拉格朗日是数学科学中的一座高耸的金字塔。

— 拿破仑·波拿巴，据同时代人记载

拉格朗日没有留下像帕斯卡那样少年天才的轶事，也没有留下欧拉那样规模的著作。他留下了另一样东西：一种做数学的方式。别人画图的地方，他计算；别人为每个问题找一个技巧的地方，他寻找能解释所有技巧的规则。他做的几乎每件事都以他的名字留在教科书里：欧拉-拉格朗日方程、拉格朗日量、拉格朗日点、拉格朗日定理、拉格朗日余项、拉格朗日乘数。

谈牛顿

拉格朗日最敬佩的是牛顿，但也毫不掩饰地带着一丝羡慕。他的传记作者德朗布尔记下了他常说的话：

牛顿是有史以来最伟大的天才，也是最幸运的，因为世界体系只能被建立一次。

— 约瑟夫-路易·拉格朗日，据德朗布尔（1814）

米与十进制

1790 年起，在创立公制的委员会中，拉格朗日支持所有度量都采用十进制划分，反对主张因数更多的十二进制的人。据说，为了说明 12 的众多因数并不那么重要，他甚至半开玩笑地提议用 11 进制，因为 11 是素数。米、升和克都按 10 划分，其中也有他的一份功劳。

穿过给定点的多项式

在 1795 年巴黎高等师范学校的课上，拉格朗日给出了求穿过给定点的多项式的公式。对于三个点 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，它是

$$\begin{aligned}P(x)={}&y_0\,\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\&+y_1\,\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\&+y_2\,\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.\end{aligned}$$

思路很简单：每个分式在自己的点上等于 $1$，在另外两个点上等于 $0$，所以 $P(x_0)=y_0$，$P(x_1)=y_1$，$P(x_2)=y_2$。英国人爱德华·华林在 1779 年已经发表过同一个公式，欧拉也知道它，但它保留了拉格朗日插值的名字。今天，它存在于计算器和计算机的数值方法中，甚至存在于一种把秘密分给多人保管的密码学方法中。

留下了什么

  • 物理。 《分析力学》把力学变成了分析的一个分支。相对论、量子力学和标准模型至今仍以拉格朗日量 $L=T-V$ 的形式写成。
  • 变分法。 拉格朗日与欧拉一起创立了选择最佳曲线的数学，从光学到火箭控制都在使用。
  • 天文学。 拉格朗日点上停着空间望远镜，也聚集着成千上万颗特洛伊小行星。
  • 数论。 四平方和定理为华林问题和二次型的研究开辟了道路，勒让德和高斯继续了这些研究。
  • 代数。 关于根的置换的思考为鲁菲尼、阿贝尔和伽罗瓦的工作以及群论做了准备。
  • 分析。 记号 $f'(x)$、“导数”一词、中值定理和拉格朗日余项出现在每一门微积分课程中。
拉格朗日在他出生的城市都灵的雕像。
拉格朗日在他出生的城市都灵的雕像。Twice25 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0

许多地方的名字

拉格朗日安葬在巴黎先贤祠，他的名字是埃菲尔铁塔上镌刻的 72 个名字之一。都灵有一座以他命名的广场、一条街和他的一座雕像，意大利和法国至今还在争论他究竟是意大利数学家还是法国数学家。月球上有一座拉格朗日环形山，正是他 28 岁时解释了其天平动的那个月球；还有一颗名叫 1006 Lagrangea 的小行星。

要点回顾

  • 拉格朗日生于 1736 年，卒于 1813 年：都灵、柏林和巴黎。19 岁当上教授，1766 年在柏林接替欧拉。
  • 变分法寻找使一个积分最小的曲线。答案满足欧拉-拉格朗日方程。
  • 在拉格朗日力学中，一切都来自函数 $L=T-V$，没有图，也没有约束力。
  • 五个拉格朗日点是小天体能与两个大天体一起转动的位置。日地系统的 L2 距地球 150 万千米。
  • 每个正整数都是四个平方数之和。
  • 把一个含 $n$ 个字母的表达式中的字母打乱，它所取值的个数整除 $n!$。
  • $f'(x)$ 是拉格朗日的记号。中值定理保证存在一点，那里的切线与割线平行。
  • 要在约束下求最优，令 $f$ 的导数等于 $\lambda$ 乘以 $g$ 的导数。$\lambda$ 衡量放宽约束的价值。
练习：求穿过 (0, 1)、(1, 3) 和 (2, 7) 的多项式

由拉格朗日公式，

$$\begin{aligned}P(x)={}&1\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{2}+3\cdot\frac{x(x-2)}{-1}\\&+7\cdot\frac{x(x-1)}{2}.\end{aligned}$$

展开：$\frac{x^2-3x+2}{2}-3x^2+6x+\frac{7x^2-7x}{2}=x^2+x+1$。验证：$P(0)=1$，$P(1)=3$，$P(2)=7$。

练习：打乱四个根时，x₁x₂x₃ 取多少个值？

四个根中三个的乘积由被排除的那个根决定，所以有 $4$ 个值：$x_1x_2x_3$、$x_1x_2x_4$、$x_1x_3x_4$ 和 $x_2x_3x_4$。正如拉格朗日定理所要求的，4 整除 24；不改变这个表达式的交换有 $24\div4=6$ 种：就是只打乱 $x_1, x_2, x_3$ 的那些。

资料来源： 拉格朗日传记，MacTutor · Jean-Baptiste Delambre，Notice sur la vie et les ouvrages de M. le comte J.-L. Lagrange（1814）· Ken Alder，The Measure of All Things（2002）。

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