我承认，我从伯努利两位先生的见识中获益良多，尤其是那位年轻的、现任格罗宁根教授的先生。我毫不客气地采用了他们的发现，以及莱布尼茨先生的发现。

— 洛必达侯爵，《无穷小分析》序言（1696）

1691 年，纪尧姆·德·洛必达侯爵 30 岁，有爵位，有城堡，还有一份热情：弄懂莱布尼茨的微积分。这门学问刚刚发表，在法国几乎没有人读得懂。当比几乎所有人都更懂微积分的瑞士青年约翰·伯努利来到巴黎时，侯爵聘他做了私人教师。

约翰回到瑞士后，课程通过书信继续。1694 年 3 月 17 日，洛必达给他写信，提出了一个不寻常的提议：每年 300 里弗尔的年金，条件是约翰回答他的问题，把自己的发现寄给他，并且不告诉任何其他人。约翰新婚不久，又没有职位，就答应了。

《用于理解曲线的无穷小分析》扉页（巴黎，1696），第一本微分学教科书。
《用于理解曲线的无穷小分析》扉页（巴黎，1696），第一本微分学教科书。Wikimedia Commons · 公有领域

两年后，《用于理解曲线的无穷小分析》在巴黎出版，封面上没有作者姓名，但人人都知道是洛必达写的。这是历史上 第一本微分学教科书，条理清晰，在欧洲用作微积分教材将近一个世纪。第 9 章里有一条计算 $\frac00$ 型极限的法则。

问题：零除以零

我们常常想知道，当 $x$ 趋近某点 $a$，而 分子和分母 都趋于零时，分式 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 趋于什么。例如

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$$

代入 $x=0$ 得到 $\frac00$，这没有意义。分式可能趋于任何值，也可能不趋于任何值。必须比较两个函数趋于零的 快慢。

约翰的想法

在 $a$ 附近，可导函数很像它的切线：

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$

如果 $f(a)=g(a)=0$，剩下的是

$$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$

造成 $\frac00$ 的因子 $(x-a)$ 约掉了。法则说：如果 $f(a)=g(a)=0$，且右边的极限存在，则

$$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$

对正弦：$\lim\frac{\sin x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$。如果新的商仍是 $\frac00$，就再用一次法则：

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.$$

严格的证明要用到十九世纪的柯西中值定理。约翰用的是无穷小推理：在 $a$ 附近"几乎为零"的 $f$ 和 $g$ 各是一个无穷小，两个无穷小之比就是它们的微分之比 $\frac{df}{dg}$。

1696 年的例题

洛必达的书用一个颇费功夫的例子来说明这条法则：设 $a>0$，求 $x\to a$ 时下式的极限

$$\frac{\sqrt{2a^3x-x^4}-a\sqrt[3]{a^2x}}{a-\sqrt[4]{ax^3}}.$$

在 $x=a$ 处，分子是 $\sqrt{a^4}-a\cdot a=0$，分母是 $a-a=0$。对分子求导，

$$\frac{2a^3-4x^3}{2\sqrt{2a^3x-x^4}}-\frac{a\cdot a^{2/3}}{3x^{2/3}}\ \xrightarrow{x=a}\ \frac{-2a^3}{2a^2}-\frac a3=-\frac{4a}3.$$

对分母求导，

$$-\frac34\,a^{1/4}x^{-1/4}\ \xrightarrow{x=a}\ -\frac34.$$

极限是 $\dfrac{-4a/3}{-3/4}=\dfrac{16a}9$。取 $a=1$、$x=0.999$，原分式的值为 $1.773$，已经接近 $\frac{16}9\approx1.778$。

法则是谁发明的？

洛必达于 1704 年去世。此后不久，约翰开始公开声称这条法则以及书中很大一部分是他的。几乎没有人相信他：这看起来像是一个以脾气古怪出名的人，在攻击一位无法为自己辩护的已故贵族。

1921 年，巴塞尔大学图书馆发现了约翰在 1691 和 1692 年准备的微分学讲义手稿，并于次年出版。对照表明，《分析》的很大一部分紧跟这些讲义，包括这条法则。但事情并不像偷窃那么简单：洛必达为这些材料付了钱，在序言中承认了这笔人情债（正如上面的引文所示），而且写出了一本比讲义更清楚的书。这条法则至今仍以他的名字命名。

练习：求 x 趋于零时 ln(1 + x)/x 的极限。

在 $x=0$ 处分子分母都为零。导数之商是 $\frac{1/(1+x)}{1}$，趋于 $1$。这个极限说明在零附近 $\ln(1+x)\approx x$，银行换算小利率时就用这个近似。

练习：对 x 趋于零时的 (1 + x)/x 使用这条法则，会得到什么？

会得到错误的结论。这里分子趋于 $1$ 而不是零：没有不定式，法则不适用。导数之商会是 $\frac11=1$，但真正的分式从右边趋于 $+\infty$，从左边趋于 $-\infty$。使用法则之前，必须先确认它确实是 $\frac00$ 或 $\frac\infty\infty$ 型。

来源： Guillaume de l’Hôpital，Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes（巴黎，1696），第九章 · Dirk J. Struik，“The origin of l’Hôpital’s rule”，The Mathematics Teacher 56（1963）· 约翰·伯努利传记，MacTutor。

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