都有图：三角形、椭圆、箭头、切线。翻开一百年后、1788 年出版的拉格朗日《分析力学》，一幅图也看不到。作者本人在序言里自豪地预先说明了这一点，并补充道：

热爱分析的人会高兴地看到力学成为分析的一个新分支，并会感谢我这样扩展了它的领域。

— 约瑟夫-路易·拉格朗日，《分析力学》序言（1788）
《分析力学》（*Méchanique analitique*）初版扉页，巴黎，1788 年。
《分析力学》（Méchanique analitique）初版扉页，巴黎，1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · 公有领域

这本书是在柏林写的，带到巴黎时已经差不多完成了。没有出版商愿意为这样一本艰深的论著冒险，是年轻的阿德里安-马里·勒让德说服了一位书商出版它，并校对了校样。据说印好的书送来后，拉格朗日在一段消沉的日子里两年都没有打开它。

力的麻烦

在牛顿力学里，要知道一个物体怎样运动，必须列出作用在它上面的所有力，再像箭头一样把它们加起来。比如在单摆中，作用的有重力和绳子的张力。重力好办，张力却不然：它每时每刻都在变化，事先谁也不知道。它的作用只是让小球拴在绳上，但即便如此，还是得先把它算出来，才能得到运动。

拉格朗日想要一种方法，让这些约束力根本不出现。

一个函数管全部

拉格朗日的想法是用随意选择的坐标来描述系统，哪种最自然就用哪种。对单摆来说，一个数就够了：绳子与竖直方向的夹角 $\theta$。然后用这些坐标写出两种能量：

  • $T$，运动的能量（今天叫动能）；
  • $V$，因位置而储存的能量（今天叫势能）。

再组成一个函数，今天叫作拉格朗日量：

$$L=T-V.$$

真实的运动就是满足欧拉-拉格朗日方程的那一个，只是现在用时间 $t$ 代替 $x$：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,$$

其中 $q$ 是坐标，上面带一点的 $\dot q$ 是它的速度，这是牛顿的记号。这是一份配方：写出 $L$，求导，令其为零。没有图，也没有箭头。

第一个检验：自由落体

对于高度为 $h$、质量为 $m$ 的物体，运动的能量是 $T=\frac12m\dot h^2$，储存的能量是 $V=mgh$。于是

$$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$

方程变成 $m\ddot h+mg=0$，即 $\ddot h=-g$：物体以恒定加速度 $g$ 下落。这是伽利略的定律，一个箭头也没画就重新得到了。

单摆

现在来看让牛顿吃力的例子。质量为 $m$ 的小球挂在长为 $\ell$ 的绳子上。设角度为 $\theta$，小球的速度是 $\ell\dot\theta$，位于悬挂点下方 $-\ell\cos\theta$ 的高度。所以

$$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta.$$

求导得 $\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=m\ell^2\dot\theta$，$\frac{\partial L}{\partial\theta}=-mg\ell\sin\theta$。拉格朗日方程给出

$$\begin{aligned}&m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0\\ &\Longrightarrow\quad\ddot\theta=-\frac g\ell\sin\theta.\end{aligned}$$

绳子的张力自始至终没有出现。选择 $\theta$ 作为坐标时，绳子已经“包含”在描述之中：小球根本无法离开那个圆。角度很小时，$\sin\theta\approx\theta$，方程变成弹簧的方程，周期为

$$P=2\pi\sqrt{\frac\ell g}.$$

一首科学的诗

这个方法适用于任意多个坐标的系统：双摆、陀螺、行星、振动的弦。1834 年，爱尔兰人威廉·罗恩·哈密顿把拉格朗日方程改写成更加对称的形式，并这样评价这本书：

在赋予这类演绎研究以广度与和谐方面，拉格朗日的贡献也许超过了任何其他分析学家……他把自己的巨著《分析力学》写成了一种科学的诗。

— 威廉·罗恩·哈密顿，《论动力学中的一种普遍方法》（1834）
练习：周期为 2 秒的单摆应该多长？

由 $P=2\pi\sqrt{\ell/g}$ 得 $\ell=g\left(\frac{P}{2\pi}\right)^2=9.81\cdot\frac1{\pi^2}\approx0.994$ m。这就是秒摆：每摆一次正好 1 秒。1791 年，拉格朗日所在的公制委员会曾讨论用这个长度来定义米。最后选择了地球子午线四分之一长度的千万分之一，因为 $g$ 会随地点而变化。

练习：用拉格朗日的配方处理弹簧

挂在劲度系数为 $k$ 的弹簧上、位移为 $x$ 的质量 $m$，有 $T=\frac12m\dot x^2$，$V=\frac12kx^2$。于是 $L=\frac12m\dot x^2-\frac12kx^2$，$\frac{\partial L}{\partial\dot x}=m\dot x$，$\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$。方程给出 $m\ddot x+kx=0$，与由胡克定律和 $F=ma$ 得到的方程相同。

资料来源： Joseph-Louis Lagrange，Méchanique analitique（1788），Internet Archive · 拉格朗日传记，MacTutor · William Rowan Hamilton，“On a General Method in Dynamics”，Philosophical Transactions（1834）。

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